1.4.2-正弦函数、余弦函数的性质-第2、3课时

第2课时奇偶性单调性最值1.4.2正弦函数、余弦函数的性质1.掌握正弦函数、余弦函数的奇偶性、单调性；2.会利用三角函数的单调性判断一组数的大小，会求给出的三角函数单调区间.1.请回答：什么叫做周期函数？2.正弦函数、余弦函数是否是周期函数？周期是多少？最小正周期是多少？对于函数，如果存在一个非零常数T，使得当取定义域内的每一个值时，都有，那么函数就叫做周期函数，非零常数T就叫做这个函数的周期.()fxx()()fxTfx()fx正弦函数、余弦函数都是周期函数，都是它的周期，最小正周期是.2(0)kkZk且23.函数的周期性对于研究函数有什么意义？对于周期函数，如果我们能把握它的一个周期内的情况，那么整个周期内的情况也就把握了.这是研究周期函数的一个重要方法，即由一个周期的情况，扩展到整个函数的情况.1.观察正弦曲线和余弦曲线的对称性，你有什么发现？xyo--1234-2-31223252722325正弦曲线关于原点o对称yxo--1234-2-31223252722325余弦曲线关于轴对称y一.奇偶性x22322523yO23225311x22322523yO23225311(1)()sin,fxxxRxR任意()sin()fxxsinx()fx()sin,fxxxR为奇函数(2)()cos,fxxxRxR任意()cos()fxxcosx()fx()cos,fxxxR为偶函数2.从解析式出发，你有什么发现？x22322523yO23225311x22322523yO23225311为奇函数，（0,0）对称点。还有没有其它对称点？2.从图像出发，关于对称性你还有什么发现？()sin,fxxxR为奇函数，有没有对称轴？余弦函数是偶函数，有没有对称点和对称轴？六、正弦、余弦函数的对称性x6yo--12345-2-3-41x6o--12345-2-3-41y)(sinRxxy)(cosRxxyy=sinx的图象对称轴为：y=sinx的图象对称中心为：y=cosx的图象对称轴为：y=cosx的图象对称中心为：；，Zkkx2.)0(Zkk，，；，Zkkx.)02(Zkk，，任意两相邻对称轴(或对称中心)的间距为半个周期；对称轴与其相邻的对称中心的间距为四分之一个周期.补充例题．指出下列函数的对称轴与对称中心（1）sin()4yx；（2）cos(2)3yx.【解析】（1）令4tx，则3sin3sin4yxt的对称轴方程是2tk（k∈Z），即42xk（k∈Z），解得4xk（k∈Z）。∴函数sin4yx的对称轴方程是4xk（k∈Z）。同理，对称中心的横坐标为4xk，4xk，即对称中心为,04k。．指出下列函数的对称轴与对称中心（1）sin()4yx；（2）cos(2)3yx.（2）令23tx，则coscos3233yxt的对称轴方程是tk（k∈Z），即23xk（k∈Z），解得26kx（k∈Z）。∴函数cos23yx的对称轴方程是26kx（k∈Z）。同理，对称中心的横坐标为232xk，5212kx，即对称中心为5,0212k（k∈Z）。•为函数的一条对称轴的是（）sin(2)3yxx22322523yO232253114.3Ax12x.2Bx.0Dx解：经验证，当.12Cx时232x12x为对称轴练习2二、探究正弦函数在一个周期的区间上（如）的单调性[]22，当在区间……上时，x曲线逐渐上升，sinα的值由增大到。113[]22，当在区间x上时，曲线逐渐下降，sinα的值由减小到。11x22322523yO232253113,22xyo--1234-2-31223252722325y=sinx3.正弦函数有多少个增区间和减区间？观察正弦函数的各个增区间和减区间，函数值的变化有什么规律？由正弦函数得周期性可知正弦函数有无数多个增区间和减区间.在每个增区间，函数值从增大到，11在每个减区间，函数值从减小到.111、__________，则f（x）在这个区间上是增函数.)()(21xfxf3.正弦余弦函数的单调性函数(),yfx若在指定区间任取，12xx、且，都有：21xx函数的单调性反映了函数在一个区间上的走向。观察正余弦函数的图象，探究其单调性2、__________，则f（x）在这个区间上是减函数.)()(21xfxf增函数：上升减函数：下降探究：正弦函数的单调性x22322523yO23225311正弦函数在每个闭区间)](22,22[Zkkk都是增函数，其值从－1增大到1；而在每个闭区间3[2,2]()22kkkZ上都是减函数，其值从1减小到－1。5335,,,,,2222222,2,22kkkZxyo--1234-2-31223252722325y=sinx2.