11-时间序列模型讲解

（第4版261页）ARIMA模型的特点GBox第11章时间序列模型ARMA模型是与回归模型完全不同的一类模型，由GBox和GM.Jenkins于1970年系统提出。（1）这种建模方法的特点是不考虑其他解释变量的作用，不以经济理论为依据，而是依靠变量本身的变化规律，利用外推机制描述时间序列的变化。（2）注重平稳性。当时间序列非平稳时，首先要通过差分使序列平稳后再建立时间序列模型。（3）估计ARMA模型参数的方法是极大似然法。（3）对于给定的时间序列，模型形式的选择通常并不是惟一的。在实际建模过程中经验越丰富，模型形式的选择就越准确合理。为什么学习ARIMA模型？（1）研究时间序列本身的变化规律（建立ARIMA模型，有无确定性趋势，有无单位根，有无季节性成分，预测）。（2）在回归模型的预测中首先用ARIMA模型预测解释变量的值。（3）时间序列模型应用越来越广泛。（非经典计量经济学是回归与时间序列知识的结合）●时间序列模型的普及是近年的事，随着专用软件的推广而普及。（第4版261页）为什么了解随机过程？11.1时间序列定义随机过程：随时间由随机变量组成的一个有序序列称为随机过程。用{x,tT}表示。简记为{xt}或xt。随机过程也常简称为过程。时间序列：随机过程的一次观测结果称为时间序列。也用{xt,tT}表示，并简记为{xt}或xt。时间序列中的元素称为观测值。随机过程和时间序列一般分为两类。一类是离散型的，一类是连续型的。本书只考虑离散型随机过程和时间序列。离散型时间序列可通过两种方法获得。一种是抽样于连续变化的序列。比如工业流程控制过程中，对压力、液面、温度等监控指标定时刻采集的观测值序列。另一种是计算一定时间间隔内的累积值。比如中国的年基本建设投资额序列、农作物年产量序列等。平稳序列指二阶弱平稳序列（1阶、2阶矩为不变的有限值）。（第4版262页）中国人时间上的前后观11.1时间序列定义滞后算子：用L表示。定义Lxt=xt-1。则k阶滞后算子定义为Lkxt=xt-k。白噪声过程：对于一个随机过程{xt,tT}，如果E(xt)=0，Var(xt)=2,tT；Cov(xt,xt+k)=0，(t+k)T,k0，则称{xt}为白噪声过程。-3-2-1012350100150200250300X-.12-.08-.04.00.04.08.1231503200325033003350D(UR)白噪声序列人民币对欧元汇率差分序列（第4版262页）11.2时间序列模型的分类一般分为四种类型。它们是自回归过程（AR）、移动平均过程（MA）、自回归移动平均过程（ARMA）和单积（整）自回归移动平均过程（ARIMA）。1.自回归过程如果一个线性随机过程可表达为xt=1xt-1+2xt-2+…+pxt-p+ut其中i,i=1,…,p是自回归参数，ut是白噪声过程，则这个线性过程xt称为p阶自回归过程，用AR(p)表示。它是由xt的p个滞后变量的加权和以及ut相加而成。用滞后算子表示1-1L-2L2-…-pLp)xt=L)xt=ut其中L)=1-1L-2L2-…-pLp称为自回归算子，或自回归特征多项式。（第4版262页）11.2时间序列模型的分类AR(p)过程中最常用的是1阶自回归过程：xt=1xt-1+ut和2阶自回归过程：xt=1xt-1+2xt-2+ut-6-4-202450100150200250300-300-200-100010020019992000200120022003200420052006D(Y)AR(1)序列中国旅游人数差分序列11.2时间序列模型的分类与自回归模型常联系在一起的是平稳性问题。对于一阶自回归过程xt=1xt-1+ut，保持其平稳的条件是特征方程L)=(1-1L)=0的根的绝对值必须大于1，即满足|1/1|1或|1|1。为什么？在|1|1条件下，一阶自回归过程可写为(1-1L)xt=utxt=(1-1L)-1ut=[1+1L+(1L)2+(1L)3+…]ut=(01iiiL)ut既然xt是平稳过程，01iiiL必须收敛，即一阶自回归系数1必须满足|1|1。这是容易理解的，如果|1|1，则(1-1L)-1发散，于是xt变成一个非平稳随机过程。（第4版264页）11.2时间序列模型的分类由AR(1)过程xt=1xt-1+ut,|1|1有xt=ut+1ut-1+12xt-2=ut+1ut-1+12ut-2+…因为ut是一个白噪声过程，所以对于平稳的AR(1)过程，E(xt)=0Var(xt)=E(xt)2=E(ut+1ut-1+12ut-2+…)2=u2+12u2+14u2+…=2111u2（第4版264页）11.2时间序列模型的分类不同自回归系数的AR(1)序列xt=1xt-1+ut,：-25-20-15-10-50550100150200250300phi=1-6-4-20246850100150200250300phi=0.8-3-2-10123450100150200250300phi=0.4-4-3-2-10123450100150200250300phi=0（第4版263页）11.2时间序列模型的分类对于自回归过程AR(p)，如果特征方程L)=0的所有根的绝对值都大于1，则该过程是一个平稳的过程。为什么？AR(p)过程的特征多项式若满足上条件，可以分解为(L)=1-1L-2L2-…-pLp=(1-G1L)(1-G2L)...(1-GpL)其中G1-1,G2-1,...,Gp-1是特征方程(L)=0的根。由AR(p)过程L)xt=ut，xt可表达为xt=tptuLGLGLGuL)1)...(1)(1(1)(121=(LGkLGk-1-12211+…+)-1LGkpput其中k1,k2,…,kp是待定常数。