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《固体物理》习题解答感谢大家对木虫和物理版的支持！1第一章习题1.1如果将等体积球分别排列下列结构，设x表示刚球所占体积与总体积之比，证明结构x简单立方(书P2,图1-2)/60.52π≈体心立方(书P3,图1-3)3/80.68π≈面心立方(书P3,图1-7)2/60.74π≈六方密排(书P4,图1-6)2/60.74π≈金刚石(书P5,图1-8)3/160.34π≈解设n为一个晶胞中的刚性原子数，r表示刚性原子球半径，V表示晶胞体积，则致密度为:343nrVπρ=（设立方晶格的边长为a）r取原子球相切是的半径于是结构rnVρ简单立方a/21a3/60.52π≈体心立方a/21a33/80.68π≈面心立方3/4a2a32/60.74π≈六方密排2/4a4a32/60.74π≈金刚石a/2232a3/160.34π≈1.2证明理想的六角密堆积结构（hcp）的轴比633.18322/1≈⎟⎠⎞⎜⎝⎛=c解由1.1题，六角密排中232232crah−==，故633.18322/1≈⎟⎠⎞⎜⎝⎛=c1.3证明：体心立方晶格的倒格子是面心立方；面心立方晶格的倒格子是体心立方解由倒格子定义2311232aabaaaπ×=⋅×3121232aabaaaπ×=⋅×1231232aabaaaπ×=⋅×体心立方格子原胞基矢123(),(),()222aaaaijkaijkaijk=−++=−+=−+倒格子基矢231123022()()22aaaabijkijkaaavππ×==⋅−+×+−⋅×《固体物理》习题解答感谢大家对木虫和物理版的支持！2202()()4aijkijkvπ=⋅−+×+−2()jkaπ=+同理31212322()aabikaaaaππ×==+⋅×32()bijaπ=+可见由123,,bbb为基矢构成的格子为面心立方格子面心立方格子原胞基矢123()/2()/2()/2aajkaakiaaij=+=+=+倒格子基矢2311232aabaaaπ×=⋅×12()bijkaπ=−++同理22()bijkaπ=−+32()bijkaπ=−+可见由123,,bbb为基矢构成的格子为体心立方格子1.4证明倒格子原胞的体积为03(2)vπ，其中0v为正格子原胞体积证倒格子基矢2311232aabaaaπ×=⋅×3121232aabaaaπ×=⋅×1231232aabaaaπ×=⋅×倒格子体积*0123()vbbb=⋅×3*023311230(2)()()()vaaaaaavπ=×⋅×××3*00(2)vvπ=1.5证明：倒格子矢量112233Ghbhbhb=++垂直于密勒指数为123()hhh的晶面系。证：《固体物理》习题解答感谢大家对木虫和物理版的支持！333121323,aaaaCACBhhhh=−=−容易证明12312300hhhhhhGCAGCB⋅=⋅=112233Ghbhbhb=++与晶面系123()hhh正交。1.6如果基矢,,abc构成简单正交系证明晶面族()hkl的面间距为2221()()()hkldabc=++说明面指数简单的晶面，其面密度较大，容易解理证简单正交系abc⊥⊥123,,aaiabjack===倒格子基矢2311232aabaaaπ×=⋅×3121232aabaaaπ×=⋅×1231232aabaaaπ×=⋅×123222,,bibjbkabcπππ===倒格子矢量123Ghbkblb=++222hikjlkabcπππ=++晶面族()hkl的面间距2dGπ=2221()()()hklabc=++面指数越简单的晶面，其晶面的间距越大晶面上格点的密度越大，这样的晶面越容易解理1.7写出体心立方和面心立方晶格结构中，昀近邻和次近邻的原子数，若立方边长为a，写出昀近邻和次近邻原子间距解简立方面心立方体心立方昀近邻数6128昀近邻间距a2/2a2/3a次近邻数1266次近邻间距a2aa1.7画体心立方和面心立方晶格结构的金属在)100(，)110(，)111(面上原子排列．解：《固体物理》习题解答感谢大家对木虫和物理版的支持！4体心立方面心立方1.9指出立方晶格(111)面与(100)面，(111)面与(110)面的交线的晶向解(111)面与(100)面的交线的AB－AB平移，A与O重合。