第十三章-压杆稳定

第十三章压杆稳定1基本概念及知识要点1.1基本概念理想受压直杆、理想受压直杆稳定性、屈曲、临界压力。1.2临界压力细长压杆（大柔度杆）用欧拉公式计算临界压力（或应力）；中柔度杆用经验公式计算临界压力（或应力）；小柔度杆发生强度破坏。1.3稳定计算为了保证受压构件不发生稳定失效，需要建立如下稳定条件，进行稳定计算：stcrnFFn－稳定条件2重点与难点及解析方法2.1临界压力临界压力与压杆的材料、截面尺寸、约束、长度有关，即和压杆的柔度有关。因此，计算临界压力之前应首先确定构件的柔度，由柔度值确定是用欧拉公式、经验公式还是强度公式计算临界压力。2.2稳定计算压杆的稳定计算是材料力学中的重要内容，是本课程学习的重点。利用稳定条件可进行稳定校核，设计压杆截面尺寸，确定许用外载荷。稳定计算要求掌握安全系数法。解析方法：稳定计算一般涉及两方面计算，即压杆临界压力计算和工作压力计算。临界压力根据柔度由相应的公式计算，工作压力根据压杆受力分析，应用平衡方程获得。3典型问题解析3.1临界压力mm.hAIimin551132mm.aAIi31632例题13.1材料、受力和约束相同，截面形式不同的四压杆如图图13－1所示，面积均为3.2×103mm2，截面尺寸分别为(1)、b=40mm、(2)、a=56.5mm、(3)、d=63.8mm、(4)、D=89.3mm,d=62.5mm。若已知材料的E=200GPa，σs=235MPa，σcr=304－1.12λ，λp=100，λs=61.4，试计算各杆的临界荷载。[解]压杆的临界压力，取决于压杆的柔度。应根据各压杆的柔度，由相应的公式计算压杆的临界压力。(1)、两端固定的矩形截面压杆，当b=40mm时λ＞λP此压杆为大柔度杆，用欧拉公式计算其临界应力(2)、两端固定的正方形截面压杆，当a=56.5mm时所以33mmFF9.1291055.1135.031ilkN3752121AEAFcrcr922il22bbbbaadd00..77ddDD图13－1kN63510321094121304363.).(AFcrcrmm.dDAIi2274122kN6441023109200362..AFcrcrλsλλP此压杆为中柔度杆，用经验公式计算其临界应力σcr2=304-1.12λ2=304-1.12×92=200.9MPa(3)、两端固定的实心圆形截面压杆，当d=63.8mm时λsλλP此压杆为中柔度杆，用经验公式计算其临界应力(4)、两端固定的空心圆形截面压杆，当D=89.3mm，d=62.5mm时λλs此压杆为短粗杆，压杆首先发生强度破坏，其临界应力解题指导：1．计算压杆的临界压力时，需要综合考虑压杆的材料、约束、长度、惯性半径，即需要首先计算压杆的柔度，根据柔度值，代入相应的公式计算压杆的临界压力。当λ＞λP时压杆为大柔度杆，用欧拉公式计算其临界应力；λsλλP时压杆为中柔度杆，用经验公式计算其临界应力；mmdi95.1541943il1.554ilkN752103210235364.APscrλλs时压杆为短粗杆，压杆将首先发生强度破坏。2．由此例题可见，惯性半径越大,柔度越小,承载能力越强。例题13.2矩形截面杆如图13－2所示，杆两端用销钉连接，在正视图中，连接处允许压杆绕销钉在铅垂面转动，两端约束可简化为两端铰支。在俯视图中，连接处不允许压杆在水平面内发生转动，两端约束视为两端固定。已知杆长L=2.3m截面尺寸b=40mmh=60mm材料的E=205GPaλP=132λs=61，试求此杆的临界压力Fcr。[解]1．若在正视图内失稳（铅垂方向）：μ＝1,32hiz6.132zzil2．