正交试验设计与数据处理

第4章正交试验设计与数据处理在生产实践中，试制新产品、改革工艺、寻求好的生产条件等，这些都需要做试验，而试验总是要花费时间，消耗人力、物力。因此，试验的次数应尽可能少。全面试验：如4个3水平的因素，要做34＝81次试验；6个5水平的因素，要做56＝15625次试验。非常困难。能否减少试验次数，而又不影响试验效果呢？有正交试验4.1正交表及其用法正交表的记号：L9（34）——表示4个因素，每个因素取3个水平的正交表。格式如表4-1所示。4.1正交表及其用法正交表记为Ln（mk），m是各因素的水平，k（列数）是因素的个数，n是安排试验的次数（行数）。L9（34）4因素3水平正交试验，共做9次试验，而全面试验要做34=81次，减少了72次。L25（56）6因素5水平正交试验，共做25次试验，而全面试验要做56=15625次，减少了15600次。正交表的两条重要性质：（1）每列中不同数字出现的次数是相等的，如L9（34），每列中不同的数字是1，2，3。它们各出现三次。（2）在任意两列中，将同一行的两个数字看成有序数对时，每种数对出现的次数是相等的，如如L9（34），有序数对共有9个：（1，1），（1，2），（1，3），（2，1），（2，2），（2，3），（3，1），（3，2），（3，3），它们各出现一次。4.1正交表及其用法由于正交表的性质，用它来安排试验时，各因素的各种水平是搭配均衡的。下面通过具体例子来说明如何用正交表进行试验设计。例4.1某水泥厂为了提高水泥的强度，需要通过试验选择最好的生产方案，经研究，有3个因素影响水泥的强度，这3个因素分别为生料中矿化剂的用量、烧成温度、保温时间，每个因素都考虑3个水平，具体情况如表4-2，试验的考察指标为28天的抗压强度（MPa），分别为44.1,45.3,46.7,48.2,46.2,47.0,45.3,43.2,46.3。问：对这3个因素的3个水平如何安排，才能获得最高的水泥的抗压强度?解：在这个问题中，人们关心的是水泥的抗压强度，我们称它为试验指标，如何安排试验才能获得最高的水泥抗压强度，这只有通过试验才能解决，这里有3个因素，每个因素有3个水平，是一个3因素，3水平的问题，如果每个因素的每个水平都互相搭配着进行全面试验，必须做试验33=27次，我们把所有可能的搭配试验编号写出，列在表4-3中。例4.1进行27次试验要花很多时间，耗费不少人力、物力，为了减少试验次数，但又不能影响试验的效果，因此，不能随便地减少试验，应当把有代表性的搭配保留下来，为此，按L9（34）表中前3列的情况从27个试验中选取9个，它们的序号分别为1，5，9，11，15，16，21，22，26，将这9个试验按新的编号1—9写出来，正好是正交表L9（34）的前3列，如表4-1所示。为了便于分析计算，把考查指标（铁水温度）列于表4-4的右边，做成一个新的表4-5，利用张表进行分析计算。从表4-5中的数据处理与分析，可以得出结论：各因素对考查指标（抗压强度）的影响按大小次序来说应当是A(矿化剂用量)、B(保温时间)、C(烧成温度)，最好的方案应当是A2C2B3，即：例4.1A2：矿化剂用量，第2水平，4%；C2：保温时间，第2水平，30min；B3：烧成温度，第3水平，1450℃。得出的最好方案在已经做过的9次试验中没有出现，与它比较接近的是第4号试验，在第4号试验中只有烧成温度B不是处于最好水平，而且烧成温度对抗压强度的影响是3个因素中最小的。从实际做出的结果看出第4号试验中的抗压强度是48.2MPa，是9次试验中最高的，这也说明我们找出的最好方案是符合实际的。为了最终确定试验方案A2C2B3是不是最好方案，可以按这个方案再试验一次，若比4号好，作为最好结果，若比4号差，则以4号为最佳条件。如出现后一结果，说明我们的理论分析与实践有一定的差距，最终还是要接受实践的检验。正交试验步骤归纳如下：1、确定要考核的试验指标；2、确定要考察的因素和各因素的水平；以上两条要实践经验来决定。