选修2-2(1.3)导数在研究函数中的应用

导数在研究函数中的应用1.3.1函数的单调性与导数问题1：函数单调性的定义是什么?1.一般地，对于给定区间上的函数f(x)，如果对于这个个区间内任意两个自变量的值x1，x2，当x1x2时,(1)若f(x1)f(x2)，那么f(x)在这个区间上是增函数.(2)若f(x1)f(x2)，那么f(x)在这个区间上是减函数.2、由定义证明函数的单调性的一般步骤：(1)设x1、x2是给定区间的任意两个值，且x1x2；(2)作差f(x1)－f(x2)，并变形；(3)判断差的符号，从而得函数的单调性。问题2:如何判断或证明其在定义域内的单调性?问题情境上述证明中实质上体现了下述问题：0(0)yx即f（x）单调增（减）问题:导数大于0（或小于0）与函数单调增（减）是否有密切的关系呢?x1-x2＜0f(x1)－f(x2)＜0x1-x2＜0f(x1)－f(x2)00)()(2121xxxfxff(x)单调增0)()(2121xxxfxff(x)单调减下面我们通过函数y=x2－4x＋3的图象来考察一下：观察函数y=x2－4x＋3的图象：2yx0.......K0K=0K0思考:从图像中你发现了什么?1.函数的导数与函数的单调性的关系：x∈切线的斜率(正或负)f′(x)(0或0)f(x)=x2-4x+3(增或减)(2，+∞)(－∞,2)增函数减函数正负＞0＜0oxyabcd推广到一般情况结论：设函数y=f(x)在某个区间内有导数，如果在这个区间内f′(x)0，那么y=f(x)为这个区间内的增函数；如果在这个区间内f′(x)0，那么y=f(x)为这个区间内的减函数.(1)函数y=f(x)在区间I内单调增f′(x)0思考:下列命题正确吗?(用I表示某个区间)(2)在区间I内f′(x)≥0函数y=f(x)在I内单调增(1)函数y=f(x)在区间I内单调增f′(x)≥0不能不能例题分析例1(1)确定函数f(x)=x2－4x+3在哪个区间内是增函数，哪个区间内是减函数.(2)确定函数f(x)=2x3－6x2+7在哪个区间内是增函数，哪个区间内是减函数.解:f′(x)=(2x3－6x2+7)′=6x2－12x令6x2－12x＞0，解得x＞2或x＜0∴当x∈(－∞，0)时，f′(x)＞0，f(x)是增函数.当x∈(2，+∞)时，f′(x)＞0，f(x)是增函数.令6x2－12x＜0，解得0＜x＜2.∴当x∈(0，2)时，f′(x)＜0，f(x)是减函数.21fx=2x3-6x2+7xOy解题小结：如何用导数判断单调性、求单调区间？用导数法确定函数的单调性时的步骤是：注：单调区间不以“并集”出现。（2）求出函数f(x)的导函数（3）在定义域内求解不等式f′(x)0，求得其解集，再根据解集写出单调递增区间（4）在定义域内求解不等式f′(x)0，求得其解集，再根据解集写出单调递减区间（1）确定函数f(x)的定义域思考:如何用导数证明函数在某个区间上的单调性呢?例2试确定函数f（x）=+sinx，x[0,2]的单调减区间.2x例3求证函数f(x)=x+（0，1）为单调减函数.x1-22-11fx=x+1xxOy感受与理解1、函数f(x)=x3-3x+1的减区间为()(A)(-1,1)(B)(1,2)(C)(-∞,-1)(D)(-∞,-1)，(1,+∞)2、若函数y=a(x3-x)的递减区间为()，则a的取值范围为()(A)a0(B)–1a1(C)a1(D)0a133,333、当x∈(-2,1)时，f(x)=2x3+3x2-12x+1是()(A)单调递增函数(B)单调递减函数(C)部分单调增，部分单调减(D)单调性不能确定AAB4.