数学广角——鸡兔同笼

数学广角——鸡兔同笼一、创设情境，理解题意大约一千五百年前，我国古代数学名著《孙子算经》中记载了一道数学趣题——“鸡兔同笼”问题。今有雉兔同笼，上有三十五头，下有九十四足，问雉兔各几何？（一）收集信息，明确条件问题笼子里有若干只鸡和兔。从上面数，有35个头，从下面数，有94只脚。鸡和兔各有几只？问题：说一说这道题的意思是什么。（二）理解题意一、创设情境，理解题意二、尝试探究，寻找方法问题：这道题怎么解决呢？预设：画图法枚举法列表法……（一）明确方法二、尝试探究，寻找方法（二）独立思考，尝试探究问题：1.同学们在解决这个问题时有什么感受呢？问题：2.关于要解决的问题数据太大，你有怎样的思考呢？预设：数据太大，画图解决耗费时间；用枚举法解决可以，但感觉麻烦。预设：把数据变小一些（化繁为简），用画图或枚举的方法解决就比较容易了。在解决问题的过程中我们可以发现解决这个问题的方法或规律，然后用发现的方法或规律来解决古人的“鸡兔同笼”问题。（三）交流研讨，创新方法——化繁为简二、尝试探究，寻找方法问题：你觉得数据可以改为多少呢？预设：（1）鸡兔同笼，从上面数有5个头，从下面数，有14只脚，鸡和兔各有几只？（2）鸡兔同笼，从上面数有10个头，从下面数，有24只脚，鸡和兔各有几只？（3）鸡兔同笼，从上面数有10个头，从下面数，有36只脚，鸡和兔各有几只？……三、再次探究，积累经验（一）化繁为简，确定问题鸡兔同笼，从上面数有5个头，从下面数，有14只脚，鸡和兔各有几只？要求：用画图法或列表法独立尝试解决问题。（二）再次探究，积累学习经验三、再次探究，积累经验问题：同学们在解决这个问题时有什么发现？（三）交流研讨，提升认识预设：1.如果是5只兔，就有20条腿。三、再次探究，积累经验预设：2.如果是5只鸡，就有10条腿。问题：同学们在解决这个问题时有什么发现？（三）交流研讨，提升认识三、再次探究，积累经验预设：4.鸡543210兔012345脚101214161820预设：3.每多一只鸡，就少两条腿；每多一只兔，就多两条腿。（三）交流研讨，提升认识三、再次探究，积累经验问题：同学们在解决这个问题时有什么发现？四、布置作业作业：预习第104页，例1。数学广角——鸡兔同笼例1一、情境创设，揭示问题笼子里有若干只鸡和兔。从上面数，有8个头，从下面数，有26只脚。鸡和兔各几只？二、自主探究，解决问题问题：解决这个问题我们可以用怎样的方法呢？预设：画图法枚举法列表法……监控：你可以从上面的方法中选择，也可以用自己的方法解决这个问题。（一）独立思考，尝试探究（二）交流研讨，提升认识二、自主探究，解决问题问题：同学们在解决这个问题时有什么发现？预设：1.如果是8只兔，就有32只脚。二、自主探究，解决问题预设：2.如果是8只鸡，就有16只脚。（二）交流研讨，提升认识问题：同学们在解决这个问题时有什么发现？预设：3.鸡876543210兔012345678脚161820222426283032提问①：通过填表，你发现了什么？预设①：每多一只鸡，就少两只脚；每多一只兔，就多两只脚。所以有3只鸡，5只兔。二、自主探究，解决问题（二）交流研讨，提升认识问题：同学们在解决这个问题时有什么发现？预设：4.如果笼子里都是鸡。（1）如果笼子里都是鸡，就有8×2＝16只脚，比题目中少26－16＝10只脚。（2）那么需要用兔换鸡，一只兔比一只鸡多2只脚，有10÷2＝5只兔。（3）所以有8－5＝3只鸡。二、自主探究，解决问题（二）交流研讨，提升认识问题：同学们在解决这个问题时有什么发现？预设：5.如果笼子里都是兔。（1）如果笼子里都是兔，就有8×4＝32只脚，比题目中多32－26＝6只脚。（2）那么需要用鸡换兔，一只鸡比一只兔少2只脚，有6÷2＝3只鸡。（3）所以有8－3＝5只兔。二、自主探究，解决问题（二）交流研讨，提升认识问题：同学们在解决这个问题时有什么发现？鸡876543210兔012345678脚161820222426283032提问②：回顾刚才的三种解法，“如果都是鸡”“如果都是兔”与列表法有什么联系？预设②：“如果都是鸡”相当于列表中的“8只鸡，0只兔”；“如果都是兔”相当于列表中的“0只鸡，8只兔”。二、自主探究，解决问题（二）交流研讨，提升认识（一）介绍《孙子算经》中的算法三、拓展思路，提高认识（1）假如让鸡抬起一只脚，兔子抬起两只脚，相当于脚数去掉了一半，还有94÷2＝47只脚。（2）这时，每只鸡一只脚，每只兔子两只脚。