2015第一轮中考复习二次根式解析

第六讲二次根式一、二次根式的相关概念1．二次根式:形如___(_____)的代数式．2．二次根式的性质：(1)(a≥0)是_____数；(2)(a≥0)＝__；(3)()2＝__(a≥0)．aa≥0a非负2aaaa二、二次根式的运算1．最简二次根式：最简二次根式要同时具备下列两个条件：(1)被开方数中不含_____.(2)被开方数中不含___________的因数或因式．2．二次根式的乘除：(1)＝____(a≥0，b≥0).(2)=____(a≥0，b＞0)．分母能开得尽方abababab3．积、商平方根的性质：(1)＝______(a≥0，b≥0).(2)＝___(a≥0，b＞0)．4．二次根式的加减：先将二次根式化成_____________，再将_________相同的二次根式合并．abababab最简二次根式被开方数【思维诊断】(打“√”或“×”)1.是二次根式.()2.()3.()4.()2x2222525.22a12a1.1323.2××√×5.是最简二次根式.()6.可以合并，则a的值是3.()7.()8.()224a4b27a与2234592.1252038.××××热点考向一二次根式有意义的条件【例1】(2014·巴中中考)要使式子有意义，则m的取值范围是()A.m-1B.m≥-1C.m-1且m≠1D.m≥-1且m≠1【思路点拨】根据二次根式有意义的条件建立关于x的不等式组，求出不等式组的解集.m1m1【自主解答】选D.根据题意得：解得：m≥-1且m≠1．m10m10，－，【规律方法】二次根式有无意义的条件需注意的两个问题1.如果一个式子中含有多个二次根式，那么它们有意义的条件是：各个二次根式中的被开方数都必须是非负数.2.如果所给式子中含有分母，则除了保证被开方数为非负数外，还必须保证分母不为零.【真题专练】1.(2014·苏州中考)若式子在实数范围内有意义，则x的取值范围是()A.x≤-4B.x≥-4C.x≤4D.x≥4【解析】选D.由题意知，x-4≥0,即x≥4.x42.(2014·株洲中考)x取下列各数中的哪个数时，二次根式有意义()A.－2B.0C,2D.4【解析】选D.根据题意知二次根式有意义的条件为x-3≥0，即x≥3，符合条件的只有4.x3－x3－3.(2013·上海中考)下列式子中，属于最简二次根式的是()【解析】选B.选项A：1A.9B.7C.20D.31393C2025D33，选项：，选项：．【方法技巧】判断二次根式是不是最简二次根式，需要看被开方数中是否含有能开得尽方的因数(或因式)，且被开方数中是否含有分母，若被开方数能化成因数(或因式)积的形式，要先化成积的形式，再进行判断.4.(2013·安徽中考)若在实数范围内有意义，则x的取值范围是_______.【解析】根据二次根式的被开方数是非负数，建立不等式1－3x≥0，解得x≤答案：x≤13x－1.3135.(2013·曲靖中考)若整数x满足|x|≤3，则使为整数的x的值是_______．(只需填一个)【解析】满足|x|≤3的整数x有0，±1，±2，±3共7个数，其中使为整数的x的值是3或－2.答案：3或－2(只需填一个即可)7x－7x－6.(2014·德州中考)若则(x+y)y=____．【解析】要使同时有意义，必须满足x≥4与x≤4，∴x=4，那么y=-2，∴(x+y)y=(4-2)-2=2-2=答案：x44xy22－－，x44x与14．14热点考向二二次根式的性质【例2】(2014·连云港中考)计算的结果是()A．-3B．3C．-9D．9【思路点拨】先把二次根式化为含有绝对值的代数式，再把其中的绝对值符号去掉，化简即得结果．【自主解答】选B.=|-3|=3.2323【规律方法】理解二次根式的性质需注意的两个问题1.(a≥0)的双重非负性：(1)被开方数a非负.(2)本身非负.2.的异同：中的a可以取任何实数，而中的a必须取非负数，只有当a取非负数时，aa22aa与2a2a22aa.【真题专练】1.(2013·曲靖中考)下列等式成立的是()A．a2·a5=a10B．C．(-a3)6=a18D．abab2aa【解析】选C.A根据同底数幂的乘法运算法则：同底数幂相乘，底数不变，指数相加,a2·a5=a7，故本选项错误；B根据二次根式的运算法则知本选项错误；C根据幂的乘方的运算法则：幂的乘方底数不变，指数相乘，即：(am)n=amn正确；D根据二次根式的化简性质故本选项错误.2a,a0,aaa,a0,＜2.(2012·黔西南中考)计算：-|2-π|＝_____．【解析】―|2―π|＝|3.14―π|―|2―π|＝π―3.14―(π―2)＝―1.14．答案：―1.1423.14－23.14－3.(2012·呼和浩特中考)实数a,b在数轴上的位置如图所示，则的化简结果为______.2aba【解析】根据题意可知a＞0，b＜0，且｜a｜＜｜b｜，∴＝｜a+b｜+a=－a－b+a=－b.答案：－b2aba4.(2012·眉山中考)直线y=(3-a)x+b-2在直角坐标系中的图象如图所示，化简：|b-a|-|2-b|=________．2a6a9－【解析】由一次函数的图象知3－a＜0，b－2＜0，∴a3,b2.∴ab.∴b-a0,a-30,2-b0.