解分式方程的特殊方法与技巧

分式方程意义及解法一、内容综述：1．解分式方程的基本思想在学习简单的分式方程的解法时，是将分式方程化为一元一次方程，复杂的（可化为一元二次方程）分式方程的基本思想也一样，就是设法将分式方程“转化”为整式方程．即分式方程整式方程2．解分式方程的基本方法(1)去分母法去分母法是解分式方程的一般方法，在方程两边同时乘以各分式的最简公分母，使分式方程转化为整式方程．但要注意，可能会产生增根。所以，必须验根。产生增根的原因：当最简公分母等于0时，这种变形不符合方程的同解原理(方程的两边都乘以或除以同一个不等于零的数，所得方程与原方程同解)，这时得到的整式方程的解不一定是原方程的解．检验根的方法：（1）将整式方程得到的解代入原方程进行检验，看方程左右两边是否相等。（2）为了简便，可把解得的根直接代入最简公分母中，如果不使公分母等于0，就是原方程的根；如果使公分母等于0，就是原方程的增根。必须舍去．注意：增根是所得整式方程的根，但不是原方程的根，增根使原方程的公分母为0．用去分母法解分式方程的一般步骤：(i)去分母，将分式方程转化为整式方程；(ii)解所得的整式方程；(iii)验根做答(2)换元法为了解决某些难度较大的代数问题，可通过添设辅助元素（或者叫辅助未知数）来解决．辅助元素的添设是使原来的未知量替换成新的未知量，从而把问题化繁为简，化难为易，使未知量向已知量转化，这种思维方法就是换元法．换元法是解分式方程的一种常用技巧，利用它可以简化求解过程．用换元法解分式方程的一般步骤：(i)设辅助未知数，并用含辅助未知数的代数式去表示方程中另外的代数式；(ii)解所得到的关于辅助未知数的新方程，求出辅助未知数的值；(iii)把辅助未知数的值代回原设中，求出原未知数的值；(iv)检验做答．注意：（1）换元法不是解分式方程的一般方法，它是解一些特殊的分式方程的特殊方法。它的基本思想是用换元法把原方程化简，把解一个比较复杂的方程转化为解两个比较简单的方程。（2）分式方程解法的选择顺序是先特殊后一般，即先考虑能否用换元法解，不能用换元法解的，再用去分母法。（3）无论用什么方法解分式方程，验根都是必不可少的重要步骤。二、例题精析：例1．解分式方程：。分析：解分式方程的思路是把方程去分母化为整式方程。解：方程两边都乘以x(x+2)，约去分母，得x+4-x=2(x+2)+x(x+2)整理后，得x2+4x=0解这个方程，得x1=0,x2=-4,代入公分母检验：当x1=0时，x(x+2)=0×(0+2)=0,∴x=0是增根；当x2=-4时，x(x+2)=-4×(-4+2)≠0,∴x=-4是原方程的根。故原方程的根是x=-4。例2．解方程：。分析：本题中各个分式的分子与分母是同次多项式，故从中析出一个整数来（用拆分分式的方法），；考虑方程中有四个分式，可以移项后利用公式把分式拆项，将方程化简。解：即，移项，整理，得，即，亦即去分母，得(x-6)(x-5)=(x-9)(x-8)，去括号，整理，得x=7.经检验，x=7是原方程的根。∴原方程的根是x=7。例3．解方程。解法1：方程两边都乘以(x+4)(x+5)(x+2)(x+3)，去分母，得(x+3)2(x+5)(x+2)-(x+4)2(x+2)(x+3)=(x+1)(x+4)(x+5)(x+3)-(x+2)2(x+4)(x+5)即4x+14=0,∴，经检验知是原方程的解。解法2：方程两边分别通分，得，即，∴(x+5)(x+4)=(x+2)(x+3)解得。解法3：利用拆分分式的方法将原来的方程变形。原方程可化为即：，两边分别通分，得，解之，得。例4．解方程。解：设，则原方程变形为y2-5y+6=0,解得y1=2,y2=3,由=2，解得x1=4;由，解得x2=3.经检验x1=4,x2=3，都是原方程的根。例5．用换元法解方程.解：设2x2+3x=y，于是原方程变为,整理，得y2-4y-5=0解得y1=5,y2=-1.