双曲线复习课件

复习课:双曲线平昌县得胜中学1．双曲线的定义(1)平面内动点的轨迹是双曲线必须满足两个条件：①与两个定点F1，F2的距离的等于常数2a.②2a|F1F2|.(2)上述双曲线的焦点是，焦距是.基础知识梳理差的绝对值＜F1、F2|F1F2|平昌县得胜中学当2a＝|F1F2|和2a＞|F1F2|时，动点的轨迹是什么图形？若2a＝0，动点的轨迹又是什么？【思考·提示】当2a＝|F1F2|时，动点的轨迹是两条射线；当2a＞|F1F2|时，动点的轨迹不存在；当2a＝0时，动点的轨迹是线段F1F2的中垂线．基础知识梳理平昌县得胜中学2．双曲线的标准方程及其简单几何性质基础知识梳理平昌县得胜中学基础知识梳理性质范围对称性对称轴：x轴、y轴对称中心：对称轴：x轴、y轴对称中心：坐标原点顶点顶点坐标：A1(－a,0)，A2(a,0)顶点坐标：A1(0，－a)，A2(0，a)渐近线离心率e＝，e∈，其中c＝实虚轴线段A1A2叫做双曲线的实轴，它的长|A1A2|＝；线段B1B2叫做双曲线的虚轴，它的长|B1B2|＝2b；a叫做双曲线的半实轴长，b叫做双曲线的半虚轴长a、b、c间的关系c2＝a2＋b2(c＞a＞0，c＞b＞0)x≥a或x≤－ay≥a或y≤－a坐标原点(1，＋∞)caa2＋b2y＝±baxy＝±bax2a平昌县得胜中学3.等轴双曲线等长的双曲线叫等轴双曲线，其方程为x2－y2＝λ(λ≠0)，其离心率为e＝，渐近线方程为.基础知识梳理y＝±x实轴与虚轴2平昌县得胜中学1．已知双曲线的离心率为2，焦点是(－4,0)、(4,0)，则双曲线方程为()三基能力强化A.x24－y212＝1B.x212－y24＝1C.x210－y26＝1D.x26－y210＝1答案：A平昌县得胜中学三基能力强化答案：D2．(2009年高考福建卷)若双曲线x2a2－y23＝1(a＞0)的离心率为2，则a等于()A．2B.3C.32D．1平昌县得胜中学答案：C三基能力强化3．(2009年高考天津卷)设双曲线x2a2－y2b2＝1(a＞0，b＞0)的虚轴长为2，焦距为23，则双曲线的渐近线方程为()A．y＝±2xB．y＝±2xC．y＝±22xD．y＝±12x平昌县得胜中学4．以3x±4y＝0为渐近线的双曲线过点(3，－4)，则此双曲线的离心率e为________．三基能力强化答案：54平昌县得胜中学三基能力强化5．双曲线x29－y216＝1的两个焦点为F1、F2，点P在双曲线上，若PF1⊥PF2，则点P到x轴的距离为________．答案：163平昌县得胜中学求双曲线的标准方程一般用待定系数法．双曲线方程中的a、b、c、e与坐标系无关，只有焦点坐标、顶点坐标、渐近线方程与坐标系有关．因此确定一个双曲线的标准方程需要三个条件：两个定形条件a、b，一个定位条件，焦点坐标、渐近线方程．课堂互动讲练题型一求双曲线的标准方程平昌县得胜中学课堂互动讲练例1根据下列条件，求双曲线的标准方程：(1)经过点(154，3)，且一条渐近线方程为4x＋3y＝0；(2)P(0,6)与两个焦点的连线互相垂直，与两个顶点连线的夹角为π3.(3)求与双曲线x2－2y2＝2有公共渐近线，且过点M(2，－2)的双曲线方程．平昌县得胜中学【思路点拨】利用待定系数法，双曲线定义或双曲线系等知识求双曲线标准方程．课堂互动讲练【解】(1)因直线x＝154与渐近线4x＋3y＝0的交点坐标为(154，－5)，而3|－5|，故双曲线的焦点在x轴上，设其方程为x2a2－y2b2＝1(a＞0，b＞0)，平昌县得胜中学课堂互动讲练由(154)2a2－32b2＝1，b2a2＝(－43)2.解得a2＝9，b2＝16.故所求的双曲线方程为x29－y216＝1.