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第1页共19页2018-2019学年浙江师大附中高一（上）期中数学试题一、单选题1．设集合，，则A．B．C．D．【答案】A【解析】根据题意求出集合的元素，再由集合并集的概念得到结果即可.【详解】集合或，，，则．故选：A．【点睛】本题考查了集合的化简与运算问题，是基础题．与集合元素有关问题的思路：（1）确定集合的元素是什么，即确定这个集合是数集还是点集;（2）看这些元素满足什么限制条件;（3）根据限制条件列式求参数的值或确定集合元素的个数，但要注意检验集合是否满足元素的互异性．2．的值是A．B．2C．D．【答案】A【解析】直接化根式为分数指数幂求值．【详解】．故选：A．【点睛】本题考查了根式与分数指数幂的互化，考查了分数指数幂的运算性质，是基础题．3．，则与表示同一函数的是（）第2页共19页A．，B．，C．，D．，【答案】C【解析】A中:;B中:;C中：，，；D中：,因此选C.4．函数的定义域是A．B．C．D．【答案】D【解析】根据二次根式的性质，得到关于x的不等式，解出即可．【详解】由题意得：，解得：，故选：D．【点睛】本题考查了二次根式的性质，考查对数函数的性质，是一道基础题．对于函数定义域问题，首先分式要满足分母不为0，根式要求被开方数大于等于0，对数要求真数大于0，幂指数要求底数不等于0即可.5．函数，且的图象过一个定点，则这个定点坐标是A．B．C．D．【答案】B【解析】试题分析：令得时，所以过定点【考点】指数函数性质6．已知，，，则A．B．C．D．第3页共19页【答案】C【解析】根据指对函数的运算性质分别得到每个数值的大概范围，由于，，进而比出大小关系.【详解】，，，．故选：C．【点睛】本题考查了指数函数与对数函数的单调性，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．两个式子比较大小的常用方法有：做差和0比，作商和1比，或者直接利用不等式的性质得到大小关系，有时可以代入一些特殊的数据得到具体值，进而得到大小关系.7．已知函数其中，若的图象如图所示，则函数的图象大致为A．B．第4页共19页C．D．【答案】A【解析】试题分析：有图可得，故正确答案为A．【考点】1、函数与方程；2、函数的图象．8．设是连续的偶函数，且当时是单调函数，则满足的所有x之和为A．B．C．D．8【答案】C【解析】为偶函数推出，时是单调函数，推出不是周期函数所以若或，再利用根与系数的关系进行求解；【详解】为偶函数，当时是单调函数，又满足，或，可得，或，两个方程都有解．或，第5页共19页，故选：C．【点睛】本题主要函数奇偶性和单调性的性质，考查了函数的单调性和奇偶性与方程根的联系，属于函数性质的综合应用．9．已知函数，在区间上有最小值，则函数在区间上一定A．是减函数B．是增函数C．有最小值D．有最大值【答案】B【解析】由函数在区间上有最小值求出a的取值范围，表示出，进一步应用a的范围对的单调性、最值作出判断．【详解】函数在区间上有最小值，函数的对称轴应当位于区间内，有，则，当时，在区间上为增函数，此时，；当时，在区间上为增函数，此时，；当时，，是对勾函数，由对勾函数的性质得到函数在上是单调递增的，在上单调递增，此时；综上，在区间上单调递增．故选：B．【点睛】本题考查函数的单调性及函数最值的求解，考查分类讨论思想，考查学生解决问题的能力．研究函数单调性的方法有：定义法，求导法，复合函数单调性的判断方法，即同增第6页共19页异减，其中前两种方法也可以用于证明单调性，在解决函数问题时需要格外注意函数的定义域.10．定义在的函数，当时，若，，，则P，Q，R的大小为A．B．C．D．【答案】D【解析】在已知等式中取，可求得，取，能说明，所以说明，从而说明函数在上为增函数，再由已知等式把化为一个数的函数值，则三个数的大小即可比较．【详解】取，则，所以，，设，且满足，则，所以，又，所以，所以函数在上为增函数，由，得：，取，，则，所以，因为，所以所以．