中考数学专题复习-圆压轴八大模型题(6)-圆外一点引圆的切线和直径的垂线

圆压轴题八大模型题（六）泸州市七中佳德学校易建洪引言：与圆有关的证明与计算的综合解答题，往往位于许多省市中考题中的倒数第二题的位置上，是试卷中综合性与难度都比较大的习题。一般都会在固定习题模型的基础上变化与括展，本文结合近年来各省市中考题，整理了这些习题的常见的结论，破题的要点，常用技巧。把握了这些方法与技巧，就能台阶性地帮助考生解决问题。类型5圆外一点引圆的切线和直径的垂线如图，点P是⊙O外的一点，过点P作PA与⊙O相切于点A，PO⊥BO于点O，交AB于点C.(1)求证：CP＝AP；(2)延长BO交⊙O于点D，连结AD，过点P作PE⊥AB于点E，找出与△BOC相似的三角形.(3)若⊙O的半径为5，OC＝1，求PA的长.【分析】(1)如图3连接OA得OA＝OB,∴∠OAB＝∠B,由等角的余角相等得∠PCA＝∠PAC,∴PC＝PA.(2)由∠APE＝∠CPE＝∠B得：△BOC∽△BAD∽△PCE≌△PAE.(3)在Rt△OPA中，设PC＝PA＝x，则有（x＋1）2＝1＋x2.解得PA＝x＝2.基本图形及其变式图1.如图1~6，PA与圆O相切于点A，PD⊥BO（或BO的延长线）于点D，直线AB与PD相交于点C，求证：PA＝PC.OPCBAEDABCPOOPCBADEOPCBADEPAOCB图1图(1)图3图(2)图(3)图2DEABCPO【典例】（2018湖北随州）如图，AB是⊙O的直径，点C为⊙O上一点，CN为⊙O的切线，OM⊥AB于点O，分别交AC、CN于D、M两点．（1）求证：MD＝MC；（2）若⊙O的半径为5，AC＝4，求MC的长．【分析】（1）连接OC，利用切线的性质证明即可；（2）根据相似三角形的判定和性质以及勾股定理解答即可．解：（1）连接OC，∵CN为⊙O的切线，∴OC⊥CM，∠OCA＋∠ACM＝90°，∵OM⊥AB，∴∠OAC＋∠ODA＝90°，∵OA＝OC，∴∠OAC＝∠OCA，∴∠ACM＝∠ODA＝∠CDM，∴MD＝MC；（2）由题意可知AB＝5×2＝10，AC＝4，∵AB是⊙O的直径，∴∠ACB＝90°，∴BC＝，∵∠AOD＝∠ACB，∠A＝∠A，∴△AOD∽△ACB，∴，即，可得：OD＝2.5，设MC＝MD＝x，在Rt△OCM中，由勾股定理得：（x＋2.5）2＝x2＋52，解得：x＝，即MC＝．EDABCPOOPCBA(D)EEDABCPO图(4)图(5)图(6)图6-1图a【点拨】连半径，造等腰三角形，借等角的余角相等再证边等。由切线的性质、直径所对的圆周角是直角以及等腰三角形三线合一找直角三角形、等腰三角形、相似三角形，运用比例线段、勾股定理和相似三角形面积关系解决问题.【变式运用】1．(2018江苏连云港)如图，AB是⊙O的弦，点C在过点B的切线上，且OC⊥OA，OC交AB于点P，已知∠OAB＝22°，则∠OCB＝___44°___．2.（2016•兰州）如图，△ABC是⊙O的内接三角形，AB是⊙O的直径，OD⊥AB于点O，分别交AC、CF于点E、D，且DE＝DC．（1）求证：CF是⊙O的切线；（2）若⊙O的半径为5，BC＝，求DE的长．证明：连接OC，∵OA＝OC，∴∠A＝∠OCA，∵OD⊥AB，∴∠A＋∠AEO＝90°，∵DE＝DC，∴∠DEC＝∠DCE，∵∠AEO＝∠DEC，∴∠AEO＝∠DCE，∴∠OCE＋∠DCE＝90°，∴∠OCF＝90°，∴OC⊥CF，∴CF是⊙O切线．（2）作DH⊥AC于H，则∠EDH＝∠A，∵DE＝DC，∴EH＝HC＝12EC，∵⊙O的半径为5，BC＝10，∴AB＝10，AC＝310，∵△AEO∽△ABC，∴AOAEACAB，∴AE＝5105103310，∴EC＝AC﹣AE＝4103，∴EH＝12EC＝2103，∵∠EDH＝∠A，∴sin∠A＝sin∠EDH，图6-2图b图6-3∴BCEHABDE，∴DE＝ABEHBC＝210102033103.如图，已知直线l与⊙O相离，OA⊥l于点A，OA＝5，OA与⊙A相交于点P，AB与⊙O相切于点B，BP的延长线交直线l于点C.（1）试判断线段AB与AC的数量关系，并说明理由；（2）若PC＝25，求⊙O的半径和线段PB的长；（3）若⊙O上存在点Q，使△QAC是以AC为底边的等腰三角形，求⊙O的半径r的取值范围.解：（1）AB＝AC．理由如下：如图c，连接OB，∵AB切⊙O于B，OA⊥AC，∴∠OBA＝∠OAC＝90°，∴∠OBP＋∠ABP＝90°，∠ACP＋∠CPA＝90°，∵OP＝OB，∴∠OBP＝∠OPB．∵∠OPB＝∠APC，∴∠ACP＝∠ABC，∴AB＝AC．（2）如图d，延长AP交⊙O于D，连接BD，设圆半径为r，则由OA＝5得，OP＝OB＝r，PA＝5－r．又∵PC＝25，∴AB2＝OA2－OB2＝52－r2，AC2＝PC2－PA2＝（25）2－（5－r）2，∵由（1）知AC＝AB，∴52－r2＝（25）2－（5－r）2，解得：r＝3，即⊙O的半径是3；∴AB＝AC＝4.∵PD是直径，∴∠PBD＝90°＝∠PAC.∵∠DPB＝∠CPA,∴△DPB∽△CPA.∴CPAPPDBP,即2526BP,解得PB＝655.（3）作线段AC的垂直平分线MN，作OE⊥MN，则OE＝12AC＝12AB＝12225r．图d图c图6-4又∵圆O要与直线MN有唯一交点，∴OE＝12225r≤r，∴r≥5，又∵圆O与直线l相离，∴r＜5.∴⊙O的半径r的取值范围为5≤r＜5.4.(2018·湖北黄冈)如图，AD是⊙O的直径，AB为⊙O的弦，OPAD，OP与AB的延长线交于点P，过B点的切线交OP于点C.（1）求证：CBPADB.（2）若2OA，1AB，求线段BP的长.证明：（1）连接OB，则OB⊥BC，90OBDDBC，又AD为直径，90DBPDBCCBP，∴OBDCBP又ODOB，OBDODB；∴ODBCBP，即ADBCBP（2）解：在RtADB和RtAPO中，DABPAO，RtADBRtAPO∽1AB，2AO，4AD，ABADAOAP，8AP,7BP.图e图6-5PDABCO图fPDABCO