数字图像处理-傅立叶变换

第5章图像变换图像变换的作用傅立叶变换离散傅立叶变换傅立叶变换的性质二维傅立叶变换图像变换第5章图像变换一.图像变换的作用图像变换的定义是将图像从空域变换到其它域（如频域）的数学变换图像变换的作用我们人类视觉所感受到的是在空间域和时间域的信号。但是，往往许多问题在频域中讨论时，有其非常方便分析的一面。1.方便处理2.便于抽取特性第5章图像变换常用的变换1.傅立叶变换FourierTransform2.离散余弦变换DiscreteCosineTransform3.沃尔什－哈达玛变换Walsh-HadamardTransform第5章图像变换二.傅立叶变换傅立叶变换的作用（1）可以得出信号在各个频率点上的强度。（2）可以将卷积运算化为乘积运算。（3）傅氏变换和线性系统理论是进行图像恢复和重构的重要手段。（4）傅立叶变换能使我们从空间域与频率域两个不同的角度来看待图像的问题，有时在空间域无法解决的问题在频域却是显而易见的。第5章图像变换傅立叶变换的定义傅立叶变换dxexfuFuxj2)()(若f(x)为一维连续实函数，则它的傅里叶变换可定义为：傅立叶逆变换定义如下：dueuFxfuxj2)()(第5章图像变换函数f(x)和F(u)被称为傅立叶变换对。即对于任一函数f(x)，其傅立叶变换F(u)是惟一的；反之，对于任一函数F(u)，其傅立叶逆变换f(x)也是惟一的。第5章图像变换傅里叶变换的条件傅里叶变换在数学上的定义是严密的，它需要满足如下狄利克莱条件：(1)具有有限个间断点；(2)具有有限个极值点；(3)绝对可积;第5章图像变换F(u)可以表示为如下形式：)()()(ujIuRuF2122)]()([|)(|uIuRuF))()(tan(arg)(uRuIu|F(u)|称为F(u)的模，也称为函数f(x)的傅立叶谱，)(u称为F(u)的相角。第5章图像变换2|)(|)(uFuE)(uE称为函数f(x)的能量谱或功率谱。第5章图像变换高斯函数的定义为：例1高斯函数的傅立叶变换2)(xexf根据傅立叶变换的定义可得：dxexfuFuxj2)()(dxeeuxjx22dxeuxjx)2(2dxeejuxu2)(2第5章图像变换令x+ju=t，上式可以化为：dteeuFtu22)(2ue2xe2ue结论:与即，高斯函数的傅立叶变换依然是高斯函数为傅立叶变换函数对。第5章图像变换例2.矩形函数矩形函数形式如下:2||02||)(TxTxAxf第5章图像变换dxexfuFuxj2)()(根据傅立叶变换的定义，其傅立叶变换如下：222TTuxjdxAe02)sin(uxjeuTuA第5章图像变换可得矩形函数f(x)的傅立叶频谱为：|)sin(||)(|uTuTATuF几何图形如下页图(b)所示第5章图像变换第5章图像变换第5章图像变换线性系统与傅立叶变换第5章图像变换傅立叶变换在图像滤波中的应用首先，我们来看Fourier变换后的图像，中间部分为低频部分，越靠外边频率越高。因此，我们可以在Fourier变换图中，选择所需要的高频或是低频滤波。第5章图像变换傅立叶变换在卷积中的应用直接进行时域中的卷积运算是很复杂的。傅立叶变换将时域的卷积变换为频域的乘积。)(SG),(jif),(jifgfgfg),(),(),(FGFg)(1ggFFFTf第5章图像变换三.离散傅立叶变换离散傅立叶变换的定义要在数字图像处理中应用傅立叶变换，还需要解决两个问题：一是在数学中进行傅立叶变换的f(x)为连续（模拟）信号，而计算机处理的是数字信号（图像数据）；二是数学上采用无穷大概念，而计算机只能进行有限次计算。通常，将受这种限制的傅立叶变换称为离散傅立叶变换（DiscreteFourierTransform，DFT)。第5章图像变换离散傅立叶变换离散傅立叶变换的定义1021,,2,1,0)()(NxNuxjNuexfuF离散傅立叶正变换:第5章图像变换离散傅立叶逆变换:1021,,2,1,0)(1)(NuNuxjNxeuFNxf第5章图像变换四.傅立叶变换的性质加法定理位移定理相似性定理卷积定理能量保持定理第5章图像变换加法定理第5章图像变换第5章图像变换位移定理第5章图像变换相似性定理结论：一个“窄”的函数有一个“宽”的频谱第5章图像变换第5章图像变换旋转不变性由旋转不变性可知，如果时域中离散函数旋转θ角度，则在变换域中该离散傅立叶变换函数也将旋转同样的角度。离散傅立叶变换的旋转不变性如图所示。(a)(b)(d)(c)图（a）原始图像；（b）原始图像的傅立叶频谱；（c）旋转45°后的图像；（d）图像旋转后的傅立叶频谱第5章图像变换卷积定理第5章图像变换能量保持定理第5章图像变换五.二维傅立叶变换1.二维连续函数傅立叶变换的定义二维傅立叶正变换:dxdyeyxfvuFvyuxj)(2),(),(第5章图像变换二维傅立叶逆变换:dudvevuFyxfvyuxj)(2),(),(第5章图像变换第5章图像变换2.