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§7相关性如图：两个图像中的两个变量具有什么样的关系？1.函数是研究两个变量之间的依存关系的一种数量形式.对于两个变量，如果当一个变量的取值一定时，另一个变量的取值被唯一确定，则这两个变量之间的关系就是一个函数关系.如：（1）正方形的边长a和面积S，有着S=a2的关系；（2）真空中做自由落体运动的物体，其下落的距离h和下落的时间t有着h=gt2的关系.122.在中学校园里，有这样一种说法：“如果你的数学成绩好，那么你学习物理就不会有什么大问题.”按照这种说法，似乎学生的物理成绩与数学成绩之间存在着某种关系，我们把数学成绩和物理成绩看成是两个变量，那么这两个变量之间的关系是函数关系吗？3.我们不能通过一个人的数学成绩是多少就准确地断定其物理成绩能达到多少，学习兴趣、学习时间、教学水平等，也是影响物理成绩的一些因素，但这两个变量是有一定关系的，它们之间是一种不确定性的关系.类似于这样的两个变量之间的关系，有必要从理论上进行一些探讨，如果能通过数学成绩对物理成绩进行合理估计，将有着非常重要的现实意义.1．通过收集现实问题中两个变量的数据作出散点图，利用散点图直观认识变量间的相关关系．(重点)2．经历用不同的估算方法来描述两个变量线性相关的过程．(难点)探究点1变量之间的相关关系思考1：考察下列问题中两个变量之间的关系：（1）商品销售收入与广告支出经费；（2）粮食产量与施肥量；（3）人体内的脂肪含量与年龄.这些问题中两个变量之间的关系是函数关系吗？提示：不是函数关系思考2：“名师出高徒”可以解释为教师的水平越高，学生的水平就越高，那么学生的学业成绩与教师的教学水平之间的关系是函数关系吗？你能举出类似的描述生活中两个变量之间的这种关系的成语吗？生活中还有很多类似的描述这种相关关系的成语，如：“虎父无犬子”“瑞雪兆丰年”等.提示：不是函数关系.思考3：上述两个变量之间的关系是一种非确定性关系，称之为相关关系，那么相关关系的含义如何？提示：自变量取值一定时，因变量的取值带有一定随机性的两个变量之间的关系，叫作相关关系.例如，由人的身高并不能确定体重，但一般说来“身高越高，体重越重”，我们说身高与体重这两个变量具有相关关系.常见的变量与变量之间的关系有两类：一类是确定性的函数关系，像正方形的边长a和面积S的关系；另一类是相关关系，但不具备函数关系所要求的确定性，它们的关系是带有随机性的.探究点2散点图【问题】在一次对人体脂肪含量和年龄关系的研究中，研究人员获得了一组样本数据：年龄23273941454950脂肪9.517.821.225.927.526.328.2其中各年龄对应的脂肪数据是这个年龄人群脂肪含量的样本平均数.年龄53545657586061脂肪29.630.231.430.833.535.234.6思考1：对某一个人来说，他体内的脂肪含量不一定随年龄的增长而增加或减少，但是如果把很多个体放在一起，就可能表现出一定的规律性.观察上表中的数据，大体上看，随着年龄的增加，人体脂肪含量怎样变化？提示：根据上表中的数据，大体上看，随着年龄的增加，人体脂肪含量呈增加趋势.思考2：为了确定年龄和人体脂肪含量之间的更明确的关系，我们需要对数据进行分析，通过作图可以对两个变量之间的关系有一个直观的认识.以x轴表示年龄，y轴表示脂肪含量，你能在直角坐标系中描出样本数据对应的图形吗？思考3：上图叫作散点图，你能描述一下散点图的含义吗？提示：在考虑两个变量的关系时，为了对变量之间的关系有一个大致的了解，人们通常将变量所对应的点描出来，这些点就组成了变量之间的一个图，通常称这种图为变量之间的散点图.思考1：观察探究点2中散点图的大致趋势，人的年龄与人体脂肪含量具有什么相关关系？提示：根据人的年龄与人体脂肪含量的散点图，从整体上看，它们是线性相关的.探究点3两个变量之间的关系由上面的散点图可以看出，这些点散布在从左下角到右上角的区域，对于两个变量的这种相关关系，我们将它称为正相关.什么是负相关？思考2：一般地，如果两个变量成正相关，那么从整体上看，这两个变量的变化趋势如何？提示：从整体上看，自变量增加时，因变量呈增加趋势.提示：一个变量随另一个变量的变大而变小，散点图中的点散布在从左上角到右下角的区域.这就像函数中的减函数.即一个变量从小到大，另一个变量从大到小.思考3：如果两个变量成负相关，从整体上看这两个变量的变化趋势如何？其散点图有什么特点？思考4：你能列举一些生活中的变量成正相关或负相关的实例吗?提示：在一定范围内，粮食产量与施肥量之间呈正相关；汽车的重量和汽车每消耗1L汽油所行驶的平均路程呈负相关.