当y=5时，即2x2+3x=5,解得x1=1,,当y=-1时，2x2+3x=-1，解得x3=-1,,经检验，都是原方程的根。∴原方程的根为。例6．解方程。分析：利用方程左边结构特点，构造一元二次方程来解。解：设，所以原方程变形为：y+=7,整理得：y2-7y+10=0解得y1=2,y2=5，当y1=2时，即，∴x1=0,x2=2;当y2=5时，，即x2-5x+9=0（Δ0，此方程无实根）经检验，x1=0,x2=2是原方程的解。例7．解方程.分析：此方程初看起来容易把，，而实际上，所以.但是,就是说原方程可变形为,变形后才可用换元法解此方程。解：原方程可化为即,设,则原方程可化为：2y2-3y-5=0解得y1=-1,y2=,当y=-1时，,去分母整理，得x2+x+1=0解这个方程，∵Δ0,∴方程无解。当y=时，,去分母整理，得2x2-5x+2=0解得x1=2,,经检验，x1=2,都是原方程的根。∴原方程的根是x1=2,。注意：切勿把。例8．若分式方程有增根x=2，求a的值。分析：将方程的两边同乘以最简公分母(x+2)(x-2)，得a(x+2)+1+2(x+2)(x-2)=0，若分式方程有增根x=2，则x=2一定是整式方程a(x+2)+1+2(x+2)(x-2)=0的根，代入之即可求出a。解：原分式方程去分母，得a(x+2)+1+2(x+2)(x-2)=0把x=2代入所得方程，得4a+1+0=0,a=-,∴当a=-时,x=2是原分式方程的增根。测试选择题1．方程x-=2-的根的情况是（）A、只有一解x=2B、任意实数都是解C、无解D、解为x≠22．用换元法解方程+=，下列变形正确的是（）A、设=y，原方程变形为y+=，去分母得2y2+5y+2=0B、设=y，原方程变形为y+-1=，去分母得2y2-7y+2=0C、设=y，原方程变形为+=，去分母得y2-5y+3=0D、设=y，原方程变形为+=，去分母得y2-5y+6=03．如果设y=-5，则对于方程(-5)2+-13=0，下面变形正确的是（）A、y2-2y-8=0B、y2+2y-3=0C、y2+2y-13=0D、y2-2y-23=04．若x=1是方程的增根，则m的值为（c）A、1B、-1C、-3D、35．方程会产生增根,则a的值为（c）A、1B、-2C、1或-2D、以上都不对。6．方程=0的根是（）A、-1B、2C、-1或2D、1或-27．使分式方程产生增根的k的值是（）A、0B、0或2C、1D、28．用换元法解方程,设，则方程变形为（）。A、6y2+5y-38=0B、6y2+5y-40=0C、6y2+5y-26=0D、6y2+5y-50=09．方程的根为（）A、x=2B、x=C、x=3D、x=-5,或x=310．某项工程，甲独做需a天，乙独做需b天，甲、乙合做完成任务需要的天数是（）。A、B、C、a+bD、答案与解析答案：1、C2、D3、B4、C5、C6、B7、A8、D9、D10、D解析：1、答案：选C。移项，整理得x=2，但当x=2时，分母x-2=0，则x=2为增根，原方程无解。2、答案：2．选D。3、答案：选B。原方程整理得：，设原方程变为：y2+2y-3=0。4．答案：选C。原方程两边乘以(x-1)(x-2)得：x2-4+x2+2x-3=m即：2x2+2x-7-m=0则x=1是方程2x2+2x-7-m=0的根，代入x=1得：∴2+2-7-m=0,m=-3.5.答案：选C。两边乘以x(x-1)得x2+2x-2-a=0,若原方程有增根，则有增根x=1或x=0，而x=1或x=0是整式方程x2+2x-2-a=0的两根，将x=1或x=0代入整式方程得a=1或a=-2，选C。6．答案：选B。由，去分母得(x+1)(x-2)=0得x=-1或x=2，经检验，x=-1是增根，则原方程的根为x=2。7．答案：选A。分式方程的增根为x=2或x=-2，而x=2或x=-2，一定是去分母得到的整式方程的解。原方程两边乘以(x-2)(x+2)得x2-2x-x2+4=k2x+2k2整理得：(k2+2)x=4-2k2,∴,则：，解得：k=0.8．