抛物线切线与阿基米德三角形专题强化训练及答案

学习数学领悟数学秒杀数学第四章圆锥曲线232专题7抛物线切线与阿基米德三角形秒杀秘籍：第一讲抛物线切线方程及性质设在抛物线pyx22上任意一点00,yxA的切线方程为：00yypxx证明：点00,yxA在抛物线上0202pyx；又pyx22pxy22求导得pxpxyk22；在点00,yxA的切线方程为：000xxpxyy即002000yypxxxxxpypy同理，在抛物线pxy22上任意一点00,yxA的切线方程为：00xxpyy证明：点00,yxA在抛物线上0202pxy；又pxy22pyx22对y求导得pypyxk22；在点00,yxA的切线方程为：000yypyxx即002000xxpyyyyypxpx定理：在抛物线pyx22上任意一点00,yxA的切线与x轴的交点为B，则ABFB．（图左）在抛物线pxy22上任意一点00,yxA的切线与y轴的交点为B，则ABFB．（图右）证明：将0y代入点A处的切线方程00yypxx得：200000xxpyxpyxx；故B为AC中点，又AFypFC02，故AFC△为等腰三角形，故ABFB．同理可证，在图右中AFC△为等腰三角形，ABFB【例1】点M1,2是抛物线pyx22上的点，则以点M为切点的抛物线的切线方程为．【例2】过点A2,0且和抛物线C：xy62相切的直线l方程为．【例3】直线l经过点2,0且与抛物线xy82只有一个公共点，满足这样条件的直线l有条．达标训练11．在曲线2yx上切线的倾斜角为4的点的坐标为．2．过抛物线C：22xy的焦点F的直线l交抛物线C于A、B两点，若抛物线C在点B处的切线斜率为1，则线段AF（）A．1B．2C．3D．4学习数学领悟数学秒杀数学第四章圆锥曲线2333．抛物线2xy在点1124M，处的切线的倾斜角是（）A．30B．45C．60D．904．设曲线2axy在点(1,a)处的切线与直线062yx平行，则a（）A．12B．12C．1D．15．函数24xy在点P（2,1）处的切线方程为_____．6．抛物线yx42的准线l与y轴交于点P，若直线l绕点P以每秒12弧度的角速度按逆时针方向旋转t秒钟后，恰与抛物线第一次相切，则t．7．过点1,2引直线与抛物线2xy只有一个公共点，这样的直线共有条．8．过点P（3，4）作抛物线yx22的两条切线，切点分别为A、B，则直线AB的斜率为．9．（2014•辽宁）已知点23A，在抛物线C：pxy22的准线上，过点A的直线与C在第一象限相切于点B，记C的焦点为F，则直线BF的斜率为（）A．21B．32C．43D．3410．已知点A为抛物线C：24xy上的动点（不含原点），过点A的切线交x轴于点B，设抛物线C的焦点为F，则△ABF（）A．一定是直角B．一定是锐角C．一定是钝角D．上述三种情况都可能11．抛物线212xy在第一象限内图象上一点22iiaa，处的切线与x轴交点的横坐标记为1ia，其中*Ni，若322a，则642aaa等于（）A．64B．42C．32D．2112．抛物线1C:022ppyx的焦点与双曲线2C:1322yx的右焦点的连线交1C于第一象限内的点M．若1C在点M处的切线平行于2C的一条渐近线，则p（）A．316B．38C．233D．334秒杀秘籍：第二讲阿基米德三角形与焦点弦抛物线的弦与过弦的端点的两条切线所围的三角形，这个三角形又常被称为阿基米德三角形．阿基米德三角形的得名，是因为阿基米德本人最早利用逼近的思想证明如下结论：抛物线的弦与抛物线所围成的封闭图形的面积，等于抛物线的弦与过弦的端点的两条切线所围成的三角形面积的三分之二．下面来逐一介绍阿基米德三角形．