B点位矢BRajak=−+（111）与（100）面的交线的晶向ABajak=−+——晶向指数011⎡⎤⎣⎦(111)面与(110)面的交线的AB——将AB平移，A与原点O重合，B点位矢BRaiaj=−+(111)面与(110)面的交线的晶向ABaiaj=−+――晶向指数110⎡⎤⎣⎦1.10找出立方体中保持x轴不变的所有对称操作，并指出他们中任意两个操作乘积的结果解：立方体中保持x轴不变，可有绕x轴转2/π、π、2/3π加上不动C1，所有对称操作构《固体物理》习题解答感谢大家对木虫和物理版的支持！5成群C4:C4=（C1C2C3C4），群中任意两元素乘积仍是群中元素。1.11证明六角晶体的介电常数张量为⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎝⎛321000000εεε证明若A是一旋转对称操作，则晶体的介电常数ε满足AATεε=，对六角晶系，绕x轴（即a轴）旋转180度和绕z轴（即c轴）旋转120度都是对称操作，坐标变换矩阵分别为⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎝⎛−=100010001xA⎟⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎜⎝⎛−−−=10002/12/302/32/1zA假设六角晶系统的介电常数为⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎝⎛=333231232221131211εεεεεεεεεε则由xTAAxεε=得⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎝⎛−−−−=⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎝⎛333231232221131211333231232221131211εεεεεεεεεεεεεεεεεε可见⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎝⎛=33322322110000εεεεεε将上式代入zTzAAεε=得⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎝⎛−−−++−−+−+=⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎝⎛332323232211221123221122113332232211223244343432343434340000εεεεεεεεεεεεεεεεεε所以0113223===εεε可得到六角晶系的介电常数为⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎝⎛=332211000000εεεε选择相应的坐标变换可得到⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎝⎛=321000000εεεε1.12比较面心立方晶格、金刚石晶格、闪锌矿晶格、Nacl晶格的晶系、布拉伐格子、平移群、点群、空间群。晶格晶系布拉伐格子点群空间群面心立方晶格立方面心立方OhFm3m金刚石晶格立方面心立方OhFd3m闪锌矿晶格立方面心立方TdmF34Nacl晶格的晶系立方面心立方OhFm3m《固体物理》习题解答感谢大家对木虫和物理版的支持！6第二章习题2.1．证明两种一价离子组成的一维晶格的马德隆常数为2ln2α=.证设想一个由正负两种离子相间排列的无限长的离子键，取任一负离子作参考离子（这样马德隆常数中的正负号可以这样取，即遇正离子取正号，遇负离子取负号），用r表示相邻离子间的距离，于是有(1)11112[...]234jijrrrrrrα±′==−+−+∑前边的因子2是因为存在着两个相等距离ir的离子，一个在参考离子左面，一个在其右面，故对一边求和后要乘2，马德隆常数为234(1)...34nxxxxxx+=−+−+∵当X=1时，有1111...2234n−+−+=2.2讨论使离子电荷加倍所引起的对Nacl晶格常数及结合能的影响（排斥势看作不变）解()nrCreru+−=2α由0102020=−=+nrrnCredrduα解可得()1120+⎟⎠⎞⎜⎝⎛=nenCerα于是当e变成2e时有()()erenCernn0111120442++=⎟⎠⎞⎜⎝⎛=α结合能为()⎟⎠⎞⎜⎝⎛−−=nreru1102α当e变成2e时有()()()102411242+×=⎟⎠⎞⎜⎝⎛−−=nneunereeuα2.3若一晶体的相互作用能可以表示为()mnurrrαβ=−+求1）平衡间距0r2）结合能W（单个原子的）3）体弹性模量4）若取02,10,0.3,4mnrnmWeV====，计算,αβ值。