3、选用合适的正交表，一般只要正交表中的因素个数比试验要考察的因素的个数稍大或相等就行了。这样既保证了试验目的，而试验次数又不致太多，省工省时；4、试验，测定试验指标；5、试验结果分析计算，得出合理的结论。以上的方法——直观分析法。简单、计算量小、很实用。正交试验的主要分析工具是正交表，而在因素及其水平都确定的情况下，正交表并不是唯一的，常见的正交表见本书末附表4。4.2多指标的分析方法在例4.1中，试验指标只有一个，考察起来比较方便，但实际问题中，需要考察的指标往往不止一个，有时有两个、三个或更多。如何评价考察指标呢？两种方法。4.2.1综合平衡法通过具体的例子来加以说明。例4.2某陶瓷厂为了提高产品质量，要对生产的原料进行配方试验。要检验3项指标：抗压强度、落下强度和裂纹度，前两个指标越大越好，第3个指标越小越好。根据以往的经验，配方有3个重要因素：水分、粒度和碱度。它们各有3个水平，具体数据如表4-6所示。试进行试验分析，找出最好的配方方案。4.2.1综合平衡法（例4.2的解）解3因素3水平，应选L9（34）正交表来安排试验，将3个因素依次放在前3列（第4列不要），得出一张具体的试验方案表，测出需要检验的指标结果，列于表4-7(a)、(b)、(c)中，然后用直观分析法对每个指标分别进行计算分析。将3个指标分别进行计算分析后，得出3个好的方案：对抗压强度是A2B3C1；对落下强度是A3B3C2；对裂纹度是A2B3C1，这3个方案不完全相同，对一个指标是好方案，而对另一个指标却不一定是好方案，如何找出对各个指标都较好的一个共同方案呢？综合分析，将指标随因素水平变化的情况用图形表示出来，如图4.0所示（为了看得清楚，将各点用直线连接起来，实际上并不一定是直线。把图4-1和表4-7结合起来分析，看每一个因素对各指标的影响。图4.010.19.011.29.26.814.312.78.39.38.63.15.91.13.313.36.98.32.42.03.71.73.02.71.71.72.73.00.02.04.06.08.010.012.014.016.07894681.11.31.5水分粒度碱度------抗压强度落下强度裂纹度4.2.1综合平衡法（例4.2的解的综合分析）（1）粒度B对抗压强度和落下强度来讲，极差最大，是最大的影响因素。从图4.0中看出三个指标B均取8为最好——即取B3。（2）碱度C，极差不大，次要因素。由图4.0分析，取1.1时两个指标好，1个指标稍差，对三个指标综合考虑，C取1.1——即取C1。（3）水分A，对裂纹度影响极差最大，A取9最好，由图4.0综合考虑A取9——即取A2。通过各因素对各指标影响的综合分析，得出较好的试验方案是：B3：粒度取第3水平，8；C1：碱度取第1水平，1.1；A2：水分取第2水平，9。4.2.2综合评分法对多指标的问题，真正做到好的综合平衡，有时很困难，这是综合平衡法的缺点。综合评分法可以克服这个缺点。例4.3某厂生产一种化工产品，需要检验两个指标：核酸纯度和回收率，这两个指标都是越大越好。有影响的因素有4个，各有3个水平，具体情况如表4-8所示。试通过试验分析出较好方案，使产品的核酸含量和回收率都有提高。解这是4因素3水平的试验，可以选用正交表L9（34）安排出试验方案（这里有4个因素，正好将表排满），进行试验，将得出的结果列入表4-9中。综合评分法是根据各个指标的重要性的不同，按照得出的试验结果综合分析，给每一个试验评出一个分数，作为这个试验的总指标。根据这个总指标作进一步的分析。4.2.2综合评分法（例4.3的解）这个方法的关键是如何评分。在这个试验中，两个指标的重要性是不同的，根据实践经验知道，纯度的重要性大于回收率，从实际分析，可以认为纯度是回收率的4倍。也就是纯度占权数为4，回收率占权数为1，按这个权数给出这个试验的总分为：总分＝4×纯度＋1×回收率由上式计算出这个试验的总分数，列于表4-9的最右边，再根据这个分数，用直观分析法进行分析。