卷积及其性质

§2.7卷积及其性质121212121211201()()(,)()()()()()()()()()()i)0,()0()()()ftftStfftdftftftftStfftdtftStfftd一，卷积积分，定义设和是定义在区间上的两个函数，则积分称为和的卷积，记为对于若，即§2.7卷积及其性质2221212120ii)0,()0()0,()0()()()iii)0,()0,()0,0,0()()()(),0tttftfttftStfftdtftfttStStfftdt若＝，那么对于,若则§2.7卷积及其性质12121212211()[(2)(5)]2()2(1)(7)()()()()()()()()12ftututftututStftftStftftfftd，卷积及分的求取方法（）函数计算法例，已知求解：[(2)(5)2(1)(7)uuututd§2.7卷积及其性质11122(1)(2)(1)(5)(7)(2)(7)(5)(1)(2)11(3)(3)tutudutudutudutudSutudSdtutSu对于，通过积分限判断得同理15732745(1)(5)11(6)(6)(7)(2)11(9)(9)(7)(5)11(12)(12)ttttuddtutSutuddtutSutuddtut§2.7卷积及其性质()(3)(3)(6)(6)(9)(9)(12)(12)0,33,363,6912,9120,12Sttuttuttuttutttttttt于是由此可见，函数式积分应特别注意积分结果存在的区间，稍不留意就会出错。§2.7卷积及其性质（2）卷积积分的图解法121122222212()()()()()()()()()()()()()Stfftdftfftffffftfftd观察实现卷积积分有四个步骤：第一步，改变积分变量,，第二步,反转第三步，平移第四步，相承与积分举例说明。§2.7卷积及其性质123121312123123121()[()()](()()()()()()2[()()]()()[()()]()()ftftftftftftfthththtftftftftftfththt（）分配律：）物理意义：几个系统并联，可等效为一个冲激响应（）结合律：物理意义：若冲击响应为，的两个系统相串联，12()()()hththt此两系统的组合可等效唯一个冲击响应的系统。§2.7卷积及其性质1221211212121221(3)()()()()4()()()()()()5()()()()()()tttftftftftdftdftdftftftftdtdtdtffdftfdftfd交换律：物理意义：串联的子系统可以任意交换位置。（）卷积的微分：（）卷积的积分§2.7卷积及其性质()()()1212()()()()00ijijftftftftiij推论整数表示微分和（）为整数表示积分§2.7卷积及其性质001212()()()()006()()()()()()()()()()'()'()()()()()()()()()()kkkktfttftftttftttttttttfttftfttftftttfttftutfd（）与奇异函数的卷积§2.7卷积及其性质1212()()*()()2[(1)(3)]()()2(1)(2)stftftftututftututut例：求卷积，其中1112()()()*()*()tdftstftftfddt解：1231201210f1(t)f2(t)tt§2.7卷积及其性质1231201210f1'(t)f2'(t)tt123452-2s(t)t§2.7卷积及其性质1212121122121201()()()*()()()()()()()()()()*()()()mnmxnxnxnxnxmxnmxnxnunxnxnunxnxnxmxnm二，离散卷积和，定义两个序列，得卷积和定义为如果两个序列都是因果的，即，则有§2.7卷积及其性质12121212121212121221()*()()*()[()*()]()*()()*()[()*()]2()*()()*()[()*()]nnniiixnxnxnxnxnxnxnxnxnxnxnxnxnxixnxixnxn，卷积和的性质卷积和的性质与卷积积分完全对应。特别地，有（）卷积和的差分（）卷积和的累加3()*()(),()*()()()*()()xnnxnxnmnxnmxnnmxnm（）与单位样值序列的卷积和§2.7卷积及其性质121211222222123,12()*()()()()(),()()()()()()()()mmxnxnxmxnmxnxmxnxmxmxmxmxnmxmxnm卷积和的求取方法（）直接用解析式求（）借助图形求观察，同样分四步求：第一步，改变求和变量,第二步,反转第三步，第四步，相承与求和举例说明。§2.7卷积及其性质(1)1001,01(01),0(),()0,0,0()()()11()02011()()()131nnnnnmnmmnNaanxnhnothersnynxnhnnynnNaynxnhnmaaanN例，已知两个序列求卷积和解：（）当时，；（）当时（）当〉时111001()()()1NNNnmnmmaynxnhnmaaa§2.7卷积及其性质n,(m)(),()hnhm……n,(m)N-1x(n),x(m)n,(m)……0nh(-m)n,(m)……h(n-m)§2.7卷积及其性质n,(m)……nn,(m)……n(1)110,11(),0111,11nnNnnaynanNaaanNa所以n()ynN-1……§2.7卷积及其性质3()(2)(3)*(2)(3)(2)(3)(2)(1)()(1)(2)()[(2)(1)()(1)(2)][(2)(1)()ynununununununnnnnnynnnnnnnnn（）利用性质求例，求卷积和解：所以(1)(2)]()*()()()(4)2(3)3(2)4(1)5()4(1)3(2)2(3)(4)nnnnmnmynnnnnnnnnn因为于是§2.7卷积及其性质04()()*()()()()()(0)(0)(0)(1)(0)(1)(1)(mnmynxnhnxnhnmxnhnmyxhyxhxh（）用序列阵表格求卷积和由（对于双边序列）（对于因果序列）得到0)(2)(0)(2)(1)(1)(2)(0)......()(0),(1),(2)......yxhxhxhynyyy§2.7卷积及其性质h(0)h(4)h(3)h(2)h(1)x(0)x(4)x(3)x(2)x(1)x(0)h(0)x(0)h(1)x(1)h(0)x(0)h(2)x(1)h(1)x(2)h(0)x(3)h(0)x(2)h(1)x(0)h(3)x(1)h(2)。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。沿每条对角线将各乘积项相加，即可得到各项y(n)之值，对于都是从n=0开始的序列之卷积，很显然第一项是y(0)。但如果x(n)和h(n)的第一项不是从n=0开始，则y(0)是含有行和列的第0行之交叉项的两条对角线之间各项的和。