2-2-多维随机变量及其分布-(3)

下回停第一节多维随机变量及其分布(3)八、随机变量的独立性九、条件分布八、随机变量的独立性随机变量的独立性是概率论中的一个重要概念.下面我们利用事件之间的独立性导出随机变量之间的独立性概念.,,,,yxYX若对任意实数是两个随机变量设}{}{},{yYPxXPyYxXP独立的定义：回忆：两事件BA,定义2.6即是相互独立的事件,}{},{yYxX.,是相互独立的则称YX若P(AB)=P(A)P(B)则称事件A,B独立.它表明，两个随机变量(简记为r.v.)相互独立时，它们的联合分布函数等于两个边缘分布函数的乘积.用分布函数表示，即是)()(),(yFxFyxFYX则称X,Y相互独立.设X,Y是两个随机变量，若对任意的x,y,有对于离散型随机变量,上述独立性定义等价于:)()(),(jijiyYPxXPyYxXPjiijppp即则称X,Y相互独立.对(X,Y)所有可能取值(xi,yj),有对于连续型随机变量,上述独立性定义等价于:)()(),(ypxpyxpYX成立,则称X,Y相互独立.;,),(的联合概率密度是其中YXyxp.)()(的边缘概率密度和分别是和YXypxpYX对于任意的x,y有注如果X和Y相互独立,那么它们的连续函数f(X)和g(Y)也相互独立.),(YXijp)1,1()2,1()3,1()1,2()2,2()3,2(619118131解的分布律改写为将),(YX的分布律为已知),(YX;)1(应满足的条件与求例1.,(2)的值与求相互独立与若YX分布律的另一种表示方法(1)由分布律的性质知,0,0,132.310,0:且应满足的条件是与故XY32112619118131}{iixXPp3131}{jjyYPp219118132)3,2,1;2,1(,jipppjiij特别有2112ppp913191,92又,31.91得(2)因为X与Y相互独立,所以有x0即y0.,0,0,e)(其它xxxpxX解yxxpyxXde)(0)(,exxxxypyxYde)(0)(,ey的概率密度为设),(YX.,0,0,0,),()(其它yxxeyxpyx是否独立？与问YX例2所以X与Y独立..,0,0,e)(其它yypyY(,)()(),XYpxypxpy因为，证明X与Y相互独立的充要条件是证2212,12(,)~(,,,)XYNμμσσρ设.0前面已经给出的X和Y边缘概率密度分别为.,eπ21)(21212)(1xσxpσμxX.,eπ21)(22222)(2yσypσμyY例3九、条件分布问题的提出:这就是我们要讲的条件分布.一特定值X0处,考察儿子身高Y的分布情况.一般的处理方法是将父亲的身高X固定在会影响儿子的身高Y.这里父亲的身高X与儿子的身高Y都是随机变量,都有自己的分布.那么两者之间关系如何呢?从遗传学的角度看,父亲的身高X，对于固定是二维离散型随机变量设),(YX定义jijjjijippyYPyYxXPyYxXP}{};{}|{,2,1i其中的发生的条件下随机变量为事件XyYj}{1.离散型随机变量的条件分布则称，若的,0}{jyYPj.条件分布律则称如果同样，对于固定的,0}{,ixXPiiijijiijppxXPyYxXPxXyYP}{},{}|{的发生的条件下随机变量为在事件YxXi}{,2,1j其中.条件分布律XY3210010.0020.0030.0840.0002.0008.0010.0060.0001.0004.0005.0010.0210900.0080.0020.0013.0032.0045.0910.0000.1}{iXP}{jYP例4已知(X,Y)有如下分布律:;,1)1(的条件分布律的条件下求在YX.,0)2(的条件分布律的条件下求在XY解}1{}0,1{}10{XPYXPXYP,045.0030.0}1{}1,1{}11{XPYXPXYP,045.0010.0}1{}2,1{}12{XPYXPXYP,045.0005.0由上述分布律的表格可得的条件分布律为的条件下即在YX,1kY}1{XkYP210919296的条件分布律为的条件下同理可得在XY,0kX}0{YkXP32109019029039084的概率密度为设二维随机变量),(YX若的边缘概率密度为关于).(),(),,(ypYYXyxpYyYypyxpypyYY为在则称对于固定的)(),(,0)(,记为的条件概率密度的条件下,X.)(),()(ypyxpyxpYYX定义2.连续型随机变量的条件分布xxXYYpxypxydxdxpy|(,)(|)()称为在记为的条件分布函数的条件下,,XyY),|(}|{|yxFyYxXPYX或XYxxXYYFxyPXxYypxypxydxdxpy||(|){|}(,)(|)()即条件分布函数XXYXpx(,)().同理,关于的边缘概率密度为0XXpxyxpxXxpx(,),(),()若对于固定的则称为在Y,的条件下的条件概率密度记为YXXpxypyxpx(,)(|).(),,的条件分布函数的条件下同理可定义在YxXYXyyYXXFyxPYyXxpxypyxdydypx||(|){|}(,)(|).