学习数学领悟数学秒杀数学第四章圆锥曲线234如图，已知Q是抛物线pyx22准线上任意一点，过Q作抛物线的切线QA、QB分别交抛物线于A、B两点，M（00,yx）为AB中点，则：（1）0xxQ；（2）AB过抛物线的焦点；（3）BQAQ由于极点极线的方法是不能出现在高考解答题中的，所以在抛物线的切线问题中，上述证明过程即解答题思路，即：导→差→代→联【例4】已知点P2,3在抛物线C：022ppxy的准线上，过点P的直线与抛物线C相切于A，B两点，则直线AB的斜率为（）A．1B．2C．3D．3【例5】已知抛物线02:2ppyxP．（1）若抛物线上点(,2)Mm到焦点F的距离为3，求抛物线P的方程；（2）设抛物线P的准线与y轴的交点为E，过E作抛物线P的切线,求此切线方程;达标训练21．过抛物线241xy准线上任一点作抛物线的两条切线，若切点分别为M、N，则直线MN过定点（）A．01，B．10，C．01，D．01，2．已知A、B为抛物线022ppyx上两点，直线AB过焦点F，A、B在准线上的射影分别为C、D，则①0DFCF；②存在实数使得AOAD（点O为坐标原点）；③若线段AB的中点P在准线上的射影为T，有0ABFT；④抛物线在A点的切线和在B点切线一定相交，并且相互垂直．其中说法正确的个数为（）A．1B．2C．3D．43．若过抛物线241xy的准线上一动点P作此抛物线的两条切线，切点分别为A11,yx、B22,yx；点O为坐标原点．则以下命题（1）直线AB过定点；（2）∠AOB为钝角；（3）∠APB可取60°；（4）若△ABO的面积为52，则点P坐标为312，或312，．其中正确的个数是（）A．1B．2C．3D．4学习数学领悟数学秒杀数学第四章圆锥曲线2354．已知抛物线220ypxp的焦点为F，F关于原点的对称点为P．过F作x轴的垂线交抛物线于MN、两点．有下列四个命题：①△PMN必为直角三角形；②△PMN不一定为直角三角形；③直线PM必与抛物线相切；④直线PM不一定与抛物线相切．其中正确的命题是．5．F为抛物线220ypxp的焦点，过点F的直线与该抛物线交于A、B两点，12ll、分别是该抛物线在AB、两点处的切线，12ll、相交于点C，设|AFa，BFb，则CF（）A．abB．2abC．22abD．ab6．已知过抛物线24xy的焦点F的直线交抛物线于AB、两个不同的点，过AB、分别作抛物线的切线，且二者相交于点C，则△ABC的面积的最小值为．7．已知直线1ykx与抛物线24xy相交于AB、两点，且该抛物线过AB、两点的切线交于C，点C的轨迹记为EMN，、是E上不同的两点，直线AMBN、都与y轴平行，则FMFN．8．过32P，做抛物线212yx切线交抛物线于AB、两点，求直线AB斜率．9．已知抛物线24xy的焦点为F，过焦点F且不平行于x轴的动直线l交抛物线于AB、两点，抛物线在AB、两点处的切线交于点M．（1）求证:AMB、、三点的横坐标成等差数列;（2）设直线MF交该抛物线于CD、两点，求四边形ACBD面积的最小值．10．过抛物线24xy上不同两点A、B分别作抛物线的切线相交于P点，0PAPB．（1）求点P的轨迹方程；（2）已知点01F，，是否存在实数使得20FAFBFP？若存在，求出λ的值，若不存在，请说明理由．学习数学领悟数学秒杀数学第四章圆锥曲线23611．抛物线的顶点在原点，焦点在射线100xyx上，（1）求抛物线的标准方程；（2）过（1）中抛物线的焦点F作动弦AB，过A、B两点分别作抛物线的切线，设其交点为M，求点M的轨迹方程．12．