等差数列及其前n项和知识点总结、经典高考题解析

等差数列及其前n项和【考纲说明】1、理解等差数列的概念，学习等差数列的基本性质.2、探索并掌握等差数列的通项公式与前n项和公式.3、体会等差数列与一次函数的关系.4、本部分在高考中占5-10分左右.【趣味链接】高斯7岁那年，父亲送他进了耶卡捷林宁国民小学，读书不久，高斯在数学上就显露出了常人难以比较的天赋，最能证明这一点的是高斯十岁那年，教师彪特耐尔布置了一道很繁杂的计算题，要求学生把1到100的所有整数加起来，教师刚叙述完题目，高斯即刻把写着答案的小石板交了上去。彪特耐尔起初并不在意这一举动，心想这个小家伙又在捣乱，但当他发现全班唯一正确的答案属于高斯时，才大吃一惊。而更使人吃惊的是高斯的算法，他发现：第一个数加最后一个数是101，第二个数加倒数第二个数的和也是101，……共有50对这样的数，用101乘以50得到5050。这种算法是教师未曾教过的计算等级数的方法，高斯的才华使彪特耐尔十分激动，下课后特地向校长汇报，并声称自己已经没有什么可教高斯的了。【知识梳理】一、等差数列的相关概念1、等差数列的概念如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，则这个数列称为等差数列，这个常数称为等差数列的公差．通常用字母d表示。2、等差中项如果a，A，b成等差数列，那么A叫做a与b的等差中项．即：2baA或baA2推广：-11122(2)2nnnnnnaaanaaa3、等差数列通项公式若等差数列na的首项是1a，公差是d，则11naand．推广：dmnaamn)(，从而mnaadmn。4、等差数列的前n项和公式等差数列的前n项和的公式：①12nnnaaS；②112nnnSnad．5、等差数列的通项公式与前n项的和的关系11,1,2nnnsnassn(数列{}na的前n项的和为12nnsaaa).二、等差数列的性质1、等差数列与函数的关系当公差0d时，(1)等差数列的通项公式11(1)naanddnad是关于n的一次函数,斜率为d；(2)前n和211(1)()222nnnddSnadnan是关于n的二次函数且常数项为0。2、等差数列的增减性若公差0d，则为递增等差数列，若公差0d，则为递减等差数列，若公差0d，则为常数列。3、通项的关系当mnpq时,则有qpnmaaaa，特别地，当2mnp时，则有2mnpaaa.注：12132nnnaaaaaa4、常见的等差数列（1）若na、nb为等差数列，则12nnnabab，都为等差数列。（2）若{na}是等差数列，则232,,nnnnnSSSSS，…也成等差数列。（3）数列{}na为等差数列,每隔*()kkN项取出一项23(,,,,)mmkmkmkaaaa仍为等差数列。5、前n项和的性质设数列na是等差数列，d为公差，奇S是奇数项的和，偶S是偶数项项的和，nS是前n项的和.①当项数为偶数n2时，则121135212nnnnaaSaaaana奇22246212nnnnaaSaaaana偶11nnnnSSnananaa偶奇11nnnnSnaaSnaa奇偶②当项数为奇数12n时，则21(21)(1)1nSSSnaSnaSnSSaSnaSnn+1n+1奇偶奇奇n+1n+1奇偶偶偶（其中an+1是项数为21n的等差数列的中间项）6、求nS的最值（或求na中正负分界项）（1）因等差数列前n项是关于n的二次函数，故可转化为求二次函数的最值，但要注意数列的特殊性*nN.（2）①“首正”的递减等差数列中，前n项和的最大值是所有非负项之和即当100ad，，由001nnaa可得nS达到最大值时的n值.②“首负”的递增等差数列中，前n项和的最小值是所有非正项之和.即当100ad，，由001nnaa可得nS达到最小值时的n值.三、等差数列的判定与证明1、等差数列的判定方法：（1）定义法：若daann1或daann1(常数Nn)na是等差数列；（2）等差中项：数列na是等差数列-11122(2)2nnnnnnaaanaaa；（3）数列na是等差数列naknb（其中bk,是常数）；（4）数列na是等差数列2nSAnBn,（其中A、B是常数）.2、等差数列的证明方法：定义法：若daann1或daann1(常数Nn)na是等差数列．【经典例题】【例1】（2006全国）设{an}是公差为正数的等差数列,若a1+a2+a3＝15，a1a2a3＝80，则a11+a12+a13等于（）A.120B.105C.90D.75【解析】B【例2】(2008重庆)已知｛an｝为等差数列，a2+a8=12,则a5等于（）A.4B.5C.6D.7【解析】C【例3】（2006全国Ⅰ）设nS是等差数列na的前n项和，若735S，则4a（）A．8B．7C．6D．5【解析】D【例4】（2012四川）设函数3()(3)1fxxx，数列{}na是公差不为0的等差数列，127()()()14fafafa，则127aaa（）A.0B.7C.14D.21【解析】D【例5】（2009湖南）设nS是等差数列na的前n项和，已知23a，611a，则7S等于()A．13B．35C．49D．63【解析】C【例6】（2009全国Ⅰ理）设等差数列na的前n项和为nS，若972S,则249aaa=.【解析】24【例7】（2009辽宁理）等差数列na的前n项和为nS，且53655,SS则4a.【解析】31【例8】（2011福建）已知等差数列{an}中，a1=1，a3=-3.