从表4-9看出，A、D两个因素的极差都很大，是对试验影响很大的两个因素，A1、D1为好；B因素的极差比A、D的极差小，对试验的影响比A、D都小；B因素取B3为好；C因素的极差最小，影响最小，C取C2为好。综合考虑，最好的试验方案应当是A1B3C2D1，按影响大小次序排列为：4.2.2综合评分法（例4.3的解）A1：时间，25小时；D1：加水量，1：6；B3：料中核酸含量，6.0；C2：pH值，6.0。可以看出，这里分析出来的最好方案，在已经做过的9个试验中是没有的，可以按这个方案再试验一次，看能不能得出比第1号试验更好的结果，从而确定出真正最好的试验方案。综合评分法是将多指标的问题，通过加权计算总分的方法化成一个指标的问题，这样对结果的分析计算都比较方便、简单。但如何合理地评分，是最关键的问题。这一点只能依据实际经验来解决，单纯从数学上是无法解决的。4.3混合水平的正交试验设计在实际情况中，有时做试验时，每个因素的水平数是不同的——混合水平。两种解决方案。4.3.1混合水平正交试验设计混合水平正交表就是各因素的水平数不完全相等的正交表。这种正交表有好多种。比如L8（41×24）就是一个混合水平的正交表，如表4-10所示。其它混合水平的正交表还有很多，见附表所示，它们都有上面所说的两点。例4.4某农科站进行品种试验，具体试验因素及水平如表4-11所示。试验指标是产量，数值越大越好。试用混合正交表安排试验，找出最好的试验方案。例4.4的解解这个问题中有4个因素，1个是4水平的，3个是2水平的，正好可以选用混合正交表L8（41×23），因素A为4水平，放在第1列，其余3个2水平的因素B、C、D顺序放在2、3、4列上，第5列不用。按这个方案进行试验，将得出的试验结果放在正交表的右边，然后进行分析，见表4-12。经分析得最佳方案为：A2B2C2D2。因为，从极差分析可知，因素D影响很小，这个方案与第4号试验结果A2B2C2D1很接近，从试验结果看出，第4号试验是8个试验中产量最高的，因此完全有理由取第4号试验作为最好的试验方案加以推广。4.3.2拟水平法例4.5今有某一试验，试验指标只有一个，它的数值越小越好，这个试验有4个因素A、B、C、D，其中因素C是2水平的，其余3个因素都是3水平的，具体数值如表4-13所示。试安排试验，并对试验结果进行分析，找出最好的试验方案。解：4因素试验，C为2个水平，A、B、D为3个水平。没有合适的正交表。设想：假若C有3个水平，就变成4因素3水平的问题了。如何将C变成3水平的因素呢？从C中的1和2水平中选一个水平让它重复一次作为第3水平，这就叫虚拟水平。取哪一个水平作为第3水平呢？一般说，都是要根据实际经验，选取一个较好的水平。比如，如果认为第2水平比第1水平好，就选第2水平作为第3水平。这样因素水平表4-13就变为表4-14的样子，它比表4-13多了一个虚拟的第3水平。例4.5的解这样就变成了一个4因素3水平的试验，可以按L9（34）表安排试验，并对正交表进行重构，测出结果，并进行分析，见表4-15所示。从表4-15的极差可以看出，因素D对试验的影响最大，取第3水平最好；其次是因素A，取第3水平为好；再者是因素B，取第1水平为好；因素C影响最小，取第1水平为好。最优方案为：A3B1D3C1。这个方案在9个试验中没有。从试验结果看8号试验为最好。这个试验只有B不是处在最好情况，而因素B的影响是最小的。可以按这个方案再试验一次，看是否会得出比第8号试验更好的结果，从而确定出真正的最优方案。4.4有交互作用的正交试验设计.:...:;BABA记为因素的交互作用各因素联合起作用因素如各因素各自独立起作用多因素试验例4.6有4块试验田，土质情况基本一样，种植同样的作物。现将氮肥、磷肥采用不同的方式分别加在4块地里，收获后算出平均亩产，记在表4-16中。氮肥、磷肥交互作用的效果＝氮肥、磷肥的总效果－（