-综合法与分析法习题课

2．2直接证明与间接证明2．2.1综合法与分析法综合法和分析法综合法分析法定义利用和某些数学、、等，经过一系列的，最后推导出所要证明的结论成立，这种证明方法叫做综合法从要证明的，逐步寻求使它成立的，直至最后，把要证明的结论归结为判定一个明显成立的条件(已知条件、等)，这种证明方法叫做分析法已知条件定义公理定理推理论证结论出发充分条件定理、定义、公理综合法分析法框图表示(P表示、已有的等，Q表示)特点顺推证法或由因导果法逆推证法或执果索因法已知条件定义、公理、定理所要证明的结论[例1]已知a，b，c0.求证：a3＋b3＋c3≥13(a2＋b2＋c2)(a＋b＋c)．[分析]不等式中的a，b，c为对称的，所以从基本的不等式定理入手，先考虑两个正数的均值定理，再根据不等式的性质推导出证明的结论．[证明]∵a2＋b2≥2ab，a0，b0，∴(a2＋b2)(a＋b)≥2ab(a＋b)．∴a3＋b3＋a2b＋ab2≥2ab(a＋b)＝2a2b＋2ab2.∴a3＋b3≥a2b＋ab2.同理：b3＋c3≥b2c＋bc2，a3＋c3≥a2c＋ac2.将三式相加得：2(a3＋b3＋c3)≥a2b＋ab2＋bc2＋b2c＋a2c＋ac2，∴3(a3＋b3＋c3)≥(a3＋a2b＋a2c)＋(b3＋b2a＋b2c)＋(c3＋c2a＋c2b)＝(a＋b＋c)(a2＋b2＋c2)．∴a3＋b3＋c3≥13(a2＋b2＋c2)(a＋b＋c)．[点评]1.综合法证明问题的步骤第一步：分析条件，选择方向．仔细分析题目的已知条件(包括隐含条件)，分析已知与结论之间的联系与区别，选择相关的公理、定理、公式、结论，确定恰当的解题方法．第二步：转化条件，组织过程．把题目的已知条件，转化成解题所需要的语言，主要是文字、符号、图形三种语言之间的转化．组织过程时要有严密的逻辑，简洁的语言，清晰的思路．第三步：适当调整，回顾反思．解题后回顾解题过程，可对部分步骤进行调整，并对一些语言进行适当的修饰，反思总结解题方法的选取．2．综合法证明不等式所依赖的主要是不等式的基本性质和已知的重要不等式，其中常用的有如下几个：①a2≥0(a∈R)．②(a－b)2≥0(a、b∈R)，其变形有a2＋b2≥2ab，a＋b22≥ab，a2＋b2≥(a＋b)22.③若a、b∈(0，＋∞)，则a＋b2≥ab，特别是ba＋ab≥2.④a2＋b2＋c2≥ab＋bc＋ca(a、b、c∈R)．3．综合法是一种由因索果的证明方法，其逻辑依据也是三段论式的演绎推理方法．一般问题都是用综合法解决的，要保证前提条件正确，推理合乎规律，这样才能保证结论的正确性．已知a、b、c∈R＋且a＋b＋c＝1，求证：1a－1·1b－1·1c－1≥8.[证明]∵1a－11b－11c－1＝(b＋c)(a＋c)(a＋b)abc≥2bc·2ac·2ababc＝8abcabc＝8，当且仅当a＝b＝c时等号成立，∴不等式成立.[例2]已知a0，b0，求证：ab＋ba≥a＋b.[分析]要证明上述不等式成立，暂无条件可用，这时可以从所要证明的结论出发，逐步反推，寻找使当前命题成立的充分条件，即用分析法证明．[证明]∵a0，b0，要证ab＋ba≥a＋b成立，只需证ab＋ba2≥(a＋b)2成立，即证a2b＋b2a＋2ab≥a＋b＋2ab成立．即证a3＋b3ab≥a＋b.也就是证(a＋b)(a2－ab＋b2)≥ab(a＋b)成立．即a2－2ab＋b2≥0，也就是证(a－b)2≥0成立．∵(a－b)2≥0恒成立，∴ab＋ba≥a＋b.[点评](1)分析法证明不等式的依据是不等式的基本性质、已知的重要不等式和逻辑推理的基本理论；(2)分析法证明不等式的思维是从要证的不等式出发，逐步寻求使它成立的充分条件，最后得到的充分条件是已知(或已证)的不等式；(3)用分析法证明数学命题时，一定要恰当地用好“要证”、“只需证”、“即证”等词语．