3-2-方差与矩

下回停一、方差的概念二、方差的性质三、矩的概念§3.2随机变量的方差和矩1.问题的提出引例1有两批灯泡,其平均寿命都是E(X)1000OxOx10001000哪一批灯泡寿命更为稳定?小时.一、方差(Variance)的概念引例2比较两射手的技术8910击中环数8910击中环数0.10.80.1概率0.40.20.4概率甲射手乙射手显然二者的平均水平为9环,也就是两射手的水如何描述这种差异呢?平相当,但乙射手的波动性较大,射击不够稳定.由此可以引入方差的定义如下：设射手打中的环数为随机变量X,其分布律为,2,1,ipxXPiiiiixEXpEXEX221[()][()],XExi则该射手的平均射击波动为XExi其平均水平为EX,则其每次射击的波动为为了数学上处理的方便,以2)]([XExi替代2.方差的定义2XEXE通过上述2个引例,我们可以给出如下定义定义3.3设X是一个随机变量,若存在,则称2XEXE为X的方差,记为.22XEXEXσXD即或,2XσXD),.StandardDeviationDXX称为标准差(或均方差记为2º方差D(X)是一个非负实数,常用来体现随机变量X取值分散程度的量,它反映了X偏离其数学期望的程度.3º如果D(X)值大,表示X取值越分散,以E(X)作为随机变量的代表性差;(小)(集中)(好).注1º由定义知,.02XEXEXD3、随机变量方差的计算离散型随机变量的方差,)]([)(12kkkpXExXD连续型随机变量的方差,d)(2xxpXExXD(1)利用定义计算.,2,1,}{的分布律是其中XkpxXPkk其中px为X的概率密度.例1(正态分布).,,~2XDσμNX求若.,0,eπ212221xσσxpμxσ,μXE且解XD所以xxpXExd2xxpμxd2xσμxμxσdeπ2122212因为X的概率密度为tσμx令.2σttσtdeπ22-222ttσttdeeπ222222π2π202σ因而正态分布的方差为.2σ,,~2σμNX正态分布.,2XDσXEμ),(~21σμNX)(1xpyxyOxyO)(2xpy21σσ正态分布方差的直观图示:),(~22σμNX(2)利用公式计算.22XEXEXD证2)]([)(XEXEXD})]([)(2{22XEXXEXE22)]([)()(2)(XEXEXEXE.)]([)(22XEXE例2解设随机变量X具有概率密度,,010,101,1其它xxxxxp.XD求,0d1d11001xxxxxxXE,32d1d11020122xxxxxxXE.3222XEXEXD4.常见概率分布相应的方差nkppCkXPknkkn,,2,1,0,1(二项分布)解.10p则有设随机变量X服从参数为n,p二项分布,其又因为.npXEnkppCkXPknkkn,,2,1,0,1分布律为pnBX,~设随机变量,求DX.,)]([)()(22XEXEXD])1([)(2XXXEXE)()]1([XEXXEnpppCkkknknkkn)1()1(0npppknknkkknknk)1()!(!!)1(0nppppnnn22)]1([)1(.)(22nppnn22)]([)()(XEXEXD222)()(npnppnn).1(pnpnpppkknnpnnknknk)2()2(222)1()!2()!()!2()1()1(pnp(泊松分布)解则有又因为.,~XDλPX求设随机变量,e!λkkλkXP.0,,2,1,0k.)]([)()(22XEXEXD,λXE设XP,且分布律为])1([)(2XXXEXE)()]1([XEXXE0e!)1(kλkλkλkk222)!2(ekkλλkλλλλλλee2.2λλ所以22)]([)()(XEXEXD22λλλ.λ因而,泊松分布的数学期望与方差都等于参数.(均匀分布)其分布密度函数为设,,~baUX,21baXE.122ba解222d1baxabxba22)]([)()(XEXEXD设随机变量X服从均匀分布,.,0,,1其它bxaabxp则有求D(X).(指数分布).,Exp~XDλX求设随机变量,1λXE解22)]([)()(XEXEXD2201-xxedx2221112.