1.3导数在研究函数中的应用

2020/2/261.3.1函数的单调性与导数2020/2/26oyxyox1oyx1xy1122xxyxy3在（－∞，0）和（0,＋∞）上分别是减函数。但在定义域上不是减函数。在（－∞，1）上是减函数，在（1,＋∞）上是增函数。在(－∞,＋∞)上是增函数概念回顾画出下列函数的图像，并根据图像指出每个函数的单调区间2020/2/26单调性的概念对于给定区间上的函数f(x):1.如果对于这个区间上的任意两个自变量x1,x2,当x1x2时，都有f(x1)f(x2),那么就说f(x)在这个区间上是增函数.首页2.如果对于这个区间上的任意两个自变量x1,x2,当x1x2时，都有f(x1)f(x2),那么就说f(x)在这个区间上是减函数对于函数y＝f(x)在某个区间上单调递增或单调递减的性质，叫做f(x)在这个区间上的单调性，这个区间叫做f(x)的单调区间。2020/2/26ox1y1.在x＝1的左边函数图像的单调性如何？新课引入首页2.在x＝1的左边函数图像上的各点切线的倾斜角为(锐角/钝角)?他的斜率有什么特征？3.由导数的几何意义，你可以得到什么结论？4.在x＝1的右边时，同时回答上述问题。2020/2/26•定理：•一般地，函数y＝f（x）在某个（a，b）区间内可导：•如果恒有f′(x)0，则f（x）是增函数。•如果恒有f′(x)0，则f（x）是减函数。•如果恒有f′(x)=0，则f（x）是常数。2020/2/26确定函数，在哪个区间是增函数，那个区间是减函数。762)(23xxxfxyo解：函数f(x)的定义域是(－∞,＋∞)xxxf126)(2'令6x2－12x0,解得x2或x0∴当x∈(2,＋∞)时，f(x)是增函数；当x∈(－∞，0)时，f(x)也是增函数令6x2－12x0,解得,0x2∴当x∈(0,2)时，f(x)是减函数。首页2020/2/26知识点：定理：一般地，函数y＝f（x）在某个区间内可导：如果恒有，则f(x)在是增函数。如果恒有，则f(x)是减函数。如果恒有，则f(x)是常数。步骤：（1）求函数的定义域（2）求函数的导数（3）令f’(x)0以及f’(x)0,求自变量x的取值范围，即函数的单调区间。f’(x)0f’(x)0f’(x)＝02020/2/26练习:判断下列函数的单调性•(1)f(x)=x3+3x;•(2)f(x)=sinx-x,x∈(0,π);•(3)f(x)=2x3+3x2-24x+1;•(4)f(x)=ex-x;2020/2/262020/2/261.3.2函数的极值与导数2020/2/26aoht'0haht问题：如图表示高台跳水运动员的高度随时间变化的函数的图象2()4.96.510httt单调递增单调递减0)(th0)(th归纳:函数在点处,在的附近,当时,函数h(t)单调递增，;当时,函数h(t)单调递减,。()htata0)(ahatat0)(th0)(th2020/2/26yxaobyfx（3）在点附近,的导数的符号有什么规律?,abyfx（1）函数在点的函数值与这些点附近的函数值有什么关系?yfx,ab（2）函数在点的导数值是多少?yfx,ab(图一)问题：0)(xf0)(xf0)(xf0)(af0)(bfxyyfxohgfedc(图二)2020/2/26yxaobyfx(图一)0)(xf0)(xf0)(xf0)(af0)(bfxyyfxohgfedc(图二)极大值f(b)点a叫做函数y=f(x)的极小值点，f(a)叫做函数y=f(x)的极小值.点b叫做函数y=f(x)的极大值点，f(b)叫做函数y=f(x)的极大值.极小值点、极大值点统称极值点，极大值和极小值统称为极值.极小值f(a)思考：极大值一定大于极小值吗？2020/2/26yfx6x5x4x3x2x1xabxy（1）如图是函数的图象,试找出函数的极值点,并指出哪些是极大值点,哪些是极小值点？o（2）如果把函数图象改为导函数的图象?'yfxyfxyfx答：'yfx1、x1,x3,x5,x6是函数y=f(x)的极值点，其中x1,x5是函数y=f(x)的极大值点，x3,x6函数y=f(x)的极小值点。2、x2,x4是函数y=f(x)的极值点,其中x2是函数y=f(x)的极大值点，x4是函数y=f(x)的极小值点。2020/2/26下面分两种情况讨论:（1）当，即x＞2,或x＜-2时;（2）当，即-2＜x＜2时。例4：求函数的极值.31443fxxx31443fxxx'2422fxxxx'0fx'0,fx解:∵∴'0fx当x变化时，的变化情况如下表：',fxfxx'fxfx,22,22,28343∴当x=-2时,f(x)的极大值为28(2)3f423f令解得x=2,或x=-2.0022单调递增单调递增单调递减当x=2时,f(x)的极小值为222020/2/26（2）如果在附近的左侧，右侧，那么是极小值归纳：求函数y=f(x)极值的方法是:（1）如果在附近的左侧，右侧，那么是极大值；解方程，当时：'0fx0fx'0fx0x'00fx0fx0x'0fx'0fx'0fx练习：1、下列结论中正确的是（）。