已知抛物线C：2yx，直线l：220xy，点P是直线l上任意一点，过点P作抛物线C的切线PMPN、，切点分别为MN、，直线PMPN、斜率分别12kk、，如图所示．（1）若41P，，求证：1216kk；（2）若MN过抛物线的焦点，求点P的坐标．13．设直线2yx与抛物线20yaxa相交于AB、两点，M是线段AB的中点，过点M作x轴的垂线交抛物线于点N．（1）证明：抛物线在N点处的切线与AB平行；（2）是否存在实数a，使得NA⊥NB？若存在，求出a的值；若不存在，请说明理由．学习数学领悟数学秒杀数学第四章圆锥曲线237秒杀秘籍：第三讲阿基米德三角形的极点极线性质定理1：设过点P与抛物线对称轴平行的直线交抛物线于M，交切点弦于点Q，则Q点平分切点弦AB．（无论点P在曲线的什么位置，上述结论均成立）．且M处的切线平行于抛物线的切点弦．（图1,3）定理2：直线:lykxm上一动点Q引抛物线两切线QA，QB，则过两切点的直线AB必过定点G（图2,4）可以理解为极点和极线相互牵连；如图1，点00,yxP为抛物线pyx22外任意一点，过点P作抛物线两条切线分别切于A、B两点，AB的中点为Q，直线PQ交抛物线于点M求证：（1）myxxG00，（m为直线AB在轴上的截距）；且直线AB方程为00yypxx；（2）设点M处的切线l，求证AB//l．注意：抛物线的切线解题模式为：导→差→代→联，即求导写切线方程，切线方程进行作差，将求出来的点坐标代入切线方程，联立直线与抛物线得到直线过定点．如图2，点00,yxQ为直线:lykxm上一动点，过点Q引抛物线pyx22两条切线QA，QB，则过两切点的直线AB必过定点Gmpk,．【证明】由定理1结论可知AB：00xxpyy，又Q在直线l上，故00ykxm，将两式联立得：0000000000mxkpykpxymxyypkymkxyxyypxyypxx，由于0y为任意数，故mykpxCxkpykpx00（图4也可以推导，:lxkym过直线AB定点Gkpm,【例6】过点4,3P作抛物线yx22的两条切线，切点分别为A、B，则直线AB的斜率为．【例7】在平面直角坐标系xOy中，动点P到定点1(0,)4F的距离比点P到x轴的距离大14，设动点P的轨迹为曲线C，直线:1lykx交曲线C于A,B两点，M是线段AB的中点，过点M作x轴的垂线交曲线C于点N．（1）求曲线C的方程；（2）证明:曲线C在点N处的切线与AB平行；（3）若曲线C上存在关于直线l对称的两点，求k的取值范围．学习数学领悟数学秒杀数学第四章圆锥曲线238【例8】过x轴上的动点A0,a引抛物线12xy的两切线APAQ、，PQ、为切点．（1）求PQ的方程；（2）求证直线PQ过定点．达标训练31．过点122M，作直线交抛物线022ppyx于A、B且M为A、B中点，过A、B分别作抛物线切线，两切线交于点N，若N在直线py2上，则P．2．过点P1,2引抛物线xy42的两条切线，切点分别为A、B，F是抛物线的焦点，则直线PF与直线AB的斜率之和为．3．已知抛物线C：22xy，直线2kxy交抛物线C于A，B两点，M是线段AB的中点，过M作x轴的垂线交C于点N．证明：抛物线C在点N处的切线与AB平行．4．如图，设抛物线022ppyx，M为直线py2上任意一点，过M引抛物线的切线，切点分别为A、B．求证：A、M、B三点的横坐标成等差数列．学习数学领悟数学秒杀数学第四章圆锥曲线2395．过x轴上动点A0Aa，，引抛物线32xy的两条切线AP、AQ，切点分别为P、Q．（1）若1a，求直线PQ的方程；（2）探究直线PQ是否经过定点，若有，请求出定点的坐标；否则，请说明理由．6．（深圳一模）在四边形ABCD中，已知(00)(04)AD，，，，