分式方程的特殊解法

分式方程的特殊解法四川省攀枝花市第二中学617000王琨分式方程的解法除常规的去分母法和换元法之外，还有许多特殊的解法。一、分组通分法：例1、解方程32411423xxxx分析：要整个方程一起通分，计算量大又易出错。观察方程中分母的特点可联想分组通分求解。略解：方程两边分别通分，相减得)3)(4(5)1)(2(5xxxxxx当05x时，)3)(4()1)(2(xxxx，解得251x当05x时，解得52x经检验，251x52x都是原方程的解二、分离分式法：例2、解方程43325421xxxxxxxx分析：每个分式的分母与分子相差1，利用这特点可采用分离分式法求解略解：原方程可变形为411311511211xxxx整理得)4)(3(72)5)(2(72xxxxxx当072x时，解得27x当072x时，方程无解经检验27x是原方程的解三、韦达定理法：例3、解方程71)1(31)1(222xxxx分析：该方程的常规解法是换元法，但通过进一步观察会发现含有未知数的两个代数式的和或积都等于常数，故联想韦达定理求解。略解：设1)1(22xxu1)1(32xxv则易知u，v是方程0672yy的两个解，解这个方程得1u6v或16vu(2)61)1(3)1(11)1(222xxxx或(4)11)13((3)61)1(222xxxx由(2)1)(得方程无解由(4)(3)得217321x经检验，它们满足原方程。故原方程的解是21731x21732x四、配方法：例4、解方程)32(49422xxxx分析：观察发现方程左边恰好是2x与x3的平方和，而右边又含有式子xx32，故可通过配方的方法把左边写成2x与x3差的完全平方的形式，进而把原方程看作是以xx32为未知数的一元二次方程去求解。略解：原方程可变形为03)32(4)32(2xxxx解之得132xx或332xx当132xx时，解之得7121x当332xx时，解之得15343x经检验，它们都满足原方程。故原方程的解是711x712x1533x1534x五、运用方程cbcxbx的解求解方程cbcxbx的解不难通过去分母法求得为cx1，cbx2运用这一结论可以使具备此方程特征的这类方程的解法简捷。例5、解方程25991xxx略解：原方程可变形为21299xxxx29xx或219xx解29xx得31x解219xx得122x经检验，31x，122x都是原方程的解。六、运用比例的性质求解例6、解方程323233332222xxxxxx分析：方程左边的分子和分母中的二次项系数相同，一次项和常数项均为相反数；方程右边的二次项系数相同，常数项互为相反数，根据上述特点运用比例中的合分比性质来求解使解题过程大大简化。略解：应用合分比性质得6466222xxx去分母整理得03223xx0)32(2xx01x232x经检验，它们都是原方程的解。