若在俯视图内失稳（水平面内）：μ＝0.5,32biy5.99yyilhbyzbhPPPP正视图可转动，两端铰支俯视图不可转动，两端固定FPFPFPFP图13－202ZZIIzy所以，压杆在正视图失稳。3．计算压杆的临界压力Fcr16132.z用欧拉公式计算其临界应力kN227622.lEIFcr解题指导：对于这类问题，需首先计算两个方向的柔度，判断压杆首先沿哪个方向失稳。例题13.3图13-3所示立柱长L=6m，由两根10号槽钢组成，试问a多大时立柱的临界荷载Fcr最大，并求其值。已知:材料E=200GPa，σP=200MPa。[解]1．惯性矩查型钢表可知，由两根10号槽钢组成的组合截面对形心主惯性轴的惯性矩分别为:当a值较小时，IyIz，λyλz，压杆失稳时，以y轴为中性轴弯曲；])2([2200AazIIYYzzyyyy00aazz00FFPP图13－33.106105.3967.03ilYZ当a值较大时，IzIy，λzλy，压杆失稳时，以z轴为中性轴弯曲；2．当立柱的临界荷载最高，压杆对z轴和y轴应有相等的稳定性。即：即3．最大临界荷载Fcr压杆的柔度iy=iz=i由于所以，λ＞λP压杆为大柔度杆用欧拉公式计算临界压力例题13.4所示工字钢直杆在温度t1=20℃时安装，此时杆不受力，已知杆长l=6m，材料的λP=132,E=200GPa，线膨胀系数α=12.5×10-6/℃。试问当温度升高到多少度时杆将失稳。3.992PPEkN44422）（lEIFcrYZII2.37)2(0azmma44)2.155.37(2FBFAAazIIYz20002225.14112.26005.0il[解]随着温度的升高，直杆在杆端受到压力FA＝FB，当两端压力达到压杆的临界压力即：FA＝FB＝Fcr时，压杆将失稳。1.杆的工作压力由静不定结构的变形协调条件tFlltlEAlFAtEAFA2．压杆的临界压力λ＞λP压杆为大柔度杆。用欧拉公式计算临界压力3．压杆失稳时，需要升高的温度值由FA＝FB＝Fcr22）（lEItEA图13-422）（lEIFcrACBD70kN60cm30cmd=4cmα3.2稳定计算例题13－5：钢杆AB如图13－5所示，已知的杆的长度lAB=80cm,100＝P57＝s，经验公式121304.cr－，nst=2，试校核AB杆。[解]1．杆AB的工作压力：分析梁CBD的受力，据其平衡方程可得FAB=159kN2．杆AB的临界压力：压杆的柔度8044801＝＝＝ilsP用经验公式计算压杆的临界应力：MPa421480121304..cr－压杆的临界压力Fcr=σcrA=270kN3．计算压杆的工作安全系数，进行稳定校核由压杆的稳定条件269.1159270stcrnPPn所以，AB杆不安全。图13－5解题指导：请读者思考：若校核整个结构，如何求解？若由AB杆确定整个结构的许用外载荷，如何求解？例题13.6：材料相同的钢杆AB、AC，直径均为d=80cm,98＝P57＝s，经验公式121304.cr－，nst=5，E=210GPa，试求许用外载荷[FP]。[解]1．确定杆AB、AC的工作压力：由节点A的受力及平衡方程可得FAB=0.5FPFAC=0.866FP2．计算由AB杆稳定条件确定的许用外载荷：AB杆的柔度173408030410＝＝.cosilABABPAB用欧拉公式计算压杆的临界应力：kN34822ABcrABlEIF由压杆稳定条件550348PABcrABF.FFn则许用外载荷FP≤139.2kNABC3004mP图13－6FP3．计算由AC杆稳定条件确定的许用外载荷AB杆的柔度100408.030sin410＝＝ilACACPAB用欧拉公式计算压杆的临界应力：kN8104122.lEIFACcrAC由压杆稳定条件5866081041PACcrACF..FFn则许用外载荷FP≤240.6kN4．