当a≥2时，求证a＋1－aa－1－a－2.[证明]要证a＋1－aa－1－a－2，只需证a＋1＋a－2a＋a－1，只需证(a＋1＋a－2)2(a＋a－1)2，只需证a＋1＋a－2＋2(a＋1)(a－2)a＋a－1＋2a(a－1)，只需证(a＋1)(a－2)a(a－1)，只需证(a＋1)(a－2)a(a－1)，即证－20，而－20显然成立，所以a＋1－aa－1－a－2成立.[例3]△ABC的三个内角A、B、C成等差数列，A、B、C的对边分别为a、b、c.[分析]条件与结论跨越较大，不易下手，可考虑用分析法证明；由于分析法是执果索因，逐步寻找成立的充分条件，因此分析法的倒退过程就是综合法．求证：1a＋b＋1b＋c＝3a＋b＋c.只需证c(b＋c)＋a(a＋b)＝(a＋b)(b＋c)，需证c2＋a2＝ac＋b2，又△ABC三内角A、B、C成等差数列，故B＝60°，[证明]分析法：要证1a＋b＋1b＋c＝3a＋b＋c，即证a＋b＋ca＋b＋a＋b＋cb＋c＝3，也就是ca＋b＋ab＋c＝1，由余弦定理，有b2＝c2＋a2－2accos60°，即b2＝c2＋a2－ac，故c2＋a2＝ac＋b2得证．综合法：证明：∵△ABC三内角A、B、C成等差数列，∴B＝60°.由余弦定理，有b2＝c2＋a2－2cacos60°，得c2＋a2＝ac＋b2，等式两边同时加上ab＋bc得c(b＋c)＋a(a＋b)＝(a＋b)(b＋c)，等式两边同除以(a＋b)(b＋c)得，ca＋b＋ab＋c＝1，∴ca＋b＋1＋ab＋c＋1＝3，即1a＋b＋1b＋c＝3a＋b＋c.[点评]综合法和分析法各有优缺点．从寻找解题思路来看，综合法由因导果，往往枝节横生，不容易奏效；分析法执果索因，常常根底渐近，有希望成功，就表达证明过程而论，综合法形式简洁，条理清晰；分析法叙述繁琐，文辞见长．也就是说分析法利于思考，综合法宜于表述．因此，在实际解题时，常常把分析法和综合法结合起来运用，先以分析法为主导求解题思路，再用综合法有条理地表述解答或证明过程．求证：logn(n＋1)logn＋1(n＋2)(n≥2)．[证明]分析法：要证logn(n＋1)logn＋1(n＋2)只需证明1logn＋1nlogn＋1(n＋2)∵logn＋1n0∴只需证logn＋1n·logn＋1(n＋2)1.∵logn＋1n·logn＋1(n＋2)logn＋1n＋logn＋1(n＋2)22＝logn＋1[n(n＋2)]22∴只需证logn＋1[n(n＋2)]21即logn＋1[n(n＋2)]logn＋1(n＋1)2∴也就是证n(n＋2)(n＋1)2，这是显然成立的．∴原不等式成立．综合法：logn(n＋1)－logn＋1(n＋2)＝lg(n＋1)lgn－lg(n＋2)lg(n＋1)＝lg2(n＋1)－lgn·lg(n＋2)lgnlg(n＋1)∵n(n＋2)(n＋1)2∴lg[n(n＋2)]lg(n＋1)2∵lgnlg(n＋2)lgn＋lg(n＋2)22＝lgn(n＋2)22lg(n＋1)222＝lg2(n＋1)∴logn(n＋1)－logn＋1(n＋2)0∴logn(n＋1)logn＋1(n＋2)．[例4]如果ab，ab＝1，求证：a2＋b2≥22(a－b)，并指明何时取“＝”号．[分析]先用分析法将所证不等式转化为易证的等价式子，再用综合法进行证明．[解析]因为ab，a－b0，所以欲证a2＋b2≥22(a－b)．只需证a2＋b2a－b≥22.因为ab，所以a－b0，又知ab＝1，所以a2＋b2a－b＝a2＋b2－2ab＋2aba－b＝(a－b)2＋2a－b＝(a－b)＋2a－b≥2(a－b)·2a－b＝22.