二维离散函数傅立叶变换的定义根据一维离散傅立叶变换的定义和二维连续傅立叶变换理论，对于一个具有M×N个样本值的二位离散序列f(x，y)，（x=0,1,2,3,…,M-1；y=0,1,2,3,…,N-1）其傅立叶变换为：(1)二维离散傅立叶正变换1,,2,1,0;1,,2,1,0),(),(10)(210NvMueyxfvuFMxNvyMuxjNy第5章图像变换(2)二维离散傅立叶逆变换若已知频率二维序列F(u，v)（u=0,1,2,3,…,M-1；v=0,1,2,3,…,N-1），则二维离散序列F(u，v)的傅立叶逆变换定义为：1,,2,1,01,,2,1,0),(1),(10)(210NyMxevuFMNyxfNvNvyMuxjMu第5章图像变换Δx、Δy和Δu、Δv，分别为空间域采样间隔和频率域采样间隔两者之间满足如下关系：vNyuMx11第5章图像变换式中序列R(u，v)和I(u，v)分别表示离散序列F(u，v)的实序列和虚序列。二维序列f(x，y)的频谱（傅立叶幅度谱）、相位谱和能量谱（功率谱）分别如下：F(u，v)可以表示为如下形式：),(),(),(vujIvuRvuF2122)],(),([|),(|vuIvuRvuF)),(),(tan(arg),(vuRvuIvu2|),(|),(vuFvuE第5章图像变换(1)．线性特性3.二维离散傅立叶变换的性质)],([)],([)],(),([22111111yxfkDFTyxfkDFTyxfkyxfkDFT),()],(2211vuFkvuFk(2)比例性质=0),(1)],([abbvauFabbyaxfDFT第5章图像变换(3)平移性质),(]),([00)(200vvuuFeyxfDFTNyvMxuj二维傅立叶变换的移位特性表明，当用乘以f(x，y)，然后再进行乘积的离散傅里叶变换时，可以使空间频率域u-v平面坐标系的原点从(0，0)平移到(u0，v0)的位置。)(200NyvMxuje第5章图像变换(4)可分离性10)(210),(),(MxNvyMuxjNyeyxfvuF1,,2,1,01,,2,1,0}]),({[102210NvMueeyxfMxNuxjMvyjNy第5章图像变换二维傅立叶变换的可分离特性表明，一个二维傅立叶变换可通过二次一维傅立叶变换来完成，即：第一次先对y进行一维傅立叶变换1,,2,1,01,,2,1,0),(),(210NvMxeyxfvxFNvyjNy在此基础上对x进行一维傅立叶变换1,,2,1,01,,2,1,0),(),(210NvMuevxfvuFMuxjMx第5章图像变换变量分离步骤如图所示)]},([{)]},([{),(yxfDFTDFTyxfDFTDFTvuFyxxy第5章图像变换若已知频率二维序列F(u，v)，则二维可分离性对傅立叶逆变换同样适应10)(210),(),(MuNvyMuxjNvevuFyxf1,,2,1,01,,2,1,0}]),({[102210NyMxeevuFMuNuxjMvyjNv逆变换的分离性也同样可以分解为两次一维傅立叶变换1,,2,1,01,,2,1,0)],([{)],([{),(1111NyMxvuFDFTDFTvuFDFTDFTyxfuvvu第5章图像变换(5)周期性1,,2,1,01,,2,1,0),(),(21NvMuNkvMkuFvuF如果二维离散函数f(x，y)的傅里叶变换为F(u，v)，则傅立叶变换及其逆变换存在如下周期特性：第5章图像变换(6)共轭对称性1,,2,1,01,,2,1,0),(),(*NvMuvuFvuF第5章图像变换半周期的傅里叶频谱全周期的傅里叶频谱一幅二维图像的傅里叶频谱中心化的傅里叶频谱第5章图像变换(7)旋转不变性图像f(x，y)可以表示为f(r，θ)。同样，空间频率域的F(u，v)采用极坐标可以表示为F(ρ，)。二维离散傅立叶存在如下旋转特性：),()],([00FrfDFT),()],([00rfFDFT第5章图像变换(a)原始图像(b)DFT变换(c)原始图像旋转45º(d)旋转之后DFT变换结果第5章图像变换(8)微分性质1,,2,1,01,,2,1,0),()2(]),([NvMuvuFujxyxfDFTnnn1,,2,1,01,,2,1,0),()2(]),([NvMuvuFvjyyxfDFTnnn第5章图像变换(9)平均值性质平均值定义如下1010),(1),(MxNyyxfMNyxf1010),()0,0(MxNyyxfF),(yxfMN)0,0(1),(FMNyxf平均值性质如下：即：结论：二维离散函数的平均值等于其傅立叶变换在频率原点处值的1/MN。第5章图像变换10.卷积定理：f(x,y)*h(x,y)=F(u,v)H(u,v)f(x,y)h(x,y)=F(u,v)*H(u,v)1010),(),(1),(*),(MmNnnymxhnmfMNyxhyxf第5章图像变换二维傅立叶变换(幅值及相位)意义第5章图像变换左边一列:上方为原始图像,下方为本图的相关说明说明;中间一列:上图幅值谱,下图为根据幅值谱的傅立叶逆变换(忽略相位信息,设相位为0);右边一列:上图相位谱,下图为根据相位谱的傅立叶逆变换(忽略幅值信息,设幅值为某一常数);图像的说明第5章图像变换