(),1),(2222上服从均匀分布在椭圆设byaxYX解由题设知.1,0,1,π1),(22222222byaxbyaxabyxp由联合概率密度我们可以得到关于Y的边缘概例5).|(yxp求条件分布密度率密度.xyxpypYd),()(.,0,,/1π2dπ122bybybybxabvv.1,0,1,π1),(22222222byaxbyaxabyxpxOyaby-vv有从而对于),,(bby221byav其中)(),()|(|ypyxpyxpYYX)(),()|(|ypyxpyxpYYX./1,0,/1,/121222222byaxbyaxbyaxOyaby-vv1,01,π1),(22222222byaxbyaxabyxpbybybybypY,0,/1π2)(22.]/1,/1[2222上服从均匀分布区间byabya在的条件下，由上式可以看出，在XyY)(求条件概率设),,,,,(~),(222121NYX的边缘概率密度，和由于上节已经求出了YX有所以对于一切),,(,yx解221π21)|(xyp)1(2)/)((exp22221122xy例6).|(),|(xypyxp密度211π21)|(yxp)1(2)/)((exp22122211yx本题说明了对于二元正态分布,其条件分布仍为正态分布.思考题解,0}41{XP因为}41{}81,41{XPYXP不存在.}4181{XYP所以的联合概率密度为设随机变量),(YX30100,,,(,),.xxyxpxy其它1184{}?PYX求判断下面的解法是否正确?上述解法不正确,正确解法应该为yyxpxpXd),()(.,0,10,d30其它xyxx.,0,10,32其它xx(,)()()YXXpxypyxpx.,0,1332其它xxx.,0,10,3)(2其它xxxpX.,0,0,10,3),(其它xyxxyxpxOy1y=xx,0xy于是yypXYd)41(81.21d4810y}4181{XYP01x因此当时，上等可能地随机取值，在区间设数)1,0(X)1,()10(xYxxX在区间时，数当观察到.,的概率密度求上等可能地随机取值Y解由题意知,X的概率密度为.,0,10,1)(其它xxpX对于任意给定的值x(0x1),在X=x的条件下,Y的例7条件概率密度为.,0,10,11)|(|其它yxxxypXY.,0,10,11)|(|其它yxxxypXY的联合概率密度为和因此YX,.,0,10,11其它yxx)()|(),(|xpxypyxpXXY.,0,10,1)(其它xxpX的边缘概率密度为于是YxyxpypYd),()(.,0,10),1ln(d110其它yyxxy.,0,10,11),(其它yxxyxp内容小结1.独立性),,(),()1(yxFYX的联合分布函数为若随机变量XyFxFYX则有和边缘分布函数分别为),()().()(),(yFxFyxFYYX相互独立和的联合分布律为若离散型随机变量),()2(YX,2,1,,},{jipjYiXpij相互独立与则YX}{}{},{jijiyYPxXPyYxXP的联合概率密度函数为设连续型随机变量),()3(YX则有边缘概率密度分别为),(),(),,(ypxpyxpYX)()(),(ypxpyxpYXYX相互独立与.)()()4(也相互独立与相互独立，则和若ygXfYX2.条件分布的联合分布律为若离散型随机变量),()1(YX,2,1,,},{jipjYiXpij的条件分布律为的条件下随机变量在给定XyYjjijjjijippyYPyYxXPyYxXP}{};{}|{的条件分布律为的条件下随机变量在给定YxXiiijijiijppxXPyYxXPxXyYP}{},{}|{,2,1,ji其中则有是二维连续型随机变量设,),()2(YXxYXYXxyxpyxFd)|()|(||xYxypyp)d()/(x,yXYXYyxypxyFd)|()|(||yXyxpyp)d()/(x,备用题服从并且相互独立和设随机变量XYX,;,eπ21)(222)(xσxpσaxX又)()(),(ypxpyxpYX所以解由于X与Y相互独立,例2-1),(,],[),,(2YXbbYσaN求上服从均匀分布在.的联合概率密度.,0,,21)(其它bybbypY,eπ2121),(222)(σaxσbyxp得.0),(,yxpby时当.,bybx其中例2-2设随机变量(X,Y)的联合密度函数为.,0,0,10,3),(其他xyxxyxp);()()1(yPxPYX和边际密度函数试求是否独立？与YX)2(解时，有因为当10)1(x,3d3d),()(02xXxyxyyxPxP所以X的边际密度函数为.,0,10,3)(2其他xxxPX).1,3Be(这是贝塔分布时，有又因为当10y),1(23123d3d),()(212yyxxxxyxPyPyY所以Y的边际密度函数为.,0,10,)1(23)(2其他yyyPY.),()(),()2(不独立与所以因为YXyPxPyxPYX例2-3某电子仪器由两部分构成，其寿命(单位：.,0,0,0,eee1),()(5