第7页共19页故选：D．【点睛】本题考查了不等关系与不等式，考查了特值思想，解答此题的关键是能够运用已知的等式证出函数是给定区间上的减函数，同时需要借助于已知等式把P化为一个数的函数值，属于中档题．两个式子比较大小的常用方法有：做差和0比，作商和1比，或者直接利用不等式的性质得到大小关系，有时可以代入一些特殊的数据得到具体值，进而得到大小关系.二、填空题11．______；______【答案】【解析】直接利用有理指数幂的运算性质与对数的运算性质化简求值．【详解】因为；．故答案为：；．【点睛】本题考查有理指数幂与对数的运算性质，是基础题．对数的常见公式：（1）；（2）；（3）．12．函数的单调递增区间是______；值域是______第8页共19页【答案】【解析】本题即求时，y的增区间，再利用二次函数的性质求得结论根据的范围，求得的范围．【详解】函数的单调递增区间，即时，y的增区间．由求得，故函数的定义域为．由二次函数的性质可得y的增区间为．由，，可得，故答案为：；．【点睛】本题主要考查复合函数的单调性，二次函数，对数函数的性质，属于中档题．研究函数单调性的方法有：定义法，求导法，复合函数单调性的判断方法，即同增异减，其中前两种方法也可以用于证明单调性，在解决函数问题时需要格外注意函数的定义域.13．若，则______；______【答案】【解析】推导出，再由换元法得到结果，将代入解析式．【详解】，，．故答案为：，．【点睛】本题考查函数值的求法，考查函数性质等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方第9页共19页程思想，是基础题．复合函数解析式的求法，一般常用的方法有：换元法，即设整体为t,反解x，再代入表达式，得到f(t)的表达式，将t换为x即可；还有配凑法，即将函数表达式配凑出括号内的整体.14．设函数，则______；满足的a的取值范围是______【答案】【解析】根据题意，由函数的解析式计算的值，进而计算即可得答案，对于，分2种情况讨论：，时，，，当时，，验证是否成立，分析a的取值范围，综合2种情况即可得答案．【详解】根据题意，函数，则，则，即，对于，分2种情况讨论：时，，其中当，即时，，而，不成立；当，即时，，而，成立；此时a的取值范围为；，当时，，且，第10页共19页则，而，成立；此时a的取值范围为；综合可得：a的取值范围为；故答案为：，．【点睛】本题考查分段函数的应用，涉及函数值的计算以及函数解析式的计算，属于基础题．求分段函数的函数值，要先确定要求值的自变量属于哪一段区间，然后代入该段的解析式求值，当出现的形式时，应从内到外依次求值;求某条件下自变量的值，先假设所求的值在分段函数定义区间的各段上，然后求出相应自变量的值，切记代入检验，看所求的自变量的值是否满足相应段自变量的取值范围.15．已知是上的减函数，那么a的取值范围是______．【答案】【解析】由分段函数的性质，若是上的减函数，则分段函数在每一段上的图象都是下降的，且在分界点即时，第一段函数的函数值应大于等于第二段函数的函数值由此不难判断a的取值范围．【详解】当时，单调递减，；而当时，单调递减，；又函数在其定义域内单调递减，故当时，，得，第11页共19页综上可知，．故答案为：【点睛】分段函数分段处理，这是研究分段函数图象和性质最核心的理念，具体做法是：分段函数的定义域、值域是各段上x、y取值范围的并集，分段函数的奇偶性、单调性要在各段上分别论证；分段函数的最大值，是各段上最大值中的最大者．16．已知函数的定义域为R，则实数a的取值范围______．【答案】【解析】题目中条件：“的定义域为R”转化为在R上恒成立，下面只要求出函数的最小值，使最小值大于等于2，解之即可．【详解】的定义域为R，在R上恒成立而解得故答案为：【点睛】本题考查函数的定义域及其求法，不等式的恒成立问题，属于中档题，求不等式恒成立的参数的取值范围，是经久不衰的话题，也是高考的热点，它可以综合地考查中学数学思想与方法，体现知识的交汇．