由上面的正弦曲线你能得到哪些正弦函数的增区间和减区间？怎样把它们整合在一起？增区间：减区间：3357,,,,,22222232,2,22kkkZ周期性正弦函数在每一个闭区间上都是增函数，其值从-1增大到1；在每一个闭区间上都是减函数，其值从1减小到-1.2,2,()22kkkZ32,2,()22kkkZ4.余弦函数可以得到怎样相似的结论呢？探究：余弦函数的单调性[3,2][0][2][3,4]、，、，当在区间x上时，曲线逐渐上升，cosα的值由增大到。11曲线逐渐下降，sinα的值由减小到。11[2,][0][23]、，、，当在区间x上时，x22322523yO232253112,2,kkkZ2,2,kkkZ在每个区间______________________上都是减函数，yxo--1234-2-31223252722325cosyx在每个区间______________________上都是增函数，其值从____增大到____11其值从____减小到____11正弦函数当且仅当______________时取得最大值___当且仅当_____________时取得最小值___xx三、最大值和最小值探究xyo--1234-2-31223252722325sinyxZkk,221Zkk,221余弦函数当且仅当______________时取得最大值___当且仅当_____________时取得最小值___xx三、最大值和最小值探究2,kkZ12,kkZ1yxo--1234-2-31223252722325cosyxx6o--12345-2-3-41y当且仅当）时，，（Zkkx22；1)(sinmaxx当且仅当）时，，（Zkkx22.1)(sinminx当且仅当）时，，（Zkkx2；1)(cosmaxx当且仅当）时，，（Zkkx2.1)(cosminx四、正弦、余弦函数的最值x6yo--12345-2-3-41)(sinRxxy)(cosRxxy练习•P40练习2(1)2cos3x2(2)sin0.5x3cos2x1×sin0.5x[1,1]√1.观察正弦曲线和余弦曲线，写出满足下列条件的区间:(1)sin0x(2)sin0x(3)cos0x(4)cos0xP40练习函数y=sinxy=cosx图形定义域值域最值单调性奇偶性周期对称性2522320xy21-1xRxR[1,1]y[1,1]y22xk时，1maxy22xk时，1miny2xk时，1maxy2xk时，1miny[-2,2]22xkk增函数3[2,2]22xkk减函数[2,2]xkk增函数[2,2]xkk减函数2522320xy1-122对称轴：,2xkkZ对称中心：(,0)kkZ对称轴：,xkkZ对称中心：(,0)2kkZ奇函数偶函数例3下列函数有最大值、最小值吗？如果有，请写出取最大值、最小值时自变量x的集合，并说出最大值、最小值分别是多少.(1)cos1,yxxR(2)3sin2,yxxR解：这两个函数都有最大值、最小值.(1)使函数取得最大值的的集合为cos1,yxxRx2,,xxkkZ使函数取得最小值的的集合为cos1,yxxRx2,,xxkkZ最大值为112.最小值为110.(2)3sin2,yxxR解：（2）令，2zx2,,2zzkkZ由得，222xzk.4xk使函数取得最大值的的集合是3sin,yzzRz因此使函数取得最大值的的集合为x3sin2,yxxR,.4xxkkZ最大值为3.想一想：最小值的的集合怎么求？x(2)3sin2,yxxR解：同理使函数取得最小值的的集合为x3sin2,yxxR,.4xxkkZ最小值为-3.例4根据函数单调性，比较下列各组数的大小：(1)sin()与sin()1810(2)cos()与cos()235174解：（1）因为021018又y=sinx在上是增函数,[,0]2sin()sin().1810所以解:(2)cos()=cos=cos23523535cos()=cos=cos1741744因为30,45coscos4所以35又y=cosx在上是减函数[0,]cos()cos().235174即1.观察正弦曲线和余弦曲线，写出满足下列条件的区间:(1)sin0x(2)sin0x(3)cos0x(4)cos0xP40练习练习•P40练习1x22322523yO23225311x(1)sin0:x22322523yO23225311(0,)2k2k(2)sin0:x()0,2k2k(1)cos0:x()22,2k2kkZkZkZ(2)cos0:x(22,3)2k2kkZ22.12cos3;(2)sin0.5.xx下列各等式能否成立？为什么？（）（1）不成立.因为余弦函数的最大值是1，而3cos12x.