2-2-多维随机变量及其分布-(1)

下回停第二节多维随机变量及其分布(1)一、二维随机变量及其分布二、二维离散型随机变量三、二维连续型随机变量四、常用的分布一、二维随机变量及其分布在实际问题中，可能遇到多个随机变量的情形，如：1)射击问题中,对于弹着点往往需要横坐标和纵坐标描述;2)人的基本特征需要考虑性别,身高,体重等;3)具体评价产品的质量,可能有多个评价指标如尺寸,外形,外包装等.1.问题的提出定义2.3由n个随机变量X1,X2,···,Xn构成的向量2.n维随机向量的分布函数),,,(21nxxxF的分布函数或为随机向量),,,(21nXXX},,,{2211nnxXxXxXPX=(X1,X2,···,Xn)称为n维随机变量,也称为n维随机向量.定义称.联合分布函数1.n维随机向量niiixX1})(:{表示当n=2时，二维分布函数F(x,y)=P{X≤x,Y≤y}表示随机点(X,Y)落在平面区域],(],(yxD},),{(yvxuvu内的概率.xyO),(yxD特别(1)(2)为单调非降函数，即分别对yxyxF,),();,(),(1212yxFyxFxx时，当).,(),(1212yxFyxFyy时，当;0),(),(lim)3(yFyxFx;0),(),(limxFyxFy201(,);(,)FxyxyR3.二维分布函数F(x,y)的性质xyFxyFlim(,)(,)0;;1),(),(limFyxFyx右连续，即分别关于yxyxF,),()4(),,(),0(yxFyxF);,()0,(yxFyxF);(),(),(limyFyFyxFYx).(),(),(limxFxFyxFXy后面专门要讲的边缘分布函数证明},{2121yYyxXxP,0},{212yYyxXP},{22yYxXP.0),(),(),(),(21111222yxFyxFyxFyxF故},{211yYyxXP},{12yYxXP},{21yYxXP},{11yYxXP这里仅给出性质(5)的证明则若,,)5(2121yyxx),(),(),(),(11122122yxFyxFyxFyxF.0},{2121yYyxXxP二、二维离散型随机变量的所有可能取值为若),(YX2.分布律),2,1,(),(jiyxji1.二维离散型随机变量为离散型随机变量，则称(X,Y)为二维离散型随机变量.定义若二维随机变量(X,Y)的分量X,Y均),2,1,(},{jipyYxXPijji则称的分布律，可记为为),(YXXYixxx21jyyy2111p21p1ip……12p22p…2ip……jp1jp2……ijp……………其中满足：ijp);,2,1,(,0)1(jipij.1)2(11ijijp箱中装两个白球,三个黑球;分别进行有放回则(X,Y)的分布律可以写为.1,0,1,1次摸黑球第次摸白球第X.2,0,2,1次摸黑球第次摸白球第Y例1的摸球和无放回的摸球,定义如下随机变量XY01015353535252535252有放回XY01014253435242534152无放回三、二维连续型随机变量定义2.5若存在非负对于二维随机变量),,(YX二元分布函使对任意实数可积函数,,),,(yxyxp可表示为数),(yxFxyvuvupyxFdd),(),(，为二维连续型随机变量则称),(YX.),(称为联合密度函数yxp1.二维连续型随机变量;1),(dd),()2(Fyxyxp.dd),(}),{(GyxyxpGYXP;0),()1(yxp内落在点平面上的一个区域是设GYXxOyG),(,)3().,(),(),(),()4(2yxpyxyxF,yxyxp则有连续在若2.性质的概率为例2的分布密度为设),(YX.,0,0,0,e),()(其他yxyxpyx(1)求F(x,y);1yx1D1Oxy(2)求(X,Y)落在区域D内的概率,区域D如图所示.xyvuvupyxFdd),(),(解(1).,0,0,0,dd),(00其他yxvuvupxy.,0,0,0,dde00)(其他yxvuxyvu.,0,0,0),e1)(e1(其他yxyx(2).ded1010)(xyxyx1010dedexyxyx1010d)e(exxyx101d)e1(exxx2642.0e2111yx1D10xy.dd),(}),{(DyxyxpDYXP101d)ee(xx例2-1设随机变量(X,Y)的概率密度为.,0,42,20),6(),(其它yxyxkyxp};3,1{)2()1(YXPk；常数求：解yxyxpd)d,()1(}.4{)3(YXP,8)d210(d)6(d422042kyykxyxky故k=1/8.xyxyYXPd)6(81d}3,1{)2(1032.83)d211(8132yyxyyxxYXP4220d)6(d81}4{)3(202/2)d4(681xxx.32xyO12234x+y=4四、常用分布1.