|b-a|-|2-b|=|b-a|--|2-b|=|b-a|-|a-3|-|2-b|=-(b-a)-(a-3)-(2-b)=-b+a-a+3－2＋b=1.答案：12a6a9－2a3－【知识拓展】的区别与联系1.区别(1)意义不同:表示非负数a的算术平方根的平方；表示a2的算术平方根.(2)被开方数不同:的被开方数是a；的被开方数是a2.(3)运算顺序不同：是先开方后平方;是先平方后开方.22aa与2a2a2a2a2a2a(4)运算依据、结果不同:=a(a≥0)是根据开平方与平方互为逆运算得到的；是根据算术平方根的定义得到的.(5)作用不同:=a(a≥0)正向运用可化简二次根式，逆向运用可以将任意一个非负数写成一个数的平方的形式;正向运用可以将根号内的因式移到根号外，逆向运用可以将根号外的非负因数(或因式)移到根号内.2a2a,a0a0,a0a,a0＞，，－＜2a2a,a0a0,a0a,a0,＞，，－＜2.联系(1)含有两种相同的运算，两者都要进行平方和开方.(2)结果的取值范围相同，两者的结果都是非负数.(3)当a≥0时，两者“合二为一”，22aa.热点考向三二次根式的运算【例3】(1)(2014·聊城中考)下列计算正确的是()(2)(2013·济宁中考)计算：A.233363B.2356C.552233D.233201220130323232||2.2－－－－【思路点拨】(1)根据二次根式运算性质，分别进行计算．(2)根据零指数幂、绝对值、整数指数幂、二次根式的混合运算分别进行计算，再把所得的结果合并即可．【自主解答】(1)选D.不是同类二次根式，不能合并；不是同类二次根式，不能合并；23331823；与5522与2623.3320122013020123223232||222323(23)3123311.－－－－［－］－－＋－－【规律方法】二次根式运算中需注意的三个问题1.二次根式乘法、除法法则也可逆用，(a≥0，b≥0)，(a≥0，b0)，利用这两个等式可以化简二次根式.2.运算结果应尽可能化简.在解决实际问题时，二次根式的结果可按要求取近似值(将无理数转化为有理数).3.在二次根式的运算或化简过程中，乘法公式、因式分解等相关法则、方法均可使用.ababaabb【真题专练】1.(2014·白银中考)下列计算错误的是()A.236B.235C.1232D.822【解析】选B.不是同类二次根式，不能合并，所以错误.23与2352.(2014·济宁中考)如果ab＞0,a+b＜0,那么下面各式：其中正确的是()A.①②B.②③C.①③D.①②③【解析】选B.∵ab＞0，a＋b＜0，∴a，b同号，且a＜0，b＜0，等号右边被开方数小于零，无意义，∴①不正确；aaaba1abbbbabb①，②，③，ab00.ba＞，＞aabb，2abab1babaabababbb.B.ba，②正确；，③正确故选3.(2014·孝感中考)下列二次根式中，不能与合并的是()【解析】选C.合并的是C.21A.B.8C.12D.18212,822,1223,183222因为，所以2不能与【知识拓展】同类二次根式把几个二次根式化为最简二次根式以后，如果被开方数相同，那么这几个二次根式叫做同类二次根式.(1)同类二次根式类似于整式中的同类项.(2)几个同类二次根式在没有化简之前，被开方数完全可以互不相同.(3)判断两个二次根式是否是同类二次根式，首先要把它们化为最简二次根式，然后再看被开方数是否相同.4.(2014·内江中考)按如图所示的程序计算，若开始输入的n值为则最后输出的结果是()A.14B.16C.8＋5D.14＋2，22【解析】选C.再计算，输出为8n2nn12212215当时，＋＜，n22nn12222185215当时，＋＞，52.＋5.(2014·福州中考)计算：(+1)(-1)=_______.【解析】利用平方差公式计算：答案：12222121(2)11.－6.(2014·北京中考)已知求代数式(x+1)2-2x+y(y-2x)的值.【解析】原式=x2-2xy+y2+1=(x-y)2+1,把x-y=代入,原式=3+1=4.xy3,3热点考向四二次根式的化简求值【例4】(2013·襄阳中考)先化简，再求值：其中【思路点拨】先将分式按照运算顺序进行化简，再将字母的值代入化简后的式子求值.222ab2abb(a)aa－－－，a12b12.，－【自主解答】原式22abab2abba()aaa－－－222abababab2abbaaaaaabab.ab121222a12b12.2121222－－－－－－－－－当，－时，原式－－－－【规律方法】进行化简求值一定注意所给出的条件或题目中的隐含条件，有时也可运用整体代入法，从而简化计算过程.【真题专练】1.(2014·遂宁中考)先化简，再求值:其中【解析】原式2211xx(),x1x1x2x1x21.2x1x1x1x1(x1)x(x1)2x12x2,x21,2.x1(x1)xx1x1当时原式2.(2014·黄石中考)先化简，后计算：其中【解析】原式=36x9(1)(xxx－－－)，x20143.2x3x31.xxx3－－12014x20143x32014当时，原式－3.(2014·襄阳中考)已知:求x2+y2-xy-2x+2y的值.【解析】x12,y12,x12,y12,xy121222,2222xy12121.xyxy2x2yxy2xyxy22222(1)742.【变式训练】(20