平昌县得胜中学(2)设F1、F2为双曲线的两个焦点，依题意，它的焦点在x轴上，∵PF1⊥PF2，且|OP|＝6，∴2c＝|F1F2|＝2|OP|＝12，∴c＝6.课堂互动讲练又P与两顶点连线夹角为π3，∴a＝|OP|·tanπ6＝23，∴b2＝c2－a2＝24.故所求的双曲线方程为x212－y224＝1.平昌县得胜中学课堂互动讲练(3)设与双曲线x22－y2＝1有公共渐近线的双曲线方程为x22－y2＝k，将点(2，－2)代入得k＝222－(－2)2＝－2.∴双曲线的标准方程为y22－x24＝1.平昌县得胜中学【失误点评】本题易错点主要是不判断焦点在哪条坐标轴上或不按焦点在x轴上或焦点在y轴上分类讨论．课堂互动讲练平昌县得胜中学求曲线的轨迹方程时，应尽量地利用几何条件探求轨迹的曲线类型，从而再用待定系数法求出轨迹的方程，这样可以减少运算量，提高解题速度与质量．在运用双曲线定义时，应特别注意定义中的条件“差的绝对值”，弄清所求轨迹是整条双曲线，还是双曲线的一支，若是一支，是哪一支，以确保轨迹的纯粹性和完备性．课堂互动讲练题型二双曲线的定义平昌县得胜中学课堂互动讲练例2已知动圆M与圆C1：(x＋4)2＋y2＝2外切，与圆C2：(x－4)2＋y2＝2内切，求动圆圆心M的轨迹方程．【思路点拨】利用两圆内、外切的充要条件找出M点满足的几何条件，结合双曲线定义求解．平昌县得胜中学课堂互动讲练【解】设动圆M的半径为r，则由已知|MC1|＝r＋2，|MC2|＝r－2，∴|MC1|－|MC2|＝22.又C1(－4,0)，C2(4,0)，∴|C1C2|＝8，∴22|C1C2|.平昌县得胜中学课堂互动讲练根据双曲线定义知，点M的轨迹是以C1(－4,0)、C2(4,0)为焦点的双曲线的右支．∵a＝2，c＝4，∴b2＝c2－a2＝14，∴点M的轨迹方程是x22－y214＝1(x≥2)．平昌县得胜中学【误区警示】容易用错双曲线的定义将点M的轨迹误认为是整条双曲线从而得课堂互动讲练出方程后没有限制x≥2.平昌县得胜中学若将例2中的条件改为：动圆M与圆C1：(x＋4)2＋y2＝2及圆C2：(x－4)2＋y2＝2一个内切、一个外切，那么动圆圆心M的轨迹方程如何？课堂互动讲练互动探究平昌县得胜中学课堂互动讲练解：由例题可知：当圆M与圆C1外切，与圆C2内切时，|MC1|－|MC2|＝22；当圆M与圆C1内切，与圆C2外切时，|MC2|－|MC1|＝22.∴||MC1|－|MC2||＝22＜|C1C2|＝8.∴点M的轨迹是以C1(－4,0)，C2(4,0)为焦点的双曲线．∵a＝2，c＝4，∴b2＝c2－a2＝14，故动圆圆心M的轨迹方程为x22－y214＝1.平昌县得胜中学双曲线的几何性质与代数中的方程、平面几何的知识联系密切，解题时要深刻理解确定双曲线的形状、大小的几个主要特征量，如a、b、c、e的几何意义及它们的相互关系，充分利用双曲线的渐近线方程，简化解题过程．课堂互动讲练题型三双曲线的几何性质平昌县得胜中学课堂互动讲练例3过椭圆x2a2＋y2b2＝1(a＞b＞0)的焦点垂直于x轴的弦长为12a，则双曲线x2a2－y2b2＝1的离心率e的值是()A.54B.52C.32D.54平昌县得胜中学【思路点拨】由弦长推出a、b的关系，再利用c2＝a2＋b2得出e.课堂互动讲练【解析】据题意知椭圆通径长为12a，故有2b2a＝12a⇒a2＝4b2⇒b2a2＝14，故相应双曲线的离心率e＝1＋(ba)2＝1＋14＝52.【答案】B平昌县得胜中学课堂互动讲练【规律方法】要解决双曲线中有关求离心率或求离心率范围的问题，应找好题中的等量关系或不等关系，构造出离心率e＝ca的关系式，这里应和椭圆中a，b，c的关系区分好，即a2＋b2＝c2，同时还应注意e＞1这一隐含条件．平昌县得胜中学课堂互动讲练1．直线与双曲线的位置关系与直线与椭圆的位置关系有类似的处理方法，但要注意联立后得到的一元二次方程的二次项系数能否为零．