设随机变量X~Exp,则分布分布律E(X)D(X)0-1分布X~B(1,p)pp(1－p)二项分布X~B(n,p)npnp(1－p)泊松分布几何分布λPX~kkppkXP1)1(}{k0,1knkknppCkXP)1(}{k0,1,2,…,nλkkλkXPe!k0,1,2,…ppkXPk1)1(k1,2,…λλ2pqp1常见离散型分布对应的数学期望与方差分布分布密度E(X)D(X)均匀分布X~U[a,b]p(x)=其他,0],[,1baxab2ba12)(2ab正态分布),(~2NXp(x)=222)(21xe2指数分布)(~EXp(x)=)0(,00,其他xex121常见连续型分布的数学期望与方差二、方差的性质.2XDkkXD2kXEkXEkXD证22CECECD性质1设C是常数,则有.0CD22CC.0性质2设X是一个随机变量,k是常数,则有证.222XDkXEXEk+++1122nnDaXaXaXb证2)]()[()(YXEYXEYXD2)]}([)]({[YEYXEXE22)]([)]([YEYEXEXE).()(YDXD推广则有相互独立若,,,,21nXXX.2222121nnXDaXDaXDa)]}()][({[2YEYXEXE性质3设随机变量X,Y相互独立,且DX,DY存在,则DXYDXDY.1232123123,,~(1,7),~(0,2),~(3),23,()____(1989数学四)设随机变量相互独立，其中记则XXXXUXNXPYXXXDY例解由独立性可知123()()4()9()3162746DYDXDXDX,,2εσXD则对于任意正整数方差切比谢夫设随机变量X具有数学期望EX,22εσεμXP成立.不等式性质4(切比谢夫不等式)证取连续型随机变量的情况来证明.则有的概率密度为设),(xpX.}{22εσεμXPxxpμxεd)()(122.122σεxxpεμxεμxd)(22得}{εμXPεμxxxpd)(122εμx.1}{22εσεμXP放大被积函数放大积分区间切比谢夫不等式的意义:给出了在X的分布未知的情形下,粗略估计概率εXEXP)(的方法;注2º说明了DX的确刻划了X对EX的偏离程度,,1)(2εXDεXEXP由可知:DX越小(X偏离EX程度越小),这表明:X取值越集中在E(X)附近.注3º它是大数定律的理论基础.注1ºεXEXP)(越大.例5已知正常男性成人血液中,每一毫升所解设X为每毫升血液中含白细胞数.依题意,有.700)(,7300)(22σXDXE94005200XP7300940073005200XEXP含白细胞数的平均数是7300,均方差是700,试利用切比谢夫不等式估计每毫升含白细胞数在5200~9400之间的概率p.7300940073005200XEXP21002100XEXP2100XEXP2)(1})({εXDεXEXP221001XD.8889.094005200XP即2221007001.8889.098.,1为常数CCXP,0)(02εXDεXEXP证必要性:由于充分性：随机变量X的方差DX0的充要条件是:的任意性可知而由ε.1XEXP性质5PXC1,由EXC.EXC22.DXEXEX=22()()[()]0.性质6证2XEXEXDCR,对任意则2DXEXC.2XECCXECXEXECCXE2222XECCXE2EXCCEX.当时,等号成立2XEC三、矩Moment的概念nkXEXk,1,若是一随机变量设),2,1()(nkXEakk特例:1.矩的概念定义3.4定义3.5.22的方差是XXEXEμ存在,则称它为X的k阶原点矩ak,即设X是一随机变量,且a1EX,特例:a1EX是X的数学期望.nkXEXEk,2,1若存在,则称它为X的k阶中心矩,记为.,kkkXEXEμμ2.原点矩与中心矩的关系kiikiikaaC01kiikiikkkXEXECXEXEμ0二者之间可以相互唯一表达,关系如下:kkkaaXEXEa11kiikiikaXEaC011kiikiikaC01注1º以上数字特征都是随机变量函数的数学期望;k阶原点矩和k阶中心矩可以互相唯一表示.随机变量X的期望EX是X的一阶原点矩,方差为二阶中心矩;三阶中心矩EXEX3,主要用来衡量随机变量的分布的非对称性，即是否有偏.2º在实际中,高于四阶的矩很少使用.四阶中心矩EXEX4,主要用来衡量随机变量的分布在均值附近的陡峭程度如何.一般越大陡峭程度越尖.3º例12uuσukkdeπ222σμxuxμxσσμxkde)(π21222)(.)]([),,(~2kkXEXEμσμNX求设有对于任意,1kkkXEXEμ)]([解为奇数为偶数kkkkσk,0,13)3)(1(内容小结1.方差是一个常用来体现随机变量X取值分散程度的量.如果D(X)值大,表示X取值分散程度大,E(X)的代表性差;而如果D(X)值小,则表示X的取值比较集中,以E(X)作为随机变量的代表性好.,)]([)()(22XEXEXD2.方差的计算公式,)]([)(12kkkpXExXDxxpXExXDd23.方差的性质).()()(3);()(2;0)(10200YDXDYXDXDCCXDCD22}{εσεμXP.1}{22ε