矢量分析基础

第2讲矢量分析基础电磁场理论•矢量代数•常用正交曲线坐标系•标量场的梯度•矢量场的散度•矢量场的旋度•无旋场与无散场•拉普拉斯运算与格林定理•亥姆霍兹定理本章内容本章重点第2讲矢量分析基础电磁场理论矢量的几何表示：用一条有方向的线段来表示A矢量的几何表示矢量可表示为：其中为模值，表征矢量的大小；为单位矢量，表征矢量的方向；1.1矢量代数1.1.1标量和矢量标量与矢量标量：只有大小，没有方向的物理量(电压U、电荷量Q、能量W等）矢量：既有大小，又有方向的物理量（作用力，电、磁场强度）矢量的代数表示FEHBDAAeAAeAAAeA说明：矢量书写时，印刷体为场量符号加粗，如。教材上的矢量符号即采用印刷体。D第2讲矢量分析基础电磁场理论zzyyxxAeAeAeAAAAAAAxyzcoscoscos)coscoscos(zyxeeeAA矢量用坐标分量表示coscoscoszyxAeeeezAxAAyAzxyO第2讲矢量分析基础电磁场理论1.1.2矢量代数运算xxyyzzxxyyzzAeAeAeABeBeBeB()()ABBAABCABC()()()xxxyyyzzzABeABeABeAB矢量的加法和减法•矢量相加和相减可用平行四边形法则求解：说明：•矢量的加法符合交换律和结合律：矢量的加法BAAB矢量的减法BAABB第2讲矢量分析基础电磁场理论cosABxxyyzzABABABABAB矢量的乘法矢量与标量相乘xxyyzzAkAekAekAekAekA标量与矢量相乘只改变矢量大小，不改变方向。矢量的标积（点积）()ABBAABCABAC说明：1、矢量的点积符合交换律和分配律：2、两个矢量的点积为标量AB0AB//ABABAB3、AB矢量与的夹角AB第2讲矢量分析基础电磁场理论sin()()()xyznxyzxyzxyzzyyzxxzzxyyxeeeABeABAAABBBeABABeABABeABAB矢量的矢积（叉积）说明：1、矢量的叉积不符合交换律，但符合分配律：2、两个矢量的叉积为矢量()ABBAABCABAC4、矢量运算恒等式()()()()()()ABCBCACABABCBACCABsinABBABA矢量与的叉积ABABABAB//AB0AB3、第2讲矢量分析基础电磁场理论•三维空间任意一点的位置可通过三条相互正交曲线的交点来确定。•三种常用的正交坐标系为：直角坐标系、圆柱面坐标系和球面坐标系。•正交坐标系：三条正交曲线组成、确定三维空间任意点位置的体系；三条正交曲线称为坐标轴；描述坐标轴的量称为坐标变量。1.2三种常用的正交坐标系第2讲矢量分析基础电磁场理论1.2.1直角坐标系xyzrexeyez位置矢量面元矢量线元矢量ddddxyzlexeyezdddddxxyzxSelleyzdddddzzxyzSellexy体积元ddddVxyzdddddyyxzySellexz坐标变量,,xyz坐标单位矢量,,xyzeee点P(x0,y0,z0)0yy（平面）oxyz0xx（平面）0zz（平面）P直角坐标系xezeyexyz直角坐标系的长度元、面积元、体积元odzdydxzyeSxxdddyxeSzzdddzxeSyydddddd+dxyzSSSS第2讲矢量分析基础电磁场理论z、、坐标变量：zeee、、坐标单位矢量：0≤0≤≤2z变化范围：坐标变换关系：22xyarctan()yxzzcosxsinyzz1.2.2圆柱坐标系圆柱坐标系第2讲矢量分析基础电磁场理论圆柱坐标系与直角坐标之间单位矢量的变换关系cossin0sincos0001xyzzeeeeeeoxy单位圆直角坐标系与柱坐标系之间坐标单位矢量的关系xeyeeeeeeecossin0sincos0001xyzzeeeeee第2讲矢量分析基础电磁场理论dddddddddddddddzzzzzelleSzelleSzelleSzeeelzdddd线元矢量zVdddd体积元面元矢量zeerz位置矢量圆柱坐标系中的线元、面元和体积元ddd+dzSSSS第2讲矢量分析基础电磁场理论说明：圆柱坐标系下矢量运算方法zzzzAeAeAeABeBeBeB()()()zzzABeABeABeAB()()zzzzzzABeAeAeAeBeBeBABABABzzzeeeABAAABBB()()()zzzzzeABABeABABeABAB加减：标积：矢积：ABOeeze第2讲矢量分析基础电磁场理论1.2.3球坐标系,,r坐标变量：eeer,,坐标单位矢量0r≤0≤≤0≤≤2变化范围：球坐标系0（半平面）0（圆锥面）0rr（球面）),,(000rP球坐标系球坐标系0（半平面）0（圆锥面）0rr（球面）),,(000rP变换关系：sincosxrsinsinyrcoszrarctan()yx222rxyz222arccos