答案：选D。分析：原方程变形为，则原方程变形为6(y2-2)+5y-38=0，整理得：6y2+5y-50=0.9．答案：选D。方程两边乘以x2-4得15=2x+4+x2-4即：x2+2x-15=0,解得：x1=-5或x2=3，经检验，x=-5或x=3都是原方程的根。10．答案：选D。整个工程看成整体1，则甲，乙的工作效率分别为，则合作工作效率为，则甲，乙合作用的时间为。中考解析分式方程考点讲解1．解分式方程的基本思想方法是：把分式方程通过去分母或换元转化成整式方程，然后用解整式方程的方法去求解，但在转化过程中，可能会使分式方程增根，所以最后一定要验根。2．去分母法解分式方程的步骤：（1）去分母，即方程两边同乘以各分母的最简公分母，约去分母，得到一个整式方程；（2）解这个整式方程；（3）验根。3．用换元法解分式方程的步骤：（1）根据分式方程中的特点设某一分式为另一未知字母；（2）写出符合原方程式的用新字母表示的变形方程；（3）解换元所得新方程，求得未知字母的值；（4）把新未知字母值代入第一步所设的分式，求得原方程未知数的值；（5）验根。4．分式方程验根的方法：（1）将解得整式方程的根代入原方程，使方程左右两边相等的未知数的值是原方程的根，否则是增根；（2）将解得整式方程的根代入最简公分母中，如果不使最简公分母等于0，就是原方程的根，反之则为增根。考题评析1．（甘肃省）一组学生去春游，预计共需费用120元，后来又有2人参加进来，总费用不变，于是每人可少分摊3元，原来这组学生的人数是（）（A）8（B）10（C）12（D）30考点：分式方程的应用评析：该题是一列方程解的应用题，解决应用题的关键是找到等量关系，本题的等量关系有两个：一个是人数变化，前后的总费用不变，二是增加2人后，每人少分摊3元。根据条件，依据第二个等量关系列方程比较容易解得此题,设原来这组学生的人数x人，所以列方程为：，解得x=8,经检验x=8是原方程的根。答案：A说明：所列方程是一个分式方程，求出结果后必须检验。2．(杭州市)（本题8分）解方程：考点：分式方程的解法评析思路：此题可用去分母、化分式方程为整式方程的方法，来解此方程注一定要检验。答案：x=23．（重庆市）方程的解是__________。考点：分式方程的解法评析：思路：本题运用等式的性质两边乘以x(x－1)化分式方程为整式方程，然后求解。说明：右边的1必须乘以x(x－1)同时要进行验根。答案：x＝24．(吉林省)解方程：。考点：分式方程。评析思路，根据方程的形式可知用换元法解本方程，设，方程变为关于y的整式方程，然后求解。说明：分式方程一定要检验。答案：x=2或x=5．（辽宁省）用换元法解方程.考点：分式方程的解法——换元法评析思路：设，原方程可变为关于y的一元二次方程是y2-5y-6=0.该题用换元法变为整式方程将用y代替即可。答案：x=或x=6．（安徽省）解方程+=时，设y=,则原方程可化为：（）A、5y2+5y-26=0B、5y2+y-26=0C、5y2-y-26=0D、5y2-26y+5=0考点：换元法解分式方程评析:原方程是一个分式方程，其中两个分式互为倒数，当设y=时，原方程变为y+=化简得5y2–26y+5=0，所以正确选项是D分式方程（组）的特殊解法吴行民王爱灵同学们已经知道，把分式方程的两边同乘以各分母的最简公分母，化为整式方程，是解分式方程的基本思路。而对于一些特殊的分式方程（组），我们还可以根据它的特征，采取灵活多变的方法求解。下面以课本习题、中考题和竞赛题为例，介绍解分式方程（组）的若干特殊方法与技巧。一、观察法例1、解关于x的方程：精讲与解：由限制条件和方程两边a，b及x的“对称”关系不难看出，当x=ab时等式成立。而该方程是一个可化为一元一次方程的分式方程，最多只有一个解，故原方程的解是x=ab。二、拆项法例2、解方程：。精讲与解：先注意，将左边第一个分式“一分为二”，就可以避