数字图像处理09

数字图像处理第九章线性系统理论CH9线性系统理论一、什么是线性系统二、调谐信号分析三、卷积四、五个有用函数五、卷积滤波及其应用要点总结1什么是线性系统1）定义线性系统f(x,y)g(x,y)输入输出线性系统x(t)y(t)输入输出一维系统，不失一般性，以时间t作为系统变量。二维系统，不失一般性，以空间坐标x,y作为系统变量。1什么是线性系统2）性质线性11221212111111221122,xtytxtytxtxtytytxtytaxtaytaaxtaxtaytayt假设若则称此系统是显然，对于线性系统若则其中是有理数显然，线性系统满足叠加性和线性系统齐次性。1什么是线性系统移不变性0000,(,),(,),xtytxtTytTfxygxyfxxyygxxyy对于线性系统，如果存在且则称此线性系统具有移不变性。对于二维系统，若则2调谐信号分析1）调谐信号2cossin1,2jtxtetjtjf其中且1wtRe(x)Im(x)1.图像可表示为二维实值函数2.实值函数是复函数的特例3.调谐信号是复函数的一种2调谐信号分析2）线性系统对调谐输入的响应11121221211,,,,,,,,jtjtjtTjtjTxteytKtxtKtextxtTeeeytKtxtKtxtTytytTKtTxtTKtKtTytKxt根据移不变性质显然因此结论：线性移不变系统对于调谐信号的响应等于输入信号乘以一个依赖于频率的复函数。2调谐信号分析3）调谐信号与正弦型信号将输入的正弦型信号表示成调谐信号；计算线性系统对此调谐输入的响应；取调谐输出的实部为真正的输出。4）传递函数2调谐信号分析jjtjjtjtjjtKKAecostReeKeAeeytReAeeReAcostjsintAcostA将表示成极坐标形式：假设输入为余弦函数，令其为调谐信号的实部：xt调谐输入的响应为余弦函数的输出为其中为乘积增益函数，为相移角，对输入信号加以平移。2调谐信号分析5）线性移不变系统的重要性质调谐输入总是产生同频率的调谐输出；系统的传递函数一个仅依赖于频率的复值函数，包含系统全部信息；传递函数对调谐信号输入只产生两种影响幅度的变化和相位的平移。3卷积52.50-2.5-510.50-0.5-1xyxy52.50-2.5-50.50.250-0.25-0.5xyxyf(t,τ)3卷积xtytft,xdft,ft,xTdTftT,TxdftT,Tft,ft,线性系统、的另一种一般表示yt根据移不变性质，简化yt-T对t-T和进行变量变换，则yt所以所以两个变量的f函数可表达成gt-冲激响应3卷积1）线性移不变系统的两种表示形式复数形式的传递函数；实数形式的卷积冲激响应；两者是统一的。xd因此线性系统总可以表示成卷积形式ytgt-3卷积2）卷积的几个性质交换性加法的分配率结合率求导的性质fggffghfgfhfg*hfghdfgfgfgdt3卷积3）离散一维卷积1jmnfigjhifigifjgijNmn对于两个长度为和的序列和，给出长度为的输出序列。ppppppppppppg1gNg2f1g2g1g3f2hgfgNgN1g1fN其矩阵计算形式为3卷积4）二维卷积和离散二维卷积二维卷积定义离散二维卷积定义,,,hxyfgfuvgxuyvdudv,,,mnHFGHijFmnGimjn3卷积二维卷积的矩阵计算形式1122121221:,,,,1;1;2:13:1pppppppistepFmnGmnFGFGMNMmmNnnstepFNfFfNstepGNNNGiN设大小为大小为扩展和矩阵为和大小为其中以下假定M=N。从矩阵构造一个维列向量，将的第一行转置，使成为最上面的个元素，然后其他行转置依次在下面。矩阵每一行生成一个循环矩阵，总共产生一个个这样的矩阵。3卷积2212213114::5:bNbNNpbpstepNNGGGGGGGGGGGstephGf按如下方式生成一个的块循环矩阵二维卷积的矩阵形式，再行列转换回矩阵形式3卷积例：二维卷积的矩阵计算形式。1211,,;34221101201:,220340000000ppFGFGStepFG已知求3卷积12032:40000pStepf3卷积1322131321231013:110011202000220,0000220001124:538628pGGGStepGGGGGGGGGGStepFG其中3卷积例：请花5分钟时间计算。01031,141,41010FGFG已知求。10FG03103-701=4-121104在实际图像应用中，边缘处四种卷积处理方法并不重要。3卷积5）图像边缘处卷积处理方法1）重复图像边缘的行和列，使卷积在边缘可计算；2）卷绕输入图像，使之成为周期性；3）在图像边缘外侧填充0或其他常数；4）去掉不能计算的行和列，仅对可计算的象素进行卷积。4五个有用函数1）矩形脉冲（PiFunction）1,12x12x12,x120,othersA-a/2a/2A*Pi(x/a)对应二维，即方形卷积模板4五个有用函数2）三角脉冲（LamdaFunction）两个相同矩形脉冲的卷积得到一个三角脉冲。1,10,1xxxxB-bbB*La(x/b)4五个有用函数3）高斯函数（GaussianFunction）两个高斯函数的卷积产生另一个高斯函数。222xGxe222222222223122223122222222222221212123122223121242xxyyxyxxyxxxyxxxeeeedyedyeedyeAeAeAAe其中4五个有用函数4）冲激函数（DeltaFunction）01001lim0axdxxdxxxxxaaAxdxAfxxdxf，时，4五个有用函数5）阶跃函数1,012,00,0xuxxx1x0u(x-x0)04五个有用函数5）阶跃函数阶跃函数是单位冲激函数的积分单位冲激函数是阶跃函数的导数5卷积滤波及其应用1）平滑可采用矩形脉冲、三角脉冲或高斯脉冲为平滑函数。等价于邻域处理中的平滑去噪。2）边缘增强带负的旁瓣（sidelobes）的正尖峰函数，其边缘增强时产生两个效果。*增加边缘的梯度；*在边缘的两侧加边。类似与拉普拉斯算子产生的效果。3）去卷积利用一个卷积去除另一卷积影响的技术。要点总结线性和移不变系统的定义；调谐信号及其线性系统分析、传递函数；线性移不变系统与卷积的关系；离散二维卷积的矩阵计算；典型冲激响应函数及其应用。上机实习题编写实现二维离散卷积的程序。