笼子里只要有一只兔子，则脚的总数就比头的总数多1。（3）这时脚的总数与头的总数之差47－35＝12，就是兔子的只数。笼子里有若干只鸡和兔。从上面数，有35个头，从下面数，有94只脚。鸡和兔各有几只？三、拓展思路，提高认识古人的算法是让头的数量和脚的数量对应起来进行思考。（一）介绍《孙子算经》中的算法（）（）（）（）古人的算法可以用下图表示：头…35353523…鸡脚…94471212…兔下减上脚减半上减下笼子里有若干只鸡和兔。从上面数，有35个头，从下面数，有94只脚。鸡和兔各有几只？（二）受《孙子算经》中的算法的启发，关于例1，你能想到什么方法呢？预设1：（1）每只动物都抬起两只脚，一共抬起8×2＝16只脚。（2）那么，26－16＝10只脚，全是兔子的。（3）所以有10÷2＝5只兔，有8－5＝3只鸡。预设2：（1）把鸡翅膀也看成两只脚，那么每只动物就都有4只脚。共有8×4＝32只脚。（2）那么就多出来32－26＝6只脚，多出来的是鸡的脚。（3）所以有6÷2＝3只鸡，有8－3＝5只兔。三、拓展思路，提高认识预设3：（1）让兔子有两个头，那么一个头就对应两只脚，共有26÷2＝13个头。（2）那么就多出来13－8＝5个头，也就是兔子的数量。（3）所以有8－5＝3只鸡。三、拓展思路，提高认识问题：你能试着解决前面《孙子算经》中的问题吗？（二）受《孙子算经》中的算法的启发，关于例1，你能想到什么方法呢？四、知识运用问题：（1）这道题是“鸡兔同笼”这一类的问题吗？（2）解决这个问题，你喜欢用哪种方法呢？1.有龟和鹤共40只，龟的腿和鹤的腿共有112条。龟、鹤各有几只？日本的“龟鹤算”问题就是从我国的“鸡兔同笼”问题演变来的。预设：（1）如果都是鹤。①如果都是鹤，就有40×2＝80条腿，比题目中少112－80＝32条腿。②那么需要用龟换鹤，换上一只龟，腿的总数就多2条，有32÷2＝16只龟。③所以有40－16＝24只鹤。四、知识运用1.有龟和鹤共40只，龟的腿和鹤的腿共有112条。龟、鹤各有几只？日本的“龟鹤算”问题就是从我国的“鸡兔同笼”问题演变来的。①如果都是龟，就有40×4＝160条腿，比题目中多160－112＝48条腿。②那么需要用鹤换龟，换上一只鹤，腿的总数就少2条，有48÷2＝24只鹤。③所以有40－24＝16只龟。预设：（2）如果都是龟。四、知识运用1.有龟和鹤共40只，龟的腿和鹤的腿共有112条。龟、鹤各有几只？日本的“龟鹤算”问题就是从我国的“鸡兔同笼”问题演变来的。①假如让鹤抬起一条腿，龟抬起两条腿，还有112÷2＝56条腿。②这时，只要有一只龟，则腿的总数就比头的总数多1。③这时腿的总数与头的总数之差56－40＝16，就是龟的只数，所以有40－16＝24只鹤。预设：（3）抬腿法。四、知识运用1.有龟和鹤共40只，龟的腿和鹤的腿共有112条。龟、鹤各有几只？日本的“龟鹤算”问题就是从我国的“鸡兔同笼”问题演变来的。问题：（1）这道题是“鸡兔同笼”这一类的问题吗？（2）题目中哪个数量相当于“头数”？哪个数量相当于“脚数”？2.新星小学“环保卫士”小分队12人参加植树活动。男生每人栽了3棵树，女生每人栽了2棵树，一共栽了32棵树。男、女生各有几人？四、知识运用预设：（1）如果都是男生栽树。①如果都是男生栽树，就栽了12×3＝36棵树，比题目中多36－32＝4棵树。②那么需要用女生换男生，一名女生比一名男生少栽1棵树，有4÷1＝4名女生。③所以有12－4＝8名男生。四、知识运用2.新星小学“环保卫士”小分队12人参加植树活动。男生每人栽了3棵树，女生每人栽了2棵树，一共栽了32棵树。男、女生各有几人？预设：（2）如果都是女生栽树。①如果都是女生栽树，就栽了12×2＝24棵树，比题目中少32－24＝8棵树。②那么需要用男生换女生，一名男生比一名女生多栽1棵树，有8÷1＝8名男生。③所以有12－8＝4名女生。四、知识运用2.新星小学“环保卫士”小分队12人参加植树活动。男生每人栽了3棵树，女生每人栽了2棵树，一共栽了32棵树。男、女生各有几人？①假如每人都少栽两棵树，则一共少栽12×2＝24棵树。②这时，女生没栽树，男生每人栽1棵树，剩下32－24＝8棵树，这就是男生的人数。③那么有12－8＝4名女生。预设：（3）假如男、女生每人都少栽两棵树。四、知识运用2.新星小学“环保卫士”小分队12人参加植树活动。男生每人栽了3棵树，女生每人栽了2棵树，一共栽了32棵树。男、女生各有几人？五、布置作业作业：第106页练习二十四，第1题。