()zxyz第2讲矢量分析基础电磁场理论坐标单位矢量之间的关系球坐标系与圆柱坐标球坐标系与直角坐标oz单位圆柱坐标系与求坐标系之间坐标单位矢量的关系zeereesin0coscos0sin010rzeeeeeesincossinsincoscoscoscossinsinsincos0rxyzeeeeee,sinrreeee,cosreeee0,sincosreeee第2讲矢量分析基础电磁场理论ddsinddd2relleSrrrddsindddrrelleSzrdddddrrelleSrdsindddrererelr线元矢量dddsind2rrV体积元面元矢量球坐标系中的线元、面元和体积元rerr位置矢量ddd+drSSSS第2讲矢量分析基础电磁场理论说明：球面坐标系下矢量运算rrrrAeAeAeABeBeBeB()()()rrrABeABeABeAB()()rrrrrrABeAeAeAeBeBeBABABAB()()()rrrrrrrreeeABAAABBBeABABeABABeABAB加减：标积：矢积：ABOeere第2讲矢量分析基础电磁场理论课外学习实训1Aecos30sin303/21/2yzyzrAeeeeee试分析产生此悖论的原因。在此基础上，撰写一篇关于对三个常用坐标系单位坐标矢量认识的学习报告。2、位于球坐标系下的P点（1,30°,90°）处的矢量，利用直角坐标系可表示为：1、已知圆柱坐标系下的点和，试在圆柱坐标系下写出从到P的矢量与从P到的矢量(3,30,1)P(1,90,2)PPRPR第2讲矢量分析基础电磁场理论1.3标量场的梯度1.标量场和矢量场标量场：物理量是为标量矢量场：物理量是矢量场的概念：物理量在空间区域上的一个确定分布例如：流速场、重力场、电场、磁场等例如：温度场、电位场、高度场等。场的表示方式如果场与时间无关，称为静态场，反之为时变场。标量场：(,,,)uxyzt;(,)urt;(,)uMt(,,,);Fxyzt矢量场：(,);Frt(,);FMt第2讲矢量分析基础电磁场理论2.标量场的等值面等值面:标量场取得同一数值的点在空间形成的曲面。Czyxu),,(等值面方程：•常数C取一系列不同的值，就得到一系列不同的等值面，形成等值面族；•标量场的等值面充满场所在的整个空间；•标量场的等值面互不相交。等值面的特点：意义:形象直观地描述了物理量在空间的分布状态。标量场的等值线(面)第2讲矢量分析基础电磁场理论3.方向导数意义：方向导数表示场沿某方向的空间变化率。00limcoscoscos|Mluuuuullxyz概念：l0ul•——u(M)沿方向增加；l0ul•——u(M)沿方向减小；l0ul•——u(M)沿方向无变化。M0lMΔl方向导数的概念——的方向余弦。l式中：coscoscos、、第2讲矢量分析基础电磁场理论l特点：方向导数既与点M0有关，也与方向有关。问题：•在什么方向上变化率最大?•最大的变化率为多少？梯度第2讲矢量分析基础电磁场理论梯度的计算公式：zueueueuz1圆柱坐标系ureurerueursin11球坐标系zueyuexueuzyx直角坐标系4.标量场的梯度（或）graduu意义：描述标量场在某点的最大变化率及其变化最大的方向概念：max|luuelluel其中取得最大值的方向M0梯度的概念u第2讲矢量分析基础电磁场理论lueul梯度的性质标量场的梯度为矢量，且是坐标位置的函数标量场梯度的幅度表示标量场的最大变化率标量场梯度的方向垂直于等值面，且为标量场增加最快的方向标量场在给定点沿任意方向的方向导数等于梯度在该方向投影第2讲矢量分析基础电磁场理论梯度运算的基本公式：uufufuvvuuvvuvuuCCuC)()()()()(0式中：为常数；C,uv为坐标变量函数；第2讲矢量分析基础电磁场理论解(1)22[()()]PxyzPueeexyzxyzzyxzyxeeeeyexe22)22()1,1,1(例1.3.1设一标量函数u(x,y,z)=x2＋y2－z描述了空间标量场。试求：(1)该函数u在点P(1,1,1)处的梯度，以及表示该梯度方向的单位矢量。(2)求该函数u沿单位矢量方向的方向导数，并以点P(1,1,1)处的方向导数值与该点的梯度值作以比较，得出相应结论。ooo60cos45cos60coszyxleeee222(1,1,1)22221333(2)(2)(1)xyzlxyzPPuuexeyeeeeexy第2讲矢量分析基础电磁场理论(2)(1,1,1)1221222Puxyl121(22)()222lxyzxyzuueexeyeeeel212yx而该点的梯度值为222(1,1,1)(2)(2)(1)3Puxy显然，梯度描述了P点处标量函数的最大变化率，即最大的方向导数，故恒成立。PuPPuul第