提升总结：相关关系与函数关系的异同点：（1）相同点：两者均是指两个变量的关系;（2）不同点：相关关系是一种非确定的关系，如一块农田的水稻产量与施肥量之间的关系，事实上，函数关系是两个非随机变量的关系，而相关关系是非随机变量与随机变量的关系.函数关系是一种因果关系，而相关关系不一定是因果关系，也可能是伴随关系.思考5：如何分析变量之间是否具有相关的关系？提示：分析变量之间是否具有相关的关系，我们可以借助日常生活和工作经验对一些常规问题进行定性分析，如儿童的身高随着年龄的增长而增长，但它们之间又不存在一种确定的函数关系，因此它们之间是一种非确定性的随机关系，即相关关系.但仅凭这种定性分析不够，一来定性分析有时会给我们以误导,二来定性分析无法确定变量之间相互影响的程度有多大.因此，我们还需要进行定量分析.如何进行定量分析呢？由于变量间的相关关系是一种随机关系，因此，我们只能借助统计这一工具来解决问题，也就是通过收集大量数据，在对数据进行统计分析的基础上，发现其中的规律，并对它们之间的关系作出推断.曲线拟合从散点图上可以看出，如果变量之间存在着某种关系，这些点会有一个集中的大致趋势，这种趋势通常可以用一条光滑的曲线来近似，这样近似的过程称为曲线拟合.家庭年收入/万元从图中可以看出家庭年收入和年饮食支出之间具有相关关系，而且是线性相关的.年饮食支出/万元例一般说来，一个人的身高越高，他的手就越大，相应地，他的右手一拃长就越长，因此，人的身高与右手一拃长之间存在着一定的关系.为了对这个问题进行调查，我们收集了北京市某中学2003年高三年级96名学生的身高与右手一拃长的数据如课本48—49页表所示.（1）根据课本表中的数据，制成散点图.你能从散点图中发现身高与右手一拃长之间的近似关系吗？（2）如果近似成线性关系，请画出一条直线来近似地表示这种线性关系.（3）如果一个学生的身高是188cm，你能估计他的右手一拃大概有多长吗？【思考交流】根据表中的数据，制成的散点图如下图所示：同学甲说：我从左端点开始，取两条直线，如下图.再取这两条直线的“中间位置”作一条直线.根据我的想法，一个身高188cm的学生，他的右手一拃长大概为21cm.女生同学乙说：这样做不准确.我先求出相同身高同学右手一拃长的平均数，画出散点图，如下图，再画出近似的直线，使得在直线两侧的点数尽可能一样多.根据我的想法，一个身高188cm的学生，他的右手一拃长大概为22cm.同学丙说：我先将所有的点分成两部分，一部分是身高在170cm以下的，一部分是身高在170cm以上的；然后，每部分的点求一个“平均点”——身高的平均值作为平均身高，右手一拃长的平均数作为平均右手一拃长，即（164，19），（177，21）；最后，将这两点连接成一条直线.同学丁说：我先将所有的点按横坐标从小到大的顺序进行排列，尽可能地平均分成三等份；每部分的点按照同学丙的方法求一个“平均点”，“最小点”为（161.3，18.2），“中间点”为（170.5，20.1），“最大点”为（179.2，21.3）.求出这三个点的“平均点”为（170.3，19.9）.我再用直尺连接“最大点”与“最小点”，然后平行地推，画出过“平均点”（170.3，19.9）的直线（如图）.在这里需要强调的是,身高和右手一拃长之间没有函数关系.我们得到的直线方程，只是对其变化趋势的一个近似描述.对一个给定身高的人，人们可以用这种方法来估计这个人的右手的一拃长，这是十分有意义的.1.下列关系中，是相关关系的为()①学生的学习态度与学习成绩之间的关系；②教师的执教水平与学生的学习成绩之间的关系；③学生的身高与学生的学习成绩之间的关系；④家庭的经济条件与学生的学习成绩之间的关系.A.①②B.①③C.②③D.②④A2.某农场经过观测得到水稻产量和施化肥量的统计数据如下：施化肥量x15202530354045水稻产量y330345365405445450455画出散点图，判断它们是否有相关关系，并考虑水稻的产量会不会随化肥使用量的增加而一直增加.解：散点图如下：xy具有相关关系.水稻的产量不会随化肥使用量的增加而一直增加.3.下表给出了某校12名高一学生的身高(单位：cm)和体重(单位：kg)的统计数据：身高151152153154156157158160160162163164体重40414141.54242.5434445454645.5画出散点图，并观察它们是否有相关关系.解：身高/cm体重/kg具有相关关系两个变量间的关系相关关系函数关系函数关系式散点图在学业的峰峦上，有汗水的溪流飞淌；在智慧的珍珠里，有勤奋的心血闪光.