均匀分布定义设D是平面上的有界区域,其面积为S,若则称(X,Y)在D上服从均匀分布..,0,),(,1),(其它DyxSyxp二维随机变量(X,Y)具有密度函数已知随机变量(X,Y)在D上服从均匀分布,解o1xy.,0,),(,2),(其它得Dyxyxp11.,0,),(,1),(其它由DyxSyxp.,0,),(,2),(其它或DvuvupDxy例3试求(X,Y)的密度函数及分布函数,其中D为x轴,y轴及直线y=x+1所围成的三角形区域.,01)1(时或当yxvuvupyxFxydd),(),(vuxydd0;0,10,01)2(时当xyx},),({,),(,0),(yvxuvuDDvuvup其中uv-111uvDO),(yx),(vu),(yx),(vuxvuvupyxFxydd),(),(y),(yxy-1D11dd),(Dvuvupuv-111uvDOxy),(yxy-1D11dd),(),(DvuvupyxFxvyuv10dd2或1dd2Dvu1dd2Dvu梯形面积yvvx0d)1(2;)22(yyx,10,01)2(时当xyx,1,01)3(时当xyxvuvupyxFxydd),(),(;)1(d2d2101xvuuxuv-111uvDOx),(yxD2vuvupDdd),(22)1(212x或,10,0)4(时当yxvuvupyxFxydd),(),(yyuyvuvu0011011d2dd2d;)2(yyuv-111uvDOy),(yxD3y-1010dd2vyuv或vuvupDdd),(3,1,0)5(时当yxvuvupyxFyxdd),(),(.1dd2vuD.1,0,1,10,0,)2(,1,01,)1(,10,01,)22(,0,1,0),(2yxyxyyxyxxxyxyyxyxyxF或所以(X,Y)的分布函数为若二维随机变量(X,Y)具有密度函数2222212121212)())((2)()1(212211π21),(σμyσσμyμxρσμxρeρσσyxp.11,0,0,,,,,212121ρσσρσσμμ且均为常数其中),,(yx的二维服从参数为则称ρσσμμYX,,,,),(2121),,,,(~),(222121ρσσμμNYX2.二维正态分布记为正态分布.二维正态分布的图形1.二维随机变量的分布函数}.,{),(yYxXPyxF2.二维离散型随机变量的分布律及分布函数,},{ijjipyYxXP;,2,1,ji.),(yyxxijjipyxF3.二维连续型随机变量的分布函数.dd),(),(vuvupyxFyx内容小结思考题.1,0,1,1),(yxyxyxF令.),(量的分布函数是否为某个二维随机向请判断yxF),5(),4()1(),(,但不满足性质满足性质虽然不是yxF)1,1()1,1()1,1()1,1(FFFF因为.010111备用题例1-1次，令：将一枚均匀的硬币掷3的联合分布律．试求),(YX；数次抛掷中正面出现的次}3{X；，，，的可能取值为3210X．，的可能取值为31Y与反面出现次数次抛掷中正面出现次数3{Y解．之差的绝对值}30YXP，；8111YXP，；83；031YXP，12YXP，；83；032YXP，；013YXP，．8133YXP，；010YXP，；数次抛掷中正面出现的次}3{X与反面出现次数次抛掷中正面出现次数3{Y．之差的绝对值}的联合分布律为由此得随机变量),(YXXY012313083830818100例1-2的指数分布，服从参数为设随机变量1Y如下：定义随机变量kX,2,1.,1,,0kkYkYXk.21的联合分布列和求XX解种情况：的联合分布列共有如下4),(21XX)1()2,1()0,0(21YPYYPXXP,63212.0e11-,0)2,1()1,0(21YYPXXP)21()2,1()0,1(21YPYYPXXP,23254.0ee2-1-)2()2,1()1,1(21YPYYPXXP.13534.0e)2(12-YP的联合分布列为所以),(21XX2X1X1063212.000000.023254.013534.010例1-3设随机事件A,B满足.21)()(,41)(BAPABPAP.0,1不发生若，发生若，令AAX.0,1不发生若，发生若，BBY求(X,Y)的分布列.解,21)()()(,41)(APABPABPAP，又所以81)(ABP,21)()()(BPABPBAP从而所以.41)(BP)(1)()0,0(BAPBAPYXP.858141411)()()(1ABPBPAP.818141)()()()1,0(ABPBPBAPYXP.818141)()()()0,1(ABPAPBAPYXP.81)()1,1(ABPYXP所以(X,Y)的联合分布列为YX108581818110所以(X,Y)的联合分布列为例2-1的密度函数为设二维随机变量),(YX.,0,),(),(22222其它RyxyxRcyxp；常数求c)1(的概率．内落入圆求RrryxYX0,)2(222得⑴由密度函数的性质，解yxyxpdd),(1