xt具有平稳性的条件是(L)-1必须收敛，即应有|Gi|1,i=1,2,…,p。而Gi-1,i=1,2,…,p是特征方程(L)=0的根，所以保证AR(p)过程具有平稳性的条件是特征方程的全部根必须在单位圆（半径为1）之外，即|1/Gi|1。保证AR(p)过程平稳的一个必要但不充分的条件是p个自回归系数之和要小于1，即pii1１（第4版265页）11.2时间序列模型的分类例11.1有AR(1)过程xt=0.6xt-1+ut，现改写为(1-0.6L)xt=utxt=L6.011ut=(1+0.6L+0.36L2+0.216L3+…)ut=ut+0.6ut-1+0.36ut-2+0.216ut-3+…平稳的AR(1)过程变换成为无限阶的移动平均过程。例11.2有AR(2)模型xt=0.6xt-1-0.1xt-2+ut，即(1-0.6L+0.1L2)xt=ut。其特征方程是(1-0.6L+0.1L2)=0[1-(0.3-0.1i)L][1-(0.3+0.1i)L]=0特征方程的两个根是，L1,L2=ii31.03.01。因为两个根都在单位圆之外，所以xt是平稳的随机过程。（第4版265页）11.2时间序列模型的分类2.移动平均过程如果一个线性随机过程可用下式表达xt=ut+1ut-1+2ut-2+…+qut-q其中1,2,…,q是回归参数，ut为白噪声过程，则称为q阶移动平均过程，记为MA(q)。因为xt是由ut和ut的q个滞后项的加权和构造而成，所以称其为移动平均过程。“移动”指随着时间t变化，“平均”指加权和之意。上式还可以用滞后算子写为，xt=(1+1L+2L2+…+qLq)ut或xt=L)ut其中L)=(1+1L+2L2+…+qLq)，称为移动平均算子或移动平均特征多项式。由定义知任何一个q阶移动平均过程都是由q+1个白噪声变量的加权和组成，所以任何一个有限阶移动平均过程都是平稳的过程。（第4版267页）11.2时间序列模型的分类2.移动平均过程MA(q)过程中最常见的是一阶移动平均过程MA(1)，xt=(1+1L)ut与移动平均过程相联系的一个重要概念是可逆性。MA(1)过程具有可逆性的条件是(1+1L)=0的根（绝对值）应大于1，即|1/1|1或|1|1。当|1|1时，MA(1)过程可以变换为ut=L111xt=(1-1L+12L2-13L3+…)xt整理上式，xt=1xt-1-12xt-2+13xt-3+…+ut这是一个无限阶的以几何衰减为权数的自回归过程。11.2时间序列模型的分类2.移动平均过程对于MA(1)过程E(xt)=E(ut)+E(1ut-1)=0Var(xt)=Var(ut)+Var(1ut-1)=(1+12)u2-4-202450100150200250300MA(1)-5000-4000-3000-2000-100001000200030004000505560657075808590950005D(Y)MA(1)时间序列中国粮食产量差分序列（第4版267页）11.2时间序列模型的分类2.移动平均过程不同参数的MA（1）一阶移动平均过程。-3-2-101234255075100125150175200MA1(theta=0.4)-4-3-2-1012345255075100125150175200MA2(theta=0.9)-4-3-2-101234255075100125150175200MA3(theta=-0.4)-4-3-2-101234255075100125150175200MA4(theta=-0.9)（第4版266页）11.2时间序列模型的分类2.移动平均过程MA(q)过程具有可逆性的条件是特征方程，L)=(1+1L+2L2+…+qLq)=0的全部根的绝对值必须都大于1。由MA(q)过程，有L)-1xt=ut。由于L)可表示为L)=(1-H1L)(1-H2L)…(1-HqL),所以ut=tqtxLHLHLHxL)1)...(1)(1(1)(121=(LHm111+LHm221+…+LHmqq1)xt可见保证MA(q)过程可以转换成一个无限阶自回归过程，即MA(q)具有可逆性的条件是L)-1收敛。即必须有|Hj|1或|Hj-1|1，j=1，2，…，q成立。而Hj-1是特征方程L)=0的根，所以MA(q)过程具有可逆性的条件是特征方程L)=0的根必须在单位圆之外。（因为xt=L)ut是平稳的，如果变换成L)-1xt=ut后变得不平稳，显然失去可逆性。）11.2时间序列模型的分类2.移动平均过程注意，对于无限阶的移动平均过程xt=0(iiut-i=ut(1+1L+2L2+…)其方差为Var(xt)=0(ii2Var(ut-i))=u202ii。很明显，虽然有限阶移动平均过程都是平稳的，但对于无限阶移动平均过程还须另加约束条件才能保证其平稳性。这条件就是{xt}的方差必须为有限值，即02ii注意：(1)对于AR(p)过程，不必考虑可逆性问题，只需考虑平稳性问题。条件是L)=0的根（绝对值）必须大于1。(2)对于MA(q)过程，不必考虑平稳性问题，只需考虑可逆性问题。条件是L)=0的根（绝对值）必须大于1。（第4版267页）11.2时间序列模型的分类3.自回归移动平均过程由自回归和移动平均两部分共同构造的随机过程称为自回归移动平均过程，记为ARMA(p,q)，其中p,q分别表示自回归和移动平均分量的最大滞后阶数。ARMA(p,q)的一般表达式是xt=1xt-1+2xt-2+…+pxt-p+ut+1ut-1+2ut-2+...+qut-q或(1-1L-2L2-…-pLp)xt=(1+1L+2L2+…+qLq)ut(L)xt=(L)ut其中(L)和(