分式方程的特殊解法举例

分式方程的特殊解法举例第1页共8页分式方程的特殊解法举例解分式方程的基本思想，是通过去分母，化分式方程为整式方程。其常规解法有“去分母法”和“换元法”两种。但对一些结构较特殊的分式方程，若仍用这两种常规方法求解，往往会使未知数的次数增高，或使运算变繁，增大解题难度，甚至无法解出。因此，我们应针对题目的结构特征，研究一些非常规解法。下面略作介绍，供读者参考。1.分组通分例1解方程65327621xxxxxxxx分析：通过移项，将方程两边变形为两分式的差，通分后的分子中含未知数的项可相互抵消，从而降低了解题难度。解：移项，得21653276xxxxxxxx两边分别通分，得)2)(6(4)3)(7(4xxxx所以)2)(6()3)(7(xxxx解得29x经检验，知29x是原方程的根。2.用“带余除法”将分子降次例2解方程xxxxxxx211112323分析：方程左边是两个假分式的和的形式，所以可将它们分别化成整式与真分式之和的形式，从而降低未知数的次数，简化运算。解：原方程可化为分式方程的特殊解法举例第2页共8页xxxxxxx212112122所以121222xxxx即1122xxxx所以002xx，经检验，知x=0是原方程的根。3.拆项相消例3解方程1011009900199165123112222xxxxxxxx分析：表面不易发现题目特点，但将各分母因式分解后，便发现各分式同时都具有ABAB的形式。因此，可用BAABAB11将每个分式都拆成两个分式差的形式，这样除首末两项外，中间的项从左往右依次抵消。解：将原方程变形，得101100)100)(99(1)3)(2(1)2)(1(1)1(1xxxxxxxx拆项得100199131212111111xxxxxxxx101100化简得10110010011xx即01011002xx解得101121xx，分式方程的特殊解法举例第3页共8页经检验，知11x和1012x都是原方程的解。4.用韦达定理例4求方程9733322xxxx的全体实数根之积。分析：在方程的两边都减去7后，便得到形如axmx型的方程。因此，可用韦达定理法求解。解：将原方程变形为2733)73(22xxxx因为3733)73(22xxxx由韦达定理知，)73(2xx与7332xx是二次方程0322yy的两实根，解关于y的二次方程，得3121yy，所以1732xx或3732xx即0632xx或01032xx，又由韦达定理知60)10()6()()(43214321xxxxxxxx5.利用合分比定理例5解方程24244234232222xxxxxxxx分析：本题不仅具有比例式的特征，且方程两边分子与分母中对应项的系数的绝对值又分别相等，故可用合分比定理来简化运算。分式方程的特殊解法举例第4页共8页解：根据合分比定理将原方程化为42886422xxxx即28622xxxx所以)2)(()86(22xxxx01073xx解得7707700321xxx，，经检验，知7707700321xxx，，都是原方程的解。6.化为cmcxmx型例6解方程421131132xxxxxx解：由原方程得113421132xxxxxx因为1131132xxxxxx1311311322xxxxx分式方程的特殊解法举例第5页共8页所以6426131134211322xxxxxx由cmcxmx，解得cmxcx或所以61132xxx或76421132xxx即07606722xxxx或解得2323614321xxxx，，，经检验，知4321xxxx，，，都是原方程的根。7.方程两边都加（减）同一常数例7解方程821261949819965xxxxxxxx分析：本题中的四个分式的分子与分母都是一次二项式，因此，在每个分式中都减去分子与分母一次项系数的比值，通分后便可将分子降次。解：由原方程得198519965xxxx2821246194xxxx整理得856519191xxxx两边分别通分，得)8)(6(10)19)(9(10xxxx分式方程的特殊解法举例第6页共8页所以)8)(6()19)(9(xxxx，解得14123x经检验知，14123x是原方程的解。注：也可用“带余除法”将分子降次。8.整体通分例8解方程011232xxxxx分析：将)1(2xx视为一个整体，可用立方和公式进行整体通分。解：由原方程得0)()1(233xxx所以012x，即1x经检验知，只有x=1是原方程的根。9.配方例9解方程014191222xxxx解：将原方程配方，得01019122xxxx分解因式，得021512xxxx分式方程的特殊解法举例第7页共8页所以0512xx或021xx即012025222xxxx或解得1212321xxx，，经检验，知321xxx，，都是原方程的根。10.逐步通分例10解方程18141211118342xxxxxx分析：本题从左往右用平方差公式逐步通分后，分子中出现的相反项可相互抵消，从而可简化运算。解：对原方程逐步通分，得1814121283422xxxxx所以1814148344xxxx即18188384xxxx所以0)1()1(8384xxxx即0)1)(1(83xxx解得110321xxx，，经检验，知只有x=0是原方程的根。分式方程的特殊解法举例第8页共8页