2-1-一维随机变量及其分布-(2)

下回停第一节一维随机变量及其分布(2)三、离散型随机变量四、典型的离散型随机变量及其分布下回停随机变量的分类例如：“抽验一批产品中次品的个数”，“电话交换台在一定时间内收到的呼叫次数”等离散型随机变量连续型随机变量所有取值可以逐个一一列举例如：“电视机的寿命”，实际中常遇到的“测量误差”等.全部可能取值有无穷多，充满一个或几个区间三、离散型随机变量定义且所有可能取值为若随机变量,,21xxX或记为XPnxxx21nppp21称上面两式为离散型随机变量X的分布律或),2,1()(ipxXPii1.离散型随机变量的分布律分布列.注分布律中的pi必须满足:);,2,1(,10)1(ipi.1)2(1iip设随机变量的分布律为),2,1,0(!}{kkakXPk解得由,10kkpkkkkaakk00!!例1.0a为常数，试确定常数.ea所以ae12.离散型随机变量分布律与分布函数的关系(1)若已知X的分布律:),2,1(}{kxXPpkk则X的分布函数)(}{)(RxxXPxFxxkk(2)若已知X的分布函数F(x),则X的分布律}{kkxXPp)0()(kkxFxF)()(1kkxFxF或),2,1(k分布律分布函数注：对于离散型随机变量例2一盒内装有5个乒乓球，其中2个旧的，3个新的，从中任取2个，求取得的新球个数X的分布律与分布函数，并计算：}.20{},20{XPXP解X={取得的新球个数}，其分布律为)2,1,0(}{kkXP25223CCCkk或XP2103.06.01.0X的分布函数为)(}{)(RxxXPxFxkkXP}{,0xXP2103.06.01.0,0,10x},0{XP21x},1{}0{XPXP},2{}1{}0{XPXPXP0.1+0.6,,21x0.1+0.6+0.3,.2x0.7,1,2xxoy0.10.71210.1,XP2103.06.01.0}20{XP方法1}2{}1{XPXP9.03.06.0}20{XP}1{}0{XPXP7.06.01.0方法2.2,1,21,7.0,10,1.0,0,0)(xxxxxF)0()2(}20{FFXP9.01.01)00()02(}20{FFXP7.007.0xxFxxx0,0,1,01,3()1,12,21,2.例3若已知离散型随机变量X的分布函数为求对应的分布律.解可看出X只可能取0,1,2三个可能值。PXFF{0}(0)(00)1,3PXFF{1}(1)(10)111,236PXFF{2}(2)(20)111,22即XP012111362四、典型的离散型随机变量及其分布1.退化分布(单点分布)若随机变量X取常数值C的概率为1,即1)(CXP则称X服从退化分布.若X的分布律为),,2,1(1}{nknxXPkkx则称X服从离散型均匀分布,这里要求各不相同.例如掷骰子试验,若记出现的点数为X,则X的可)6,,2,1(61)(iiXP能取值为1,2,3,4,5,6.那么X的分布律为:2.离散型均匀分布或记为Xkp0p11p则称X服从(0-1)分布或两点分布.记为X~B(1,p).注两点分布是一种比较简单的分布,任何只有两种可能结果的随机现象,例如抛一次硬币出现“正面”或“反面”;做一次试验事件“A发生”或“A不发生”均可用这一数学模型描述.若X的分布律为3.*两点分布(伯努利分布）Bernoullidistribution),()(}{1011kppkXPkk的分布律为若X二项分布可以用来描述n重伯努利试验,事件A..10;,,1,0服从二项分布则称其中XpnkknkknppCpnkB)1(),,(knkknppCkXP)1(}{恰好发生k次的概率,是概率论中一种重要的分布.写作记作),,(~pnBX4.*二项分布Binomialdistribution,02.0,设每次射击的命中率为某人进行射击解,X设击中的次数为).02.0,400(~BX则的分布律为X,)98.0()02.0(}{400400kkkCkXP.400,,1,0k因此}1{}0{1}2{XPXPXP399400)98.0)(02.0(400)98.0(1.9972.0其中例4.,400率试求至少击中两次的概次独立射击的分布律为若X),1,0(e!}{kkkXPk).(~,0PXX服从泊松分布，记作则称5.*泊松分布Poissondistribution泊松分布是以18－19世纪的法国数学家西莫恩.德尼.泊松(Siméon-DenisPoisson)命名的，他在1838年时发表论文引入此分布。但是这个分布却在更早时期由伯努利家族的一个人描述过。历史应用泊松分布适合于描述单位时间内随机事件发生的次数。如某一服务设施在一定时间内到达的人数，电话交换机接到呼叫的次数，汽车站台的候客人数，机器出现的故障数，自然灾害发生的次数等等。例52.0e!0}0{0XP解已知.61.1则}1{}0{1}2{XPXPXP而e!12.0112.061.12.01478.0一时段内通过某交叉路口的汽车数X可看作服从泊松分布的随机变量，若在该时段内没有汽车通过的概率为0.2,求在这一时段内多于一车通过的概率.knnknknppCkXP)1(}{且满足：)0(limnnnp.e!}{limkkXPkn),2,1,0(k),(~npnBX设有则对任意非负整数,k泊松定理泊松分布可作为二项分布的极限分布.