中考数学专题复习-圆压轴八大模型题(7)-直径在腰上

圆压轴题八大模型题（七）泸州市七中佳德学校易建洪引言：与圆有关的证明与计算的综合解答题，往往位于许多省市中考题中的倒数第二题的位置上，是试卷中综合性与难度都比较大的习题。一般都会在固定习题模型的基础上变化与括展，本文结合近年来各省市中考题，整理了这些习题的常见的结论，破题的要点，常用技巧。把握了这些方法与技巧，就能台阶性地帮助考生解决问题。类型7直径在腰上如图，已知在△ABC中，AB＝AC，以AB为直径的⊙O交BC于点D，过点D作DE⊥AC于点E.(1)求证：BD＝DC；(2)求证：DE为⊙O的切线；(3)求证：CE＝EF.(4)若AF＝7，BC＝6，求DE.【分析】(1)连结AD,由腰三角形三线合一证之；（2）连结OD,点D为BC中点，由中位线定理得OD∥AC,∴∠ODE＝∠AED＝90°得证；（3）如图a，连结DF，有∠DFC＝∠B＝∠C,∴DF＝DC,又DE⊥FC,得CE＝EF.（4）由∠C＝∠B＝∠DFC得△DFC∽△ABC，∴CDCFCACB，又BD＝CD＝3，设CF＝m，则CA＝m＋7，∴376mm,解得m1＝2,m2＝－9（舍去），∴CE＝12m＝1，Rt△DEC中，DE＝231＝22【典例】（2018·湖北孝感）如图，△ABC中，AB＝AC，以AB为直径的⊙O交BC于点D，交AC于点E，过点D作DF⊥AC于点F，交AB的延长线于点G.DEFOCBA图7-1FAOEDCB图a（1）求证：DF是⊙O的切线；（2）已知BD＝25，CF＝2，求AE和BG的长.【分析】（1）由AD是等腰△ABC的三线合一，点D是BC中点，点O是AB中点，OD是△ABC的中位线，∴OD∥AC，得∠ODG＝∠AFG＝90°证得；（2）由BD＝CD＝25，CF＝2得DF＝4，连结BE，由中位线定理得BE＝8，CE＝4，由△DFC∽△ABD得AB＝10，∴AE＝6，由BE∥GF得BG＝103.解：（1）连接OD，AD，∵AB为⊙O的直径，∴∠ADB＝90°，即AD⊥BC，∵AB＝AC，∴BD＝CD，又∵OA＝OB，∴OD∥AC，∵DG⊥AC，∴OD⊥FG，∴直线FG与⊙O相切；（2）连接BE．∵BD＝25，∴CD＝BD＝25，∵CF＝2，∴DF＝22(25)2＝4，∴BE＝2DF＝8，∵cos∠C＝cos∠ABC，∴CFBDCDAB，∴22525AB∴AB＝10∴AE＝22108＝6∵BE⊥AC，DF⊥AC，∴BE∥GF，∴△AEB∽△AFG∴ABAEAGAF，∴1061026BG∴BG＝103【点拨】构造等腰三角形的三线合一，同时也构造了直径所对的圆周角是直角，借三线合一、中位线的知识证明切线，联系锐角三角函数，勾股定理，并运用圆内接四边形的外角等于内对角，三线合一找边等角等是关键。DEFOGCBADEFOGCBA图7-1（备用图）图a图2EDOCFBA【变式运用】1．（2016·四川乐山）如图13，在ABC中，ABAC,以AC边为直径作⊙O交BC边于点D,过点D作DEAB于点E，ED、AC的延长线交于点F.（1）求证：EF是⊙O的切线；（2）若32EB,且3sin5CFD,求⊙O的半径与线段AE的长.（1）证明：如图2所示，连结OD，∵ABAC，∴BACD.∵OCOD，∴ODCOCD.∴BODC，∴OD∥AB.∵DEAB，∴ODEF.∴EF是⊙O的切线.（2）在RtODF和RtAEF中，∵3sin5CFD，∴35ODAEOFAF.设3ODx，则5OFx.∴6ABACx，8AFx.∵32EB，∴362AEx.∴363285xx，解得x＝54，∴⊙O的半径长为154，AE＝6.2.(2016·贵州毕节)如图，在△ABC中，D为AC上一点，且CD＝CB，以BC为直径作⊙O，交BD于点E，连接CE，过D作DF⊥AB于点F，∠BCD＝2∠ABD．（1）求证：AB是⊙O的切线；（2）若∠A＝60°，DF＝，求⊙O的直径BC的长．图7-2图b图7-3证明：(1)∵CB＝CD∴∠CBD＝∠CDB，又∵∠CEB＝90°∴∠CBD＋∠BCE＝∠CDE＋∠DCE∴∠BCE＝∠DCE且∠BCD＝2∠ABD∴∠ABD＝∠BCE∴∠CBD＋∠ABD＝∠CBD＋∠BCE＝90°∴CB⊥AB垂足为B又∵CB为直径∴AB是⊙O的切线.(2)∵∠A＝60°，DF＝3∴在Rt△AFD中得出AF＝1在Rt△BFD中得出DF＝3∵∠ADF＝∠ACB，∠A＝∠A∴△ADF∽△ACB∴CBDFABAF即CB341解得：CB＝43[来源3.（2018·四川攀枝花）如图，在△ABC中，AB＝AC，以AB为直径的⊙O分别与BC、AC交于点D、E，过点D作DF⊥AC于点F．（1）若⊙O的半径为3，∠CDF＝15°，求阴影部分的面积；（2）求证：DF是⊙O的切线；（3）求证：∠EDF＝∠DAC．（1）解：连接OE，过O作OM⊥AC于M，则∠AMO＝90°．∵DF⊥AC，∴∠DFC＝90°．∵∠FDC＝15°，∴∠C＝75°．∵AB＝AC，∴∠ABC＝∠C＝75°，∴∠BAC＝30°，∴OM＝OA＝＝，AM＝OM＝．∵OA＝OE，OM⊥AC，∴AE＝2AM＝3，∴∠BAC＝∠AEO＝30°，∴∠AOE＝180°﹣30°﹣30°＝120°，图c图7-4∴阴影部分的面积S＝S扇形AOE﹣S△AOE＝﹣＝3π﹣；（2）证明：连接OD，∵AB＝AC，OB＝OD，∴∠ABC＝∠C，∠ABC＝∠ODB，∴∠ODB＝∠C，∴AC∥OD．∵DF⊥AC，∴DF⊥OD．∵OD过O，∴DF是⊙O的切线；（3）证明：连接BE，∵AB为⊙O的直径，∴∠AEB＝90°，∴BE⊥AC．∵DF⊥AC，∴BE∥DF，∴∠FDC＝∠EBC．∵∠EBC＝∠DAC，∴∠FDC＝∠DAC．∵A、B、D、E四点共圆，∴∠DEF＝∠ABC．∵∠ABC＝∠C，∴∠DEC＝∠C．∵DF⊥AC，∴∠EDF＝∠FDC，∴∠EDF＝∠DAC．图d图e