A、导数为零的点一定是极值点。B、如果在x0附近的左侧f'(x)0,右侧f'(x)0,那么f(x0)是极大值。C、如果在x0附近的左侧f'(x)0,右侧f'(x)0,那么f(x0)是极大值。Ｄ、极大值一定大于极小值。B3fxx0xy2020/2/26巩固练习：1、求函数的极值33fxxx解:∵∴令，得，或下面分两种情况讨论：（1）当，即时；（2）当，即，或时。当变化时，的变化情况如下表：33fxxxx'fxfx,11,11,20011单调递增单调递减单调递减∴当时,有极小值，并且极小值为2.'0fx当时,有极大值，并且极大值为'233fxx'2330fxx1x1.x'0fx11x1x1x2)(xf)(xf2.1x1xx',fxfx2020/2/26思考：已知函数在处取得极值。（1）求函数的解析式（2）求函数的单调区间322fxaxbxx2,1xxfxfx解：（1）∵在取得极值，∴即解得∴（2）∵，由得∴的单调增区间为由得的单调减区间为'2322fxaxbxfx2,1xx124203220abab11,32ab3211232fxxxx'22fxxx'0fx12xx或fx'0fx21xfx)1,2(,21,0)1(,0)2(ff2020/2/26课堂小结:一、方法:(1)确定函数的定义域(2)求导数f'(x)(3)求方程f'(x)=0的全部解(4)检查f'(x)在f'(x)=0的根左.右两边值的符号,如果左正右负(或左负右正),那么f(x)在这个根取得极大值或极小值二、通过本节课使我们学会了应用数形结合法去求函数的极值，并能应用函数的极值解决函数的一些问题今天我们学习函数的极值,并利用导数求函数的极值2020/2/262020/2/26xoyax1by=f(x)x2x3x4x5x6最值是相对函数定义域整体而言的.极值反映的是函数在某一点附近的局部性质.注意:※温故知新极值最值不唯一极大值和极小值大小不定只能是内点值，不能为端点值唯一最大值一定比最小值大两者都有可能2020/2/26xoybay=f(x)oyxy=f(x)abx1x2x4如果在闭区间【a，b】上函数y=f（x）的图像是一条连续不断的曲线，那么它必定有最大值和最小值。所有极值连同端点函数值进行比较，最大的为最大值，最小的为最小值※探究新知x3xoyax1by=f(x)x2x3x4x5x62020/2/26※典型例题3()61233fxxx求函数在，上的最大值与最小值.'2'31233,30,22(2)22(2)10(3)15,(3)3()6123310.fxxxfxxxfffffxxx解：令解得：或又，，所以函数在，上的最大值为22，最小值为1、求出所有导数为0的点；2、计算；3、比较确定最值。在闭区间上求函数最值时，必须确定函数的极大值和极小值吗？2020/2/26※动手试试求下列函数在给定区间上的最大值与最小值：31()274,4fxxxx、312()612,33fxxxx、33()32,3fxxxx、2020/2/26※典型例题322()2622371a2()22fxxxafx例题：已知函数在，上有最小值求实数的值；求在，上的最大值。反思：本题属于逆向探究题型；其基本方法最终落脚到比较极值与端点函数值大小上，从而解决问题，往往伴随有分类讨论。2020/2/26※拓展提高我们知道，如果在闭区间【a，b】上函数y=f（x）的图像是一条连续不断的曲线，那么它必定有最大值和最小值；那么把闭区间【a，b】换成开区间（a,b）是否一定有最值呢？2020/2/26函数f(x)有一个极值点时，极值点必定是最值点。有两个极值点时，函数有无最值情况不定。2020/2/26如果函数f(x)在开区间（a,b）上只有一个极值点，那么这个极值点必定是最值点。2020/2/2621x402fxx3讨论函数（）=4x在，的最值情况。※动手试试2020/2/26小结：1、基本知识2、基本思想2020/2/26补充练习:1．下列说法正确的是()(A)函数的极大值就是函数的最大值(B)函数的极小值就是函数的最小值(C)函数的最值一定是极值(D)若函数的最值在区间内部取得,则一定是极值.2.函数y=f(x)在区间［a,b］上的最大值是M，最小值是m,若M=m,则()fx()(A)等于0(B)大于0(C)小于0(D)以上都有可能3.函数y=432111432xxx,在［－1,1］上的最小值为()(A)0(B)－2(C)－1(D)1213ADA