（I）求数列{an}的通项公式；（II）若数列{an}的前k项和Sk=-35，求k的值.【解析】（I）设等差数列{an}的公差为d，则an=a1+（n-1）d由a1=1，a3=-3，可得1+2d=-3，解得d=-2，从而，an=1+（n-1）×（-2）=3-2n；（II）由（I）可知an=3-2n，所以Sn=n[1+(3−2n)]2=2n-n2，进而由Sk=-35，可得2k-k2=-35，即k2-2k-35=0，解得k=7或k=-5，又k∈N+，故k=7为所求．【例9】（2010山东）已知等差数列na满足：73a，2675aa，na的前n项和为nS.（Ⅰ）求na及nS；（Ⅱ）令112nnab（*Nn），求数列nb的前n项和为nT.【解析】（Ⅰ）12nan，)2(nnSn（Ⅱ）)1(4nnTn【例10】（2010浙江）设a1，d为实数，首项为a1，公差为d的等差数{an}的前n项和Sn，满足S2S6＋15＝0.（Ⅰ）若S5＝S.求Sn及a1;（Ⅱ）求d的取值范围.【解析】因为SS+15=0,所以(5a1+10d)(6a1+15d)+15=0,即2a12+9da1+10d2+1=0.故(4a1+9d)2=d2-8.所以d2≥8.故d的取值范围为d≤-2或d≥2.【课堂练习】1、（2011江西卷）设{na}为等差数列，公差d=-2，nS为其前n项和.若1011SS，则1a=（）A.18B.20C.22D.242、（2006重庆）在等差数列na中，若a4+a6=12，Sn是数列na的前n项和，则S9的值为（）A.48B.54C.60D.663、（2009福建）设Sn是等差数列{an}的前n项和，若95a35a，则59SS（）A．1B．-1C．2D．214、（2011上海）设数列na的首项)Nn(2aa,7an1n1且满足，则1721aaa_____________.5、(2008海南)已知{an}为等差数列，a3+a8=22，a6=7，则a5=__________.6、（2012北京）已知{an}为等差数列，Sn为其前n项和，若211a，S2=a3，则a2=______，Sn=_______.7、（2012浙江）已知数列{an}的前n项和为Sn，Sn=22nn，n∈N﹡，数列{bn}满足an=4log2bn＋3，n∈N﹡.（1）求an，bn；（2）求数列{anbn}的前n项和Tn.8、（2012北京理）已知na是等差数列，21a，183a；nb也是等差数列，4a22b，3214321aaabbbb.（1）求数列nb的通项公式及前n项和nS的公式；（2）数列na与nb是否有相同的项？若有，在100以内有几个相同项？若没有，请说明理由.9、（2006北京）设等差数列{an}的首项a1及公差d都为整数，前n项和为Sn.(Ⅰ)若a11=0,S14=98,求数列｛an｝的通项公式；(Ⅱ)若a1≥6，a11＞0，S14≤77，求所有可能的数列｛an｝的通项公式.【课后作业】1、(2007安徽)等差数列na的前n项和为nS，若＝则432,3,1Saa（）A．12B．10C.8D．62、(2008广东)记等差数列na的前n项和为nS，若42S，204S，则该数列的公差d=（）A．7B.6C.3D.23、（2009全国）等差数列{}na中，已知31a1，4aa52，33an，则n为（）A．48B．49C.50D．514、（2007四川）等差数列{an}中，a1=1,a3+a5=14，其前n项和Sn=100,则n=（）A．9B．10C.11D．125、（2008福建）设Sn是等差数列na的前n项和，若5935,95SSaa则（）A．1B．－1C．2D．216、（2010北京）已知等差数列{an}满足α1＋α2＋α3＋…＋α101＝0则有()A．α1＋α101＞0B．α2＋α100＜0C．α3＋α99＝0D．α51＝517、（2010全国II理）如果1a，2a，…，8a为各项都大于零的等差数列，公差0d，则()A．1a8a45aaB．8a1a45aaC.1a+8a4a+5aD．1a8a=45aa8、（2012北京理）若一个等差数列前3项的和为34，最后3项的和为146，且所有项的和为390，则这个数列有（）A．13项B．12项C.11项D．10项9、（2007全国Ⅱ）已知数列的通项an=-5n+2,则其前n项和为Sn=.10、（2006山东）设nS为等差数列na的前n项和，4S＝14，30SS710，则9S＝.11、（2011全国Ⅰ）等差数列{na}的前n项和记为Sn.已知.50,302010aa（Ⅰ）求通项na；（Ⅱ）若Sn=242，求n.12、(2008宁夏理)已知数列{}na是一个等差数列，且21a，55a.（1）求{}na的通项na；（2）求{}na前n项和nS的最大值.13、（2010全国）设na为等差数列，nS为数列na的前n项和，已知77S，7515S，nT为数列nSn的前n项和，求nT.【参考答案】【课堂练习】1、B2、B3、A4、1535、156、12a，nnSn414127、（1）由Sn=22nn，得：当n=1时，113aS；当n2时，1nnnaSS2222(1)(1)41nnnnn，n∈N﹡.由an=4log2bn＋3，得21nbn，n∈N﹡.（2）由（1）知1(41)2nnnabn，n∈N﹡所以21372112...412nnTn，2323272112...412nnTn，212412[34(22...2)]nnnnTTn(45)