第三章---调和方程

第三章调和方程第一节位势方程的导出和定解条件一、位势方程的导出：调和方程：泊松方程：2222220.(3.1)uuuuxyz222222(,,).(3.2)uuuufxyzxyz调和方程的连续解，即具有关于变量的二阶连续偏导数，且满足方程（3.1）的连续函数解。调和函数：,,xyz二、定解条件（边界条件）与定解问题边界条件：1、第一边界条件（Dirichlet边界条件）为已知函数。(,,)gxyz(,,),(,,),(1.4)ugxyzxyz()2、第二边界条件（Neumann边界条件）(,,),(,,),(1.5)ugxyzxyzn3、第三边界条件(D-N混合边界条件)(,,),(,,),0,(1.6)uugxyzxyzn定解问题：内问题与外问题第一、第二、第三边值问题也叫狄立克雷(Dirichlet)问题、诺伊曼(Neumann)问题和罗宾(Robin)问题内问题：若只在一个有界区域的内部求解边值问题，则称相应的问题为内问题。外问题：若在一个有界区域的外部求解边值问题，则称相应的问题为外问题。注区域为无界区域，即区域为某个闭曲面或闭曲线的外部区域，则相应的定解问题称为外问题。一般来说，讨论外问题时，需要对解在无穷远处的性质加以限制。主要的目的：保证外问题解的唯一性。例设是以原点为球心的单位球面的外部区域，对于问题0,(,,);|1uxyzu显然11u22221uxyz和都是解2、Neumann外问题：1、Dirichlet外问题：注：讨论调和方程的外问题时，为了保证解的唯一性，需要对解在无穷远处的性质加以限制222(,,),(,,),(,,),(,,),lim(,,)0,.rufxyzxyzugxyzxyzuxyzrxyz222(,,),(,,),(,,),(,,),lim(,,)0,.rufxyzxyzugxyzxyznuxyzrxyz三维情形要求解在无穷远处趋于零，二维情形要求解在无穷远处有界！为某有界区域的外部三、变分原理(,,),(,,),(1.7)0.ufxyzxyzu考虑齐次Dirichlet内问题：考虑集合：总位能：210{()()|0}.VvCCu2221().2xyzJuuuufudxdydz定理1.1：如果满足(1.9)的函数存在，则它0uV满足定解问题(1.7)；反之，若是(1.7)的属于的解，则必满足变分问题(1.9)。0()min(),(1.9)vVJuJv变分问题：u0V四、能量方法()(),,(1.10)0.ucxufxxu设是定解问题的古典解u其中则0()0,cxc222001||.22cudxudxfdxc五、分离变量法考虑矩形区域的边值问题0,(,),(0,)(,)0,0,(,0)0,(,)(),0,xxyyuuxyuyuayybuxuxbfxxa[0,][0,]ab问题的解：1(,)()sin,kkaayykkkuxtAeexa其中02()sin.()kkaaakyykAfxxdxaaee第二节格林公式及其应用一、格林（Green）公式[cos(,)cos(,)cos(,)].(2.1)PQRdxyzPnxQnyRnzdS引理2.1：21,()(),uvCC3R设具有光滑边界，函数则有，.(2.2)vuvdudSuvdn().(2.3)vuuvvuduvdSnnGreen第一公式Green第二公式推论2.1：设为调和函数，则,uv0.(2.4)vuuvdSnn推论2.2：设在以曲面所围成的区域内调和，则u0.(2.5)udSn推论2.3：诺伊曼边值问题0,(,,),(,,),(,,)uxyzufxyzxyzn(,,)0.(2.6)fxyzdSf有解的必要条件是满足引理2.2：u在设具有光滑边界，函数内二次连续可微且调和，则3R0,M000111()()()(2.7)4MMMMMuMuMuMdSnrrn022200000000()()(),(,,),(,,).MMrxxyyzzMMxyzMMxyz定理2.1：设在某个区域内调和，则()uM0,M021()().(2.8)4aMuMuMdSa二、平均值公式0,,()aBMa三、极值原理定理2.2：对不恒等于零的调和函数，其在区域的任何内点上的值不可能达到它在上的上界或下界。(,,)uxyz设在内调和，在上连续，minmin.uu推论2.4：u则成立，maxmax,uu推论2.5：（比较原理）,uv则在上有0,,uvuv且.uv设上连续，四、第一边值问题解的唯一性及稳定性0,(,,),(,,),(,,).uxyzufxyzxyz定理2.3调和方程的狄立克雷内问题的解如果存在，则它必是唯一的，且连续依赖于所给的边界条件f0,(,,),1,(,,).uxyzuxyz练习：试证明调和方程的狄立克雷内问题存在唯一解1u2220,(,,),(,,),(,,)(,,)0,.limruxyzufxyzxyzuxyzrxyz定理2.4调和方程的狄立克雷外问题的解如果存在，则它必是唯一的。000111()()()(3.1)4MMMMMuMuMuMdSnrrn第二节格林函数001(,).(3.2)4MMgMMr0()()()(3.3)MuMGuMGuMdSnn001(,).(3.4)4MMGgMMr其中取则：0()(3.5)MGuMfdSn如果则,uf性质1、0,G除了外处处满足调和方程0(,)GMM0MM且0,MM0(,).GMM性质2、0(,)0.GMM性质3、0010(,).4MMGMMr性质4、1221(,)(,).GMMGMM性质5、0(,)1.MGMMdSn