6.2.1等差数列概念及其表示

1+2+3+···+100=?高斯，(1777—1855）德国著名数学家。得到数列1，2，3，4，…，100引例一姚明刚进NBA一周训练罚球的个数：第一天：6000，第二天：6500，第三天：7000，第四天：7500，第五天：8000，第六天：8500，第七天：9000.得到数列：6000，6500，7000，7500，8000，8500，9000引例二匡威运动鞋（女）的尺码（鞋底长，单位是cm）引例三2124212321252122，23，，24，，25，，26，212421252122，23，，24，，25，，26，得到数列姚明罚球个数的数列：6000，6500，7000，7500，8000，8500，9000发现？观察：以上数列有什么共同特点？从第2项起，每一项与前一项的差都等于同一常数。高斯计算的数列：1，2，3，4，…，100观察归纳2124212321252122，23，，24，，25，，26运动鞋尺码的数列一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列。这个常数叫做等差数列的公差，通常用字母d表示。递推公式an－an－1=d（d是常数，n≥2，n∈N*）等差数列定义②6000，6500，7000，7500，8000，8500,9000公差d=1公差d=5002124212321252122，23，，24，，25，，26③公差d=21①1，2，3,…,100；2、常数列a，a，a，…是否为等差数列?若是，则公差是多少?若不是，说明理由想一想公差是03、数列0，1，0，1，0，1是否为等差数列?若是，则公差是多少?若不是，说明理由不是公差d是每一项（第2项起）与它的前一项的差，防止把被减数与减数弄颠倒，而且公差可以是正数，负数，也可以为01、数列6，4，2，0,-2,-4…是否为等差数列？若是，则公差是多少?若不是，说明理由公差是-2小结：判断一个数列是不是等差数列，主要是由定义进行判断：an+1-an是不是同一个常数？已知等差数列｛an｝的首项是a1，公差是da2-a1=d……an-an-1=d(1)式+(2)式+…+(n-1)式得：a3-a2=da4-a3=dan-a1=（n-1）d，（1）（2）（3）（n-1）通项公式累差迭加法an=a1+（n-1）d即等差数列的图象1（1）数列：-2，0，2，4，6，8，10，…12345678910123456789100●●●●●●●等差数列的图象2（2）数列：7，4，1，-2，…12345678910123456789100●●●●等差数列的图象3（1）数列：4，4，4，4，4，4，4，…12345678910123456789100●●●●●●●●●●等差数列各项对应的点都在同一条直线上通项公式中含有a1，d，n，an四个量，从已知和未知的角度看，若已知其中任意三个量的值，即可利用方程的思想求出第四个量的值（即知三求四）．•通项公式的应用：•①可以由首项和公差求出等差数列中的任意一项；•②已知等差数列的任意两项，可以确定数列的任意一项。例1已知等差数列的首项a1是3，公差d是2，求它的通项公式。分析：知道a1,d,求an.代入通项公式。解：∵a1=3,d=2∴an=a1+(n-1)d=3+(n-1)×2=2n+1例题讲解例2求等差数列10，8，6，…的第20项。解：∵a1=10,d=8-10=-2，n=20由an=a1+(n-1)d得∴a20=a1+(n-1)d=10+(20-1)×(-2)=-28例题讲解分析：根据a1=10，d=-2，先求出通项公式an，再求出a201.100是不是等差数列2，9，16，…的项？如果是，是第几项？如果不是，请说明理由试一试分析：先求出数列的通项公式，然后假设100是等差数列中的项，求出n解：∵a1=2,d=7∴an=a1+(n-1)7=2+(n-1)×7=7n-5令100=7n-5∴n=15∴100是等差数列的第15项解：由题意可得a1+5d=12，a1+17d=36∴d=2，a1=2∴an=2+(n-1)×2=2n例3在等差数列{an}中，已知a6=12，a18=36,求通项公式an分析：此题已知a6=12，n=6；a18=36,n=18分别代入通项公式an=a1+(n-1)d中，可得两个方程，都含a1与d两个未知数组成方程组，可解出a1与d。