即下面的泊松定理.利用泊松定理,当n很大时可用泊松分布近似注,005.0,800pn比如，79733800995.0005.0)005.0,800,3(CB二项分布,达到简化计算的目的.对于下式则,4005.0800npe3443!1945.0个存储单元组由某计算机内的存储器，3000数，则表示存储单元损坏的个设X解算算机便停止工作，求计一存储单元损坏时，计3000003000)9995.0()0005.0(}0{CXP478046223.095776.0}0{1}1{XPXP例6.机停止工作的概率，如果任概率为坏的成，每一个存储单元损0005.0若用泊松分布近似，则5.10005.03000np13223.0e!0)5.1(}0{5.10XP两种计算表明,结果误差不大,计算机停止工作的概率约为0.777.在保险公司里有2500名同龄和同社会阶层的人参加了人寿保险，在一年中每个人的死亡的概率为0.002,每个参加保险的人在1月1日须交12元保险费，而在死亡时家属可从保险公司里领取2000元赔偿金.求：(1)保险公司亏本的概率；(2)保险公司获利不少于20000元的概率.解(1)以“年”为单位，在1年的1月1日，保险公司的总收入为：).(30000122500元例6-1，则年中死亡的人数为设X1)002.0,2500(~BX保险公司在这一年中，应付出：2000X(元)设A={保险公司亏本}，则300002000XA发生)(15人即X}15{)(XPAPkkkkC25002500162500)002.01()002.0(很小，所以可用很大，因为002.02500pn,5项分布的泊松分布近似代替二参数np}15{1}15{XPXP即有kkkkC25001502500)002.01()002.0(11505!e51kkk.000069.0的分布律为若随机变量X.服从几何分布则称X),2,1()1(}{1kppkXPk6.*几何分布Geometricdistribution注几何分布可作为描述某个试验“首次成功”的概率模型.设某批产品的次品率为p,对该批产品做有放回的抽样检查,直到第一次抽到一只次品为止(在此之前抽到的全是正品),那么所抽到的产品数目X是一个随机变量,求X的分布律.例7.,3,2,1所取的可能值是X,个产品是正品”表示“抽到的第设iAi)(}{121kkAAAAPkXP)()()()(121kkAPAPAPAPppppk)1()1()1)(1(.1pqk),2,1(k所以X服从几何分布.解的分布律为设X超几何分布在关于废品的记件检验中经常用到..,,,服从超几何分布则称这里XNMMmNn}),min{,,2,1,0(}{nMkCCCkXPnNknMNkM7.超几何分布HypergeometricDistribution二项分布的抽样方法是有放回抽样;超几何分布的抽样方法是无放回抽样.当N趋近于正无穷,超几何分布以二项分布为极限.对于超几何分布当N很大,而n相对N比较小时,可以用二项分布公式近似计算.记作X~H(n，M，N）.内容小结1.离散型随机变量X的分布律(分布列)),2,1()(ipxXPii2.常见的离散型分布及其应用背景.分布名称记号分布律背景退化分布(单点分布)1}{cXP必然事件两点分布(或0–1分布)X~B(1,p))1,0()1(}{1kppkXPkk贝努里概型(0p1)分布名称记号分布律背景离散型均匀分布),,2,1(1}{nknkXP古典概型二项分布X~B(n,p)),,1,0()1(}{nkppCkXPknkknn重贝努里概型泊松分布X~P()(0)(0p1)),2,1,0(e!}{kkkXPk稀有事件分布名称记号分布律背景几何分布),2,1()1(}{1kppkXPk在n重独立试验中，A首次发生的试验次数为X.超几何分布}),min{),,1,0(}{nMllkCCCkXPnNknMNkMNMNn,设N件产品中有M件次品，从中任取n件，其中的次品数为X.备用题例1-1设随机变量的分布律为),,2,1(}{NkNakXP试确定常数a.解11NaNNaNk所以a=1.得由,11Nkkp一汽车沿一街道行驶，需要通过三个均设有红绿信号灯的路口，每个信号灯为红或绿与其它信号灯为红或绿相互独立，且红绿两种信号灯显示的时间相等.以X表示该汽车首次遇到红灯前已通过的路口的个数，求X的概率分布.解依题意,X可取值0,1,2,3.P(X=0)=P(A1)=1/2,路口3路口2路口1设3,2,1}{iiAi，个路口遇到红灯第例2-1路口3路口2路口1路口3路口2路口13,2,1}{iiAi，个路口遇到红灯第412121)()1(21AAPXP81212121)()2(321AAAPXP路口3路口2路口13,2,1}{iiAi，个路口遇到红灯第81212121)()3(321AAAPXP818141213210~X即例2-2两名蓝球队员轮流投篮,直到某人投中为止,若第一名队员投中的概率为0.4,第二名队员投中的概率为0.6,求每一名队员投篮次数的概率分布列(设由第一名队员先投).解设X,Y分别表示第一、二名队员的投篮次数.kXYX,21,0,21，，的可能取值为，，的可能取值为表示第一名运动员和第二名运动员在前k-1次都未投中,而第一名运动员的第k次投中,或者第一名运动员在自己的前k次中未投中及第二名运动员在自己的前k-1次