函数y=xcosx-sinx在下面哪个区间上是增函数（）A（π/2，3π/2）B（2π，3π）C（3π/2，5π/2）D（π，2π）5．确定下列函数的单调区间(1)y=x3－9x2+24x(2)y=x－x3(3)y=ex-x+1D课堂小结(1)这节课你懂了什么知识?(2)用你所学知识能解决哪些类型的问题?(3)解题中有失误吗,什么地方值得你注意？1.3.2利用导数研究函数的极值aby=f(x)xoyy=f(x)xoyabf'(x)0f'(x)01.定义:一般地,设函数y=f(x)在某个区间（a，b）内有导数,如果在这个区间内f′(x)0,那么函数y=f(x)为这个区间内的增函数;如果在这个区间内f′(x)0,那么函数y=f(x)为这个区间内的减函数.一、复习回顾:如果在某个区间内恒有,则为常数函数.0)(xf)(xf2.求函数单调区间的一般步骤①求函数的定义域;②求函数的导数f′(x);③解不等式f′(x)0得f(x)的单调递增区间;解不等式f′(x)0得f(x)的单调递减区间.关注用导数本质及其几何意义解决问题3.思考：观察下图，当t=t0时距地面的高度最大,那么函数h（t）在此点的导数是多少呢？此点附近的图象有什么特点？相应地，导数的符号有什么变化规律？二、新课讲解——函数的极值:1.观察：右下图为函数y=2x3-6x2+7的图象,从图象我们可以看出什么？函数在X=0的函数值比它附近所有各点的函数值都大，我们说f(0)是函数的一个极大值；函数在X=2的函数值比它附近所有各点的函数值都小，我们说f(2)是函数的一个极小值。x2y0已知函数y=f(x)，设x0是定义域（a,b)内任一点(1)如果对x0附近的所有点x,都有f(x0)f(x),则称f(x0)是函数y=f(x)的一个极大值.记作:y极大=f(x0)2.函数极值的定义(2)如果对x0附近的所有点x,都有f(x0)f(x),则称f(x0)是函数y=f(x)的一个极小值.记作:y极小=f(x0)极大值与极小值统称为极值极大值点与极小值点统称为极值点.3.思考：yabx1x2x3x4)(1xf)(4xfOx)(2xf)(3xf观察下述图象,试指出该函数的极值点与极值,并说出哪些是极大值点,哪些是极小值点.(1)极值是一个局部概念(2)极值点是自变量的值，极值指的是函数值;(3)函数的极大(小)值不是唯一的.(4)函数的极大值与极小值之间无法确定大小;(5)函数的极值点一定在区间的内部，区间的端点不能成为极值点。思考：极值与最值的区别?4.极值的几点说明yabx1x2x3x4)(1xf)(4xfOx)(2xf)(3xf(6)当可导函数f(x)在某区间上有有限极值点时,函数f(x)在该区间内的极大值点与极小值点是交替出现的.oaX00bxy0)(0xf0)(xf0)(xfoaX0bxy0)(0xf0)(xf0)(xf5.函数的极值与导数的关系(1)如果f/(x0)=0,并且在x0附近的左侧f/(x)0右侧f/(x)0,那么f(x0)是极大值（左正右负）(2)如果f/(x0)=0,并且在x0附近的左侧f/(x)0右侧f/(x)0,那么f(x0)是极小值（左负右正）从曲线的切线角度看,如果曲线在极值点处有切线，那么曲线在极值点处切线的斜率为0,并且,曲线在极大值点处切线的斜率左侧为正,右侧为负;曲线在极小值点处切线的斜率左侧为负,右侧为正.oaX00bxy0)(0xf0)(xf0)(xfoaX0bxy0)(0xf0)(xf0)(xf结合导数的几何意义思考探索思考:导数值为0的点一定是函数的极值点吗?可导函数的极值点一定是它导数为零的点,反之函数的导数为零的点,不一定是该函数的极值点.