确定整个结构的许用载荷由稳定计算结果可知，结构的许用载荷为[FP]=139.2kN解题指导：对于这类题目，所确定的载荷要确保整个结构所有受压杆件匀不失稳。由于杆AB、AC所受压力和柔度均不相同，需要首先分别求出由两杆确定的各自许用外荷载，然后取其中较小的一个，做为整个结构的许用外载荷。例题13.7：两端为球铰的压杆，由两根等边角钢铆接而成，型钢的外形尺如图13－7所示。已知铆钉孔直径为23mm，压杆长度l=2.4m，所受外力FP＝800kN，nst=1.48，98＝P60＝s，经验公式121304.cr－，材料的许用应力[σ]=160MPa，试校核压杆是否安全。lyzφ23125×125×12PFPl图13－7[解]图13－7所示压杆有两种可能的失效形式：失稳：整个压杆由直线形式的平衡变为曲线形式的平衡，局部截面尺寸变化对弯曲变形影响很小，个别截面上铆钉开孔对整个压杆的稳定性影响可忽略不计。因此，在压杆稳定计算中，采用未开铆钉孔时的压杆横截面尺寸（相应的面积称为“毛面积”，用A表示）；强度失效，在铆钉开孔截面，截面尺寸的削弱，会导致截面上的正应力增大，超过材料的许用应力。因此需要校核铆钉开孔处横截面上的正应力强度。在计算中要用开孔后的截面尺寸（其面积称为“净面积”，用A0表示）。综上所述，需要首先分别校核压杆的整体稳定和铆钉开孔处正应力强度，才能判断出压杆是否安全。1．稳定校核压杆失稳时，二等边角钢将作为一整体发生屈曲，并绕组合截面惯性矩最小的形心主轴（z轴）转动其中Iz1、iz1和A1分别为单根角钢对z轴的惯性矩、惯性半径和横截面面积，可由型钢表中查得。6662421.i.ilzmin＝＝sP所以，用经验公式计算压杆的临界应力：MPabacr8.23366.6212.1304－＝代入稳定条件，进行稳定校核stcrn...FAn69110800109282108233346P所以压杆稳定。2．强度校核：组合截面在铆钉孔处因开孔而削弱，削弱后的净面积为：A0=2×28.9×10-4－2×0.023×0.012=5.28×10-3m2该截面上的正应力MPa1531028510800330P.AF压杆强度安全3．由上述稳定计算和强度计算可知，压杆安全。)(22P压FFFFFCDBCADAB解题指导：1．压杆稳定计算用毛面积，强度计算用净面积。2．请读者思考：如果两根槽钢只在两端连接，这时上述稳定计算和强度计算会不会发生变化?例题13.8图13－8所示正方形桁架结构，由五根圆截面钢杆组成，连接处均为铰链，各杆直径均为d＝40mm，a＝1m。材料的λp=110，λs=60，E＝200GPa，经验公式为121304.cr－，nst＝1.8。试求结构的许可载荷。[解]1．计算各杆的受力值分别以节点A、B为研究对象，应用平面汇交力系平衡方程，同时考虑结构的对称性，可计算和确定出各杆的受力分别为FDB=FP（拉）由上述计算结果可知，杆AB、AD、BC、CD为压杆，应考虑的失效形式为失稳，需要进行稳定计算；杆BD为拉杆，应考虑的失效形式为强度失效，需进行强度计算。2．稳定计算对于AB等压杆sP用经验公式计算压杆的临界应力：由稳定条件26crπ304114100401002387MN2387kN4...ABFabλA图13－8stcrnFFnkN6.1878.17.23822stABcrPnFF3.强度计算对于拉杆BD，FN=FDB=FP，由强度条件AFN可得4．结构的许可载荷由上述稳定计算和强度计算结果可知，结构的许用载荷为例题13.9材料相同的梁及柱如图13-9（a）所示，竖