3整式及因式分解

第3课时整式及因式分解第3课时┃整式及因式分解考点聚焦考点聚焦归类探究回归教材考点1整式的概念整式内容单项式多项式定义都是数与字母的______的代数式叫做单项式，单独的一个数或一个字母也是单项式几个单项式的______叫做多项式次数单项式中所有字母的指数的和叫做这个单项式的次数多项式中，次数最高项的次数，叫做这个多项式的次数系数单项式中的数字因数叫做单项式的系数项多项式中每个单项式叫做多项式的项乘积和第3课时┃整式及因式分解考点2同类项、合并同类项1．同类项：所含字母________，并且相同字母的指数也分别______的项叫做同类项，几个常数项是同类项．2．合并同类项：把多项式中的同类项合并成一项叫做合并同类项，合并同类项后，所得项的系数是合并前各同类项的系数的和，且字母部分不变．防错提醒：同类项与系数无关，也与字母的排列顺序无关，如－7xy与yx是同类项．只有同类项才能合并，如x2+x3不能合并．相同相同考点聚焦归类探究回归教材考点3整式的运算类别法则整式的加减整式的加减实质就是________________．一般地，几个整式相加减，如果有括号就先去括号，再合并同类项同底数幂相乘am·an＝________(m，n都是整数)幂的乘方(am)n＝________(m，n都是整数)积的乘方(ab)n＝________(n为整数)幂的运算同底数幂相除am÷an＝________(a≠0，m，n都为整数)合并同类项am＋namnanbnam－n第3课时┃整式及因式分解考点聚焦归类探究回归教材单项式与单项式相乘单项式与多项式相乘：m(a＋b＋c)＝ma＋mb＋mc整式的乘法多项式与多项式相乘：(m＋n)(a＋b)＝ma＋mb＋na＋nb单项式除以单项式整式的除法多项式除以单项式平方差公式(a＋b)(a－b)＝__________完全平方公式(a±b)2＝______________乘法公式常用恒等变形(1)a2＋b2＝(a＋b)2－2ab＝(a－b)2＋2ab(2)(a－b)2＝(a＋b)2－4aba2±2ab＋b2a2－b2第3课时┃整式及因式分解考点聚焦归类探究回归教材第3课时┃整式及因式分解考点4因式分解的概念因式分解：把一个多项式化为几个________的形式，叫做把这个多项式因式分解．注意：(1)因式分解专指多项式的恒等变形；(2)因式分解的结果必须是几个整式的积的形式；(3)因式分解与整式乘法互为逆运算．整式的积考点聚焦归类探究回归教材第3课时┃整式及因式分解考点5因式分解的基本方法公因式一个多项式各项都含有的因式，叫做这个多项式各项的公因式提取公因式法ma＋mb＋mc＝______________平方差公式a2－b2＝______________完全平方公式a2＋2ab＋b2＝____________，a2－2ab＋b2＝____________运用公式法二次三项式x2＋(p＋q)x＋pq＝__________因式分解的一般步骤一提(提取公因式)；二套(套公式法).一直分解到不能分解为止m(a＋b＋c)(a＋b)(a－b)(a＋b)2(a－b)2(x＋p)(x＋q)考点聚焦归类探究回归教材探究一同类项归类探究第3课时┃整式及因式分解命题角度：1．单项式、多项式的概念；2．同类项的概念；3．由同类项的概念通过列方程(组)求解同类项的指数中字母的值．考点聚焦归类探究回归教材第3课时┃整式及因式分解例1[2013·凉山州]如果单项式－xa＋1y3与12ybx2是同类项，那么a，b的值分别为()A．a＝2，b＝3B．a＝1，b＝2C．a＝1，b＝3D．a＝2，b＝2C解析解析∵－xa＋1y3与12ybx2是同类项，∴a＋1＝2，b＝3，∴a＝1，b＝3.故选C.考点聚焦归类探究回归教材第3课时┃整式及因式分解方法点析(1)同类项必须符合两个条件：①所含字母相同；②相同字母的指数相同．两者缺一不可．(2)根据同类项相同字母的指数相同列方程(组)是解此类题的一般方法．考点聚焦归类探究回归教材命题角度：1．整式的加减乘除运算；2．乘法公式．探究二整式的运算第3课时┃整式及因式分解考点聚焦归类探究回归教材第3课时┃整式及因式分解例2[2014·山西]下列运算正确的是()A．3a2＋5a2＝8a4B．a6·a2＝a12C．(a＋b)2＝a2＋b2D．(a2＋1)0＝1D解析解析3a2＋5a2＝8a2，而不是8a4，所以A选项错误；B选项根据同底数幂的乘法法则，指数相加，应为8，所以B选项错误；C选项(a＋b)2展开为a2＋2ab＋b2，而不是a2＋b2，所以C选项错误；a2＋1≠0，(a2＋1)0＝1成立，所以D选项正确，故选择D.考点聚焦归类探究回归教材第3课时┃整式及因式分解失分盲点套用整式运算法则时“张冠李戴”此类问题容易出错的地方是：①合并同类项时相同字母的指数相加；②同底数幂相乘时指数也相乘；③受积的乘方公式的影响，认为(a＋b)2＝a2＋b2正确．考点聚焦归类探究回归教材第3课时┃整式及因式分解变式题[2014·常州]下列运算正确的是()A．a·a3＝a3B．(ab)3＝a3bC．(a3)2＝a6D．a8÷a4＝a2C解析解析A选项：同底数幂相乘a·a3＝a4≠a3，所以A错误；B选项：积的乘方(ab)3＝a3b3≠a3b，所以B错误；D选项：同底数幂相除a8÷a4＝a8－4＝a4≠a2，所以D错误．故选择C.考点聚焦归类探究回归教材第3课时┃整式及因式分解例3[2014·盐城]先化简，再求值：(a＋2b)2＋(b＋a)(b－a)，其中a＝－1，b＝2.解：原式＝a2＋4ab＋4b2＋b2－a2＝4ab＋5b2.当a＝－1，b＝2时，原式＝4×(－1)×2＋5×22＝－8＋20＝12.考点聚焦归类探究回归教材第3课时┃整式及因式分解方法点析(1)对于整式的加、减、乘、除、乘方运算，要充分理解其运算法则，注意运算顺序，正确应用乘法公式以及整体和分类等数学思想．(2)在应用乘法公式时，要充分理解乘法公式的结构特点，分析题目是否符合乘法公式的条件．考点聚焦归类探究回归教材命题角度：1．因式分解的概念；2．提取公因式法因式分解；3．运用公式法因式分解：(1)平方差公式；(2)完全平方公式．探究三因式分解第3课时┃整式及因式分解考点聚焦归类探究回归教材第3课时┃整式及因式分解例4[2014·常州]因式分解：x3－9xy2＝________．x(x－3y)(x＋3y)解析解析x3－9xy2＝x(x2－9y2)＝x(x－3y)(x＋3y)．考点聚焦归类探究回归教材第3课时┃整式及因式分解方法点析(1)因式分解时，有公因式的要先提取公因式，再考虑是否应用公式法或其他方法继续分解．(2)提公因式时，若括号内合并的项有公因式，应再次提取．注意符号的变换：y－x＝－(x－y)，(y－x)2＝(x－y)2.(3)应用公式法因式分解时，要牢记平方差公式和完全平方公式及其特点．(4)因式分解要分解到每一个多项式不能分解为止．考点聚焦归类探究回归教材第3课时┃整式及因式分解变式题[2013·河北]下列等式从左到右的变形，属于因式分解的是()A．a(x－y)＝ax－ayB．x2＋2x＋1＝x(x＋2)＋1C．(x＋1)(x＋3)＝x2＋4x＋3D．x3－x＝x(x＋1)(x－1)D解析解析因式分解是把一个多项式化为几个最简整式的积的形式，所以选项A，B，C都不符合，故选D.考点聚焦归类探究回归教材探究四因式分解的应用第3课时┃整式及因式分解命题角度：1．利用因式分解进行计算与化简；2．利用几何图形验证公式．考点聚焦归类探究回归教材第3课时┃整式及因式分解例5[2014·宁波]一个大正方形和四个全等的小正方形按图3－1①，②两种方式摆放，则图②的大正方形中未被小正方形覆盖部分的面积是________．(用含a，b的代数式表示)图3－1ab解析解析设大正方形的边长为x，小正方形的边长为y，根据图①②，得x＋2y＝a，x－2y＝b，∴图②的大正方形中未被小正方形覆盖部分的面积为x2－4y2＝(x＋2y)(x－2y)＝ab.考点聚焦归类探究回归教材第3课时┃整式及因式分解方法点析(1)通过拼图的方法可验证平方差公式和完全平方公式，关键要能准确计算阴影部分的面积．(2)利用因式分解进行计算与化简，先把要求的代数式进行因式分解，再代入已知条件计算．考点聚焦归类探究回归教材第3课时┃整式及因式分解变式题[2014·徐州]若ab＝2，a－b＝－1，则代数式a2b－ab2的值等于________．－2解析解析∵a2b－ab2＝ab(a－b)，∴当ab＝2，a－b＝－1时，原式＝2×(－1)＝－2.考点聚焦归类探究回归教材探究五整式的创新应用第3课时┃整式及因式分解命题角度：1．整式的有关规律性问题；2．利用整式验证公式或等式；3．新定义运算．考点聚焦归类探究回归教材第3课时┃整式及因式分解例6[2014·金华]一种长方形餐桌的四周可坐6人用餐，现把若干张这样的餐桌按如图3－2方式进行拼接．(1)若把4张、8张这样的餐桌拼接起来，四周分别可坐多少人？(2)若用餐的人数有90人，则这样的餐桌需要多少张？图3－2考点聚焦归类探究回归教材第3课时┃整式及因式分解解析解析(1)根据图形可知，每张桌子有4个座位，然后再加两端的各一个，于是n张桌子就有(4n＋2)个座位，由此进一步求出问题即可；(2)由(1)中的规律列方程解答即可．解：(1)1张长方形餐桌的四周可坐4＋2＝6(人)，2张长方形餐桌的四周可坐4×2＋2＝10(人)，3张长方形餐桌的四周可坐4×3＋2＝14(人)，……n张长方形餐桌的四周可坐(4n＋2)人．所以4张长方形餐桌的四周可坐4×4＋2＝18(人)，8张长方形餐桌的四周可坐4×8＋2＝34(人)．(2)设这样的餐桌需要x张，由题意得4x＋2＝90，解得x＝22.所以这样的餐桌需要22张．考点聚焦归类探究回归教材第3课时┃整式及因式分解方法点析规律性探究问题通常指根据给出的材料，观察其中的规律，再运用这种规律解决问题的一类题型．观察的三种主要途径：(1)式与数的特征观察；(2)图形的结构观察；(3)通过对简单、特殊情况的观察，再推广到一般情况．规律探究的基本原则：(1)遵循类推原则，项找项的规律，和找和的规律，差找差的规律，积找积的规律；(2)遵循有序原则，从特殊开始，从简单开始，先找几个，发现规律，再验证并运用规律．考点聚焦归类探究回归教材回归教材第3课时┃整式及因式分解完全平方公式大变身教材母题[苏科版七下P90第8题]已知(a＋b)2＝7，(a－b)2＝3.求a2＋b2，ab的值．解：由(a＋b)2＝7,(a－b)2＝3得a2＋2ab＋b2＝7①a2－2ab＋b2＝3②①－②，得4ab＝4，所以ab＝1.把ab＝1代入a2＋2ab＋b2＝7，得a2＋2×1＋b2＝7，所以a2＋b2＝5.考点聚焦归类探究回归教材第3课时┃整式及因式分解[点析]完全平方公式的一些主要变形有：(a＋b)2＋(a－b)2＝2(a2＋b2);(a＋b)2－(a－b)2＝4ab;a2＋b2=(a＋b)2－2ab＝(a－b)2＋2ab.在四个量a＋b，a－b，a2＋b2,ab中，知道其中任意两个量，就能求出(整体代换)其余的两个量．考点聚焦归类探究回归教材第3课时┃整式及因式分解中考预测1．已知(m－n)2＝8，(m＋n)2＝2，则m2＋n2＝()A．10B．6C．5D．3C解析解析∵(m－n)2＝8，∴m2－2mn＋n2＝8①.又∵(m＋n)2＝2，∴m2＋2mn＋n2＝2②，①＋②，得2m2＋2n2＝10，∴m2＋n2＝5.故选C.考点聚焦归类探究回归教材第3课时┃整式及因式分解2．若a2－b2＝16，a－b＝13，则a＋b的值为________．12解析解析∵a2－b2＝16，∴(a－b)(a＋b)＝16.∵a－b＝13，∴a＋b＝16÷13＝12.考点聚焦归类探究回归教材