例题讲解试一试2.在等差数列{an}中,已知a5=10，a12=31,求通项公式an分析：此题已知a5=10，n=5；a12=31,n=12分别代入通项公式an=a1+(n-1)d中，可得两个方程，都含a1与d两个未知数组成方程组，可解出a1与d。解：设an=a1+(n-1)d，则有a1+4d=10,a1+11d=31∴a1=-2，d=3，∴an=-2+(n-1)×3=3n-5我国古代算书《孙子算经》卷中第25题记有：“今有五等诸侯，共分橘子六十颗。人分加三颗。问：五人各得几何？”古题今解分析：此题已知a1+a2+a3+a4+a5=60，d=3，∴a1+(a1+d)+(a1+2d)+(a1+3d)+(a1+4d)=60,∴a1=6,a2=9,a3=12,a4=15,a5=18即为五等诸侯分到橘子的颗数。如果在a和b之间插入一个数A，使a、A、b成等差数列，则A叫做a、b的__________。有____________________反之______,即若a+b=2A，则a、A、b成等差中项22abAAab也成立等差数列等差中项都是等价的。成等差数列，那么若cbbabcabcabcabcba;;2;2,,一般地，在等差数列中，从第二项起，每一项（有穷等差数列的末项除外）都是它的前一项与后一项的等差中项。即2an=an－1+an+1(n≥2)例1(1)已知数列{an}的通项公式是an=3n-1，求证：{an}为等差数列；(2)已知数列{an}是等差数列，求证：数列{an+an+1}也是等差数列.【小结】①数列{an}为等差数；②证明一个数列为等差数列的方法是：.an=kn+bk、b是常数.证明：an+1—an为一个常数.例题分析例2(1)等差数列11，8，5，…，的第19项是；(2)等差数列-5，-9，-13，…的第项是-307；(3)已知{an}为等差数列，若a1=3，d=，an=21，则n=；(4)已知{an}为等差数列，若a17=，d=，则a10=.232532-499913613【说明】在等差数列{an}的通项公式中a1、d、an、n任知个，可求.三另外一个.aaaa,qpnm,Nq,p,n,maqpnmn求证：且是等差数列，数列,d,aa1n公差是的首项是证明：设,)1(1dmaam则,)1(1dnaan,)1(1dpaap,)1(1dqaaq,)2(21dnmaaanm,)2(21dqpaaaqp.,qpnmaaaaqpnm【说明】3.更一般的情形，an=，d=等差数列的性质11.{an}为等差数列2.a、b、c成等差数列an+1-an=dan+1=an+dan=a1+(n-1)dan=kn+b（k、b为常数）am+(n-m)dmnaamnb为a、c的等差中项2cab2b=a+c4.在等差数列{an}中，由m+n=p+qam+an=ap+aq例3.在等差数列{an}中(1)已知a6+a9+a12+a15=20，求a1+a20例题分析(2）已知a3+a11=10，求a6+a7+a8分析：由a1+a20=a6+a15=a9+a12及a6+a9+a12+a15=20，可得a1+a20=10分析：a3+a11=a6+a8=2a7，又已知a3+a11=10，∴a6+a7+a8=（a3+a11）=1523三数成等差数列，它们的和为12，首尾二数的积为12，求此三数.已知{an}为等差数列且a4+a5+a6+a7=56，a4a7=187，求公差d.结论归纳1:数列{an}是公差为d的等差数列。数列a1,a3,a5,a7,……是公差为等差数列数列a2,a4,a6,a8,……是公差为等差数列数列ma2,ma4,ma6,ma8,……是公差为等差数列数列a1+a2,a2+a3,a3+a4,a3+a4,……是公差为等差数列2d2d2md2d等差数列中有关项的设法当等差数列{an}的项数为奇数时，可设中间一项为a，再以公差为d向两边分别设项;当等差数列{an}的项数为偶数时，可设中间两项分别为a-d，a+d，再以公差为2d向两边分别设项对称项设法的优点：若有n个数构成等差数列．利用对称项设出这个数列，则其各项和为na．结论归纳2: