1.3-导数在研究函数中的应用

导数在研究函数中的应用判断函数单调性有哪些方法？比如：判断函数的单调性。yx2(,0)(0,)33?yxxxyo2yx函数在上为____函数，在上为____函数。图象法定义法减增如图：(,0)在上递减(0,)在上递增单调性导数的正负函数及图象xyo2()fxxyox()fxxyox()fxx在上递增(,)在上递减(,)'()10fx'()10fx'()20fxx'()20fxxab(,)在某个区间内,fx'()0fxab()(,)在内单调递增fx'()0fxab()(,)在内单调递减注意：应正确理解“某个区间”的含义，它必是定义域内的某个区间。根据导数的几何意义,当曲线上升时,()0fx;当曲线下降时,()0fx,反之也成立.yx0abc()0fx()0fx函数的单调性与导数的符号有如下关系:在某个区间(,)ab内,如果()0fx,那么函数()yfx在这个区间内单调递增；如果()0fx，那么函数()yfx在这个区间内单调递减．注:如果()0fx,那么函数是常数函数．已知导函数的下列信息：4'()0;41'()0;41'()0.xfxxxfxxxfx当1时，当或时，当或时，试画出函数图象的大致形状。()fx分析：()fx在此区间递减()fx在此区间递增()fxx图象在此两处附近几乎没有升降变化,切线平行轴解：的大致形状如右图：()fx这里，称A,B两点为“临界点”ABxyo14()yfxooo例2、判断下列函数的单调性，并求出单调区间：(1)f(x)=x3+3x;解：=3x2+3=3(x2+1)0)(xf从而函数f(x)=x3+3x在x∈R上单调递增，见右图。xyoxxxf3)(3xyo132)(2xxxf(2)f(x)=x2-2x-3;解：=2x-2=2(x-1)0)(xf图象见右图。当0，即x1时，函数单调递增；)(xf当0，即x1时，函数单调递减；)(xf.1,1)(）单调递减区间为（），，的单调递增区间为（xfxyoxxxfsin)((3)f(x)=sinx-x;x∈(0,p)解：=cosx-10)(xf从而函数f(x)=sinx-x在x∈(0,p)单调递减，见右图。.0)(），的单调递减区间为（pxf(4)f(x)=2x3+3x2-24x+1;解：=6x2+6x-24=6(x2+x-4)0)(xf当0，即时，函数单调递增；)(xf21712171xx或xyo图象见右图。当0，即时，函数单调递减；21712171x)(xf)2171,21712171,2171,)(单调递减区间为（），，（）为（的单调递增区间xf总结:当遇到三次或三次以上的,或图象很难画出的函数求单调性问题时，应考虑导数法。①求定义域②求'()fx③令'()0()'()0()fxfxfxfx解不等式的递增区间解不等式的递减区间1°什么情况下，用“导数法”求函数单调性、单调区间较简便？2°试总结用“导数法”求单调区间的步骤？2.用导数法讨论函数的单调性的步骤：(1)确定函数的定义域（2）求出函数的导函数;(3)解不等式()0fx（()0fx），求得其解集，再根据解集写出增（减）区间;3.已知函数的单调性求参数的取值范围问题时常利用下面关系来求解：“若函数单调递增,则()0fx≥;若函数单调递减,则()0fx≤”.注意此时公式中的等号不能省略，否则漏解，但同时也要注意检验是否恒等于0,否则也可能会增解.4、函数的极值定义设函数f(x)在点x0附近有定义，•如果对X0附近的所有点，都有f(x)f(x0),则f(x0)是函数f(x)的一个极大值，记作y极大值=f(x0)；•如果对X0附近的所有点，都有f(x)f(x0),则f(x0)是函数f(x)的一个极小值，记作y极小值=f(x0)；oxyoxy0x0x◆函数的极大值与极小值统称为极值.(极值即峰谷处的值）使函数取得极值的点x0称为极值点1.下图是函数的图象,指出哪些是极大值点,哪些是极小值点.)(xfy三、函数极值的应用ybxx1Ox2x3x4x5x6)(xfyx0a2.思考：（1）极值点唯一吗（2）极大值一定比极小值大吗（3）极大值与极小值没有必然关系，极大值可能比极小值还小.注意：（1）极值是某一点附近的小区间而言的,是函数的局部性质,不是整体的最值;（2）函数的极值不一定唯一,在整个定义区间内可能有多个极大值和极小值；f(x)0yxOx1abyf(x)极大值点两侧极小值点两侧f(x)0f(x)0f(x)0极值点两侧导数正负符号有何规律?x2注意1:f(x0)=0，x0不一定是极值点,只能说是可疑点2:只有f(x0)=0且x0两侧单调性不同，x0才是极值点.3:求极值点，可以先求f(x0)=0的点，再列表判断单调性结论：极值点处，f(x)=0abxy)(xfy?Oabxy)(xfy?OA.1B.2C.3D.4函数的定义域为开区间,导函数)(xf内的图像如图所示，则函数在开区间内有（）个极小值点。)