所以a2＋b2a－b≥22，即a2＋b2≥22(a－b)．当且仅当a－b＝2a－b，即a－b＝2时，取等号．(2)在解决问题时，我们经常把综合法和分析法结合起来使用，根据条件的结构特点去转化结论，得到中间结论Q；根据结论的结构特点去转化条件，得到中间结论P，若由P可以推出Q成立，就可以证明结论成立．一般情况下，用分析法寻找思路，用综合法完成证明．[点评](1)本题证明的前半部分用分析法，要证结论成立，只需证a2＋b2a－b≥22，后半部分用综合法证明了a2＋b2a－b≥22.已知a，b是不等正数，且a3－b3＝a2－b2，求证：1a＋b43.[证明]∵a3－b3＝a2－b2且a≠b，∴a2＋ab＋b2＝a＋b，由(a＋b)2＝a2＋2ab＋b2a2＋ab＋b2得(a＋b)2a＋b，又a＋b0，∴a＋b1，要证a＋b43，即证3(a＋b)4，∵a＋b0，∴只需证明3(a＋b)24(a＋b)，又a＋b＝a2＋ab＋b2即证：3(a＋b)24(a2＋ab＋b2)也就是证明(a－b)20因为a，b是不等正数，故(a－b)20成立．故a＋b43成立．综上，得1a＋b43.一、选择题1．用分析法证不等式：欲证①AB，只需证②CD，这里①是②的()A．既不充分也不必要条件B．充要条件C．充分条件D．必要条件[答案]D[解析]∵②⇒①，但①不一定推出②.故应选D.[答案]B[解析]因为a2＋b2≥2ab，a2＋c2≥2ac，b2＋c2≥2bc，将三式相加得2(a2＋b2＋c2)≥2ab＋2ac＋2bc，即a2＋b2＋c2≥1.又因为(a＋b＋c)2＝a2＋b2＋c2＋2ab＋2ac＋2bc，所以(a＋b＋c)2≥1＋2×1＝3，B成立．故应选B.2．若a，b，c∈R，且ab＋bc＋ac＝1，则下列不等式成立的是()A．a2＋b2＋c2≥2B．(a＋b＋c)2≥3C.1a＋1b＋1c≥23D．abc(a＋b＋c)≤133．设a，b，c∈R，且a，b，c不全相等，则不等式a3＋b3＋c3≥3abc成立的一个充要条件是()A．a，b，c全为正数B．a，b，c全为非负实数C．a＋b＋c≥0D．a＋b＋c0[答案]C[解析]a3＋b3＋c3－3abc＝(a＋b＋c)(a2＋b2＋c2－ab－ac－bc)＝(a＋b＋c)[(a－b)2＋(b－c)2＋(c－a)2]而a，b，c不全相等⇔(a－b)2＋(b－c)2＋(c－a)20，故a3＋b3＋c3≥3abc⇔a＋b＋c≥0.故应选C.二、填空题4．若0a1,0b1，且a≠b，则在a＋b,2ab，a2＋b2和2ab中最大的是________．[答案]a＋b[解析]已知a＋b＞2ab，a2＋b22ab，又a＋b－(a2＋b2)＝a(1－a)＋b(1－b)＞0.也可用特值法取a＝12，b＝18，则a＋b＝58，2ab＝12，a2＋b2＝1764，2ab＝18，显见a＋b最大，故只能是填a＋b.[答案]acb5．设a＝2，b＝7－3，c＝6－2，则a、b、c的大小关系为________．[解析]∵a、b、c都是正数，又a2－c2＝2－(8－43)＝43－6＝48－36＞0，∴a＞c.∵cb＝6－27－3＝7＋36＋2＞1，∴c＞b.三、解答题6．已知a，b，c为不全相等的正实数，求证：b＋c－aa＋c＋a－bb＋a＋b－cc3.[证明]左边＝ba＋ab＋cb＋bc＋ac＋ca－3，因a，b，c为不全相等的正实数，所以ba＋ab≥2，cb＋bc≥2，ac＋ca≥2，且上述三式的等号不能同时成立．所以ba＋ab＋cb＋bc＋ac＋ca－36－3＝3.即b＋c－aa＋c＋a－bb＋a＋b－cc3.