解1）晶体内能()()2mnNUrrrαβ=−+平衡条件00rrdUdr==11000mnmnrrαβ++−+=10()nmnrmβα−=1112[1...]234α=−+−+22nα∴=《固体物理》习题解答感谢大家对木虫和物理版的支持！72)单个原子的结合能01()2Wur=−00()()mnrrurrrαβ==−+1(1)()2mnmmnWnmβαα−−=−3)体弹性模量0202()VUKVV∂=⋅∂晶体的体积3VNAr=——A为常数，N为原胞数目晶体内能()()2mnNUrrrαβ=−+1121()23mnNmnrrNArαβ++=−221121[()]23mnUNrmnVVrrrNArαβ++∂∂∂=−∂∂∂体弹性模量0202()VUKVV∂=⋅∂022222000001[]29mnmnVVUNmnmnVVrrrrαβαβ=∂=−+−+∂由平衡条件01120001()023mnVVUNmnVrrNArαβ++=∂=−=∂00mnmnrrαβ=0222220001[]29mnVVUNmnVVrrαβ=∂=−+∂体弹性模量0202()VUKVV∂=⋅∂000()2mnNUrrαβ=−+0222220001[]29mnVVUNmnVVrrαβ=∂=−+∂02220001[]29mnVVUNmnmnVVrrαβ=∂=−+∂（00mnmnrrαβ=）2000[]29mnNnmVrrαβ=−−+《固体物理》习题解答感谢大家对木虫和物理版的支持！8020220()9VVUmnUVV=∂=−∂009mnKUV=4）00mnmnrrαβ=10()nmnrmβα−=1(1)()2mnmmnWnmβαα−−=−1002Wrβ=95101.1810eVmβ−=×⋅20100[2]rWrβα=+1929.010eVmα−=×⋅2.4经过sp3杂化后形成的共价键，其方向沿着立方体的四条对角线的方向，求共价键之间的夹角。解sp3轨道杂化过程形成的共价键如图所示共价键沿立方体四对角线方向，与中心可构成正四面体，易得键角为'281092.5假设III-V族化合物中，III族、V族原子都是电中性的（q*=0）求其电离度fi解对于III族原子，有效电荷22*183λλ+−=q电中性时q*=0，所以5/32=λ由Coulson定义电离度得III-V族化合物（q*=0）的电离度为25.01122=+−=+−=λλBABAippppf2.6．用林纳德—琼斯(Lennard—Jones)势计算Ne在bcc（球心立方）和fcc（面心立方）结构中的结合能之比值．解1261261()4()(),()(4)()()2nlururNAArrrrσσσσεε⎡⎤⎡⎤=−=−⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦《固体物理》习题解答感谢大家对木虫和物理版的支持！926661200612()1022rAAdurruNrAAσε⎛⎞=⇒=⇒=−⎜⎟⎝⎠22066201212()12.25/9.11()/()0.957()14.45/12.13bccbccfccfccurAAurAAωω′====′2.7．对于2H，从气体的测量得到Lennard—Jones势参数为65010,2.96.JAεσ−=×=计算2H结合成面心立方固体分子氢时的结合能（以KJ/mol单位），每个氢分子可当做球形来处理．结合能的实验值为0.751kJ／mo1，试与计算值比较．解以2H为基团，组成fcc结构的晶体，如略去动能，分子间按Lennard—Jones势相互作用，则晶体的总相互作用能为：1261262.ijijijUNPPRRσσε−−⎡⎤⎛⎞⎛⎞′′=−⎢⎥⎜⎟⎜⎟⎝⎠⎝⎠⎢⎥⎣⎦∑∑61214.45392;12.13188,ijijjiPP−−′′==∑∑16235010,2.96,6.02210/.ergANmolεσ−=×==×()()126