17．在计算机的算法语言中有一种函数叫做取整函数也称高斯函数，表示不超过x的最大整数，例如，，，设函数，则函数的值域为______．【答案】第12页共19页【解析】由题意得，函数是定义在R上的奇函数，值域为，且的值域也是；分，，时讨论函数y的值即可．【详解】由题意，函数，；，为奇函数．又，，，．即，．当时，，；当时，若，，；若，，函数y的值域为．故答案应为．【点睛】本题以高斯函数为素材，用求值域来考查指数函数的性质、函数的奇偶性、函数的取整问题，有一定的技巧性．函数奇偶性的判断，先要看定义域是否关于原点对称，接着再按照定义域验证和的关系，求值域，往往先要确定函数的定义域，常见的方法有：根据函数的单调性得到函数的值域，换元将函数化为熟悉的模型，再由定义域求得值域.三、解答题18．已知集合，．求，；第13页共19页已知，若，求实数a的取值集合．【答案】（1）或}，（2）【解析】（1）先根据交集的定义求出，再由补集的定义求出；先求出，再由并集的定义可得结果；（2）由,,可得,解不等式组可得结论.【详解】(1)或}，=或}.(2)，若，则解得：.【点睛】本题主要考查了不等式，求集合的交集、并集与补集的混合运算，属于容易题，这类题型尽管比较容易，但是在解题过程中也要注意：一要看清楚是求“”还是求“”；二是在求补集与交集时要考虑端点是否可以取到（这是一个易错点）.19．已知函数是定义在R上的偶函数，已知当时，．求函数的解析式；画出函数的图象，并写出函数的单调递增区间；求在区间上的值域．【答案】（1）；（2）详见解析；（3）.【解析】根据当时，，，再由偶函数性质得到解析式；根据偶函数的对称性画；结合函数的图像再根据函数的单调性求．【详解】当时，，，第14页共19页因为为偶函数，所以，综上，，的图象如图：的增区间为，由图可知：在上递减，在上递增，所以时，，时，，故的值域为．【点睛】本题考查了函数的图象与图象变换属中挡题．求值域，往往先要确定函数的定义域，常见的方法有：根据函数的单调性得到函数的值域，换元将函数化为熟悉的模型，再由定义域求得值域.20．已知二次函数满足，且．求函数的解析式；求在区间上的最大值和最小值；当时，恒成立，求a的取值范围．【答案】（1）；（2）最大值为，最小值为；（3）.【解析】根据题意，用待定系数法分析：设二次函数的解析式为，由得，又由，则，第15页共19页即，解可得a、b的值，代入函数的解析式，即可得答案；根据题意，由二次函数的性质分析可得答案；根据题意，当时，恒成立，即在上恒成立，由基本不等式的性质分析可得，则有在上恒成立，解可得a的取值范围，即可得答案．【详解】根据题意，设二次函数的解析式为由得，则；又由，则．即，则有，解可得，，故，根据题意，由的结论，，在上为减函数，在上为增函数，又由，，则，则在区间上的最大值为，最小值为；根据题意，当时，恒成立，即在上恒成立，即在上恒成立，又由分析可得：，则有在上恒成立，；即a的取值范围为．根据题意，当时，恒成立，即在上恒成立，由基第16页共19页本不等式的性质分析可得，则有在上恒成立，解可得a的取值范围，即可得答案．【点睛】本题考查二次函数的性质，涉及函数的最值以及恒成立问题，属于综合题．对于函数恒成立或者有解求参的问题，常用方法有：变量分离，参变分离，转化为函数最值问题；或者直接求函数最值，使得函数最值大于或者小于0；或者分离成两个函数，使得一个函数恒大于或小于另一个函数。21．已知定义域为R的函数是奇函数．求a的值；试判断的单调性，并用定义证明；若对任意的，不等式恒成立，求k的取值范围．【答案】（1）；（2）详见解析；（3）.【解析】根据，即可求解a的值；利用定义证明即可；根据奇偶性和单调性，脱去“f”，转化为二次函数问题求解即可；【详解】由定义域为R的函数是奇函数．可得，即，可得经检验，当时，是奇函数；故；由可知，设R上的任意，，且，由；第17页共19页，，那么；则．是定义在R上的递增函数；不等式，即是奇函数；又是定义在R上的递增函数；对任意的上恒成立，令对任意的上恒成立，则，即，解得：