2．当涉及直线与双曲线的交点在同一支或两支上时，要注意消元时应消去范围为R的变量，为根据一元二次方程两根的正负条件解决问题打下基础．题型四直线与双曲线平昌县得胜中学课堂互动讲练例4(解题示范)(本题满分12分)已知双曲线C：x2－y2＝1及直线l：y＝kx－1，(1)若l与C有两个不同的交点，求实数k的取值范围；(2)若l与C交于A，B两点，O是坐标原点，且△AOB的面积为2，求实数k的值．平昌县得胜中学【思路点拨】课堂互动讲练平昌县得胜中学课堂互动讲练【解】(1)双曲线C与直线l有两个不同的交点，则方程组x2－y2＝1y＝kx－1有两个不同的解，1分代入整理得(1－k2)x2＋2kx－2＝0.2分∴1－k2≠0，Δ＝4k2＋8(1－k2)＞0，3分平昌县得胜中学课堂互动讲练解得－2＜k＜2且k≠±1.故当－2＜k＜2且k≠±1时，双曲线C与直线l有两个不同的交点.4分(2)设交点A(x1，y1)，B(x2，y2)，直线l与y轴交于点D(0，－1)．由(1)得x1＋x2＝－2k1－k2，x1x2＝－21－k2.5分平昌县得胜中学课堂互动讲练当A，B在双曲线的一支上且x1＞x2时，S△OAB＝S△OAD－S△OBD＝12(|x1|－|x2|)＝12|x1－x2|；7分当A，B在双曲线的两支上且x1＞x2时，S△OAB＝S△OAD＋S△OBD＝12(|x1|＋|x2|)＝12|x1－x2|.9分平昌县得胜中学课堂互动讲练∴S△OAB＝12|x1－x2|＝2，∴(x1－x2)2＝(22)2，10分即(－2k1－k2)2＋81－k2＝8，解得k＝0或k＝±62.又∵－2＜k＜2，且k≠±1，∴当k＝0或k＝±62时，△AOB的面积为2.12分平昌县得胜中学【名师点评】(1)在利用判别式时，易忽视1－k2≠0这一约束条件，此时直线与双曲线只有一个交点；(2)在求△AOB面积的表达式时，不能按A，B两点在双曲线的同支或异支上分类讨论．课堂互动讲练平昌县得胜中学(1)求双曲线C的方程；(2)已知直线x－y＋m＝0与双曲线C交于不同的两点A，B，且线段AB的中点在圆x2＋y2＝5上，求m的值．课堂互动讲练高考检阅(本题满分12分)已知双曲线C：x2a2－y2b2＝1(a＞0，b＞0)的离心率为3，a2c＝33.平昌县得胜中学课堂互动讲练解：(1)由题意得a2c＝33，ca＝3，2分解得a＝1，c＝3.3分所以b2＝c2－a2＝2.所以双曲线C的方程为x2－y22＝1.5分平昌县得胜中学课堂互动讲练(2)设A、B两点的坐标分别为(x1，y1)、(x2，y2)，线段AB的中点为M(x0，y0)．由x－y＋m＝0，x2－y22＝1得x2－2mx－m2－2＝0(判别式Δ＞0).8分所以x0＝x1＋x22＝m，y0＝x0＋m＝2m.10分因为点M(x0，y0)在圆x2＋y2＝5上，所以m2＋(2m)2＝5，故m＝±1.12分平昌县得胜中学1.求双曲线标准方程的方法(1)定义法，根据题目的条件，若满足定义，求出相应a、b、c即可求得方程．(2)待定系数法，其步骤是①定位：确定双曲线的焦点在哪个坐标轴上．②设方程：根据焦点的位置设出相应的双曲线方程．③定值：根据题目条件确定相关的系数．规律方法总结平昌县得胜中学2．对双曲线的定义的理解在双曲线的定义中，加一条件“常数要大于0且小于|F1F2|”．(1)若定义中常数改为等于|F1F2|，此时动点轨迹是以F1、F2为端点的两条射线(包括端点)．(2)若定义中常数为0，则动点轨迹为线段F1F2的垂直平分线．规律方法总结平昌县得胜中学(3)若定义中常数改为大于|F1F2|，则动点轨迹不存在．(4)若将定义中“差的绝对值”中的“绝对值”去掉，点的轨迹为双曲线的一支．规律方法总结