(xf),(ba),(ba),(ba)(xfAf(x)0f(x)0f(x)=0注意：数形结合以及原函数与导函数图像的区别拓展：x(–∞,–2)–2(–2,2)2(2,+∞)00f(x))31443fxxx奎屯王新敞新疆奎屯王新敞新疆例1：求函数的极值∴当x=–2时,f(x)有极大值：当x=2时,f(x)有极小值：328)2(f34)2(f.2x解:.4)(2xxf令解得或,0)(xf,2x当,即,或;当,即.0)(xf0)(xf2x2x22x当x变化时,的变化情况如下表:)(xf)(xf-+–+单调递增单调递减单调递增28343步骤2：解方程f(x)=0步骤1：确定定义域，求导步骤3：列表2.求极值的步骤①确定定义域②求f’(x)=0的根③并列成表格用方程f’(x)=0的根，顺次将函数的定义域分成若干个开区间，并列成表格由f’(x)在方程f’(x)=0的根左右的符号，来判断f(x)在这个根处取极值的情况求导—求极点—列表—求极值+-x0-+x0巩固练习1：求函数的极值)33fxxxx)'fx)fx),1)1,1)1,20011单调递增单调递减单调递减当时,有极大值，并且极大值为2)(xf)(xf∴当时,有极小值，并且极小值为2.2.1x1xx解:∵∴令，得，或下面分两种情况讨论：（1）当，即时；（2）当，即，或时。当变化时，的变化情况如下表：)33fxxx)'0fx)'233fxx)'2330fxx1x1.x)'0fx11x1x1x))',fxfx可以省略函数的最值xX2oaX3bx1y观察右边一个定义在区间[a,b]上的函数y=f(x)的图象，你能找出函数y=f（x）在区间[a，b]上的最大值、最小值吗？发现图中____________是极小值，_________是极大值，在区间上的函数的最大值是______，最小值是_______。f(x1)、f(x3)f(x2)f(b)f(x3)问题在于如果在没有给出函数图象的情况下，怎样才能判断出f(x3)是最小值，而f(b)是最大值呢？在闭区间[a,b]上的函数y=f(x)的图象是一条连续不断的曲线,则它必有最大值和最小值.xy0abx1x2x3x4f(a)f(x3)f(b)f(x1)f(x2)gg由图可见，最大值点与最小值点出现在区间端点或者极值点处。例1、求函数在[0，3]上的最大值与最小值.4431)(3xxxf解：)2)(2(42xxxy当x变化时，的变化情况如下表：yy,令，解得2,221xx0y+0—4y2(0，2)0xy(23)，34极小值31因此函数在[0，3]上的最大值为4，最小值为.4431)(3xxxf34例5求函数32yxxx在2,1的最值.因为可导函数的最值点在由导数为零的点和区间的两个端点组成的集合里面.解:∵2321yxx∴令0y即(31)(1)0xx解得121,13xx首先,求出所有导数为零的点∵当1x时,1y,当13x时,527y,当1x时,1y,当2x时,2y∴当2x时,取得min2y;当11xx或时,取得max1y.然后,比较区间端点处的函数值及所有导数为零的点的函数值.最后,下结论其中最大的为最大值,最小的为最小值.试概括用导数求最值的方法步骤.3.求函数最值的步骤求可导函数()fx在,ab上的最值的方法步骤：⑴求方程()0fx；⑵比较()0fx的根的函数值与端点处的函数值()fa、()fb大小，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值，得出函数)(xf在ba,上的最值.注：极值点不一定是最值点，最值点若在区间内部必是极值点.练习1、求函数f(x)=x2-4x+6在区间[1，5]内的最大值和最小值.故函数f(x)在区间[1,5]内的最大值为11,最小值为2.法二:利用导数来求(比较函数值)法一:将二次函数f(x)=x2-4x+6配方,利用二次函数单调性处理解:∵()24fxx令()0fx即24x=0,解得2x(2)2,(1)3,(5)11fff∵二，课前热身1.下列求导数运算正确的是x121x2ln1xA.（x+)′=1+B.(log2x)′=C.(3x)′=3xlog3eD.(x2cosx)′=－2xsinx32x2231xx32222xxx32222xxx2.函数y=ln(3－2x－x2)的导数为\.B.C.D..A新疆源头学子小屋特级教师王新敞@[e-mail]王新敞特级教师源头学子小屋新疆新疆源头学子小屋特级教师王新敞@[e-mail]王新敞特级教师源头学子小屋新疆新疆源头学子小屋特级教师王新敞@[e-mail]王新敞特级教师源头学子小屋新疆新疆源头学子小屋特级教师王新敞@[e-mail]王新敞特级教师源头学子小屋新疆新疆源头学子小屋特级教师王新敞@[e-mail]王新敞特级教师源头学子小屋新疆xxay3sin31sin3px4．函数在处有极值，则a=__新疆源头学子小屋特级教师王新敞@[e-mail]王新敞特级教师源头学子小屋新疆344xxy2,3新疆源头学子小屋特级教师王新敞@[e-mail]王新敞特级教师源头学子小屋新疆新疆源头学子小屋特级教师王新敞