思考：y=x3在x=0处的导数？0)()(),(00xfxfxxf的极值点是函数结论：对于可导函数三、例题精讲:例1.解:).2)(2(42xxxy令,解得x1=-2,x2=2.0y当x变化时,,y的变化情况如下表:yx(-∞,-2)-2(-2,2)2(2,+∞)y’+0-0+y↗极大值28/3↘极小值-4/3↗因此,当x=-2时有极大值,并且,y极大=28/3;当x=2时有极小值,并且,y极小=-4/3.3144,3yxx求的极值并画出函数的大致图象987654321-3-2-143210yx(1)确定函数的定义域(2)求导函数f`(x)；(3)求解方程f`(x)=0；(4)检查f`(x)在方程f`(x)=0的根的左右的符号，并根据符号确定极大值与极小值.小结:用导数法求解函数极值的步骤：xxy27:3练习54,354,3极小极大yxyxx(-∞,-a)-a(-a,0)(0,a)a(a,+∞)f’(x)+0--0+f(x)↗极大值-2a↘↘极小值2a↗故当x=-a时,f(x)有极大值f(-a)=-2a;当x=a时,f(x)有极小值f(a)=2a.例2:求函数的极值.)0()(2axaxxf解:函数的定义域为),,0()0,(.))((1)(222xaxaxxaxf令,解得x1=-a,x2=a(a0).0)(xf当x变化时,,f(x)的变化情况如下表:)(xf练习:求函数的极值.216xxy解:.)1()1(6222xxy令=0,解得x1=-1,x2=1.y当x变化时,,y的变化情况如下表:yx(-∞,-1)-1(-1,1)1(2,+∞)y’-0+0-y↘极小值-3↗极大值3↘因此,当x=-1时有极小值,并且y极小=-3;当x=1时有极大值,并且y极大=3.例3:已知函数f(x)=-x3+ax2+b.(1)若函数f(x)在x=0,x=4处取得极值,且极小值为-1,求a、b的值.(2)若,函数f(x)图象上的任意一点的切线斜率为k,若k≥-1恒成立，试求a的取值范围.]1,0[x解:(1)由得x=0或x=2a/3.故2a/3=4,a=6.023)(2axxxf由于当x0时,当x0时,故当x=0时,f(x)有极小值f(0)=b,所以b=-1..0)(,0)(xfxf]1,0[x(2)等价于当时,-3x2+2ax≥-1恒成立,即g(x)=3x2-2ax-1≤0对一切恒成立.]1,0[x由于g(0)=-1≤0,结合图像知只需g(1)=2-2a≤0,即a≥1.例4:已知f(x)=ax5-bx3+c在x=1处有极值,且极大值为4,极小值为0.试确定a,b,c的值.解:).35(35)(2224baxxbxaxxf由题意,应有根,故5a=3b,于是:10)(xxf).1(5)(22xaxxf(1)设a0,列表如下:x-1(-1,1)1+0-0+f(x)↗极大值↘极小值↗)(xf)1,(),1(由表可得,即.04)1(0)1(4cbacbaff又5a=3b,解得a=3,b=5,c=2.(2)设a0,列表如下:x-1(-1,1)1-0+0-f(x)↘极小值↗极大值↘)1,(),1()(xf由表可得,即.04)1(0)1(4cbacbaff又5a=3b,解得a=-3,b=-5,c=2.四、课堂总结2.若函数f(x)可导,判别f(x0)是极大(小)值的方法是:(1)如果在x0附近的左侧右侧那么f(x0)是极大值;,0)(,0)(xfxf(2)如果在x0附近的左侧右侧那么,f(x0)是极小值.,0)(,0)(xfxf(1)确定函数的定义域(2)求导函数f`(x)；(3)求解方程f`(x)=0；(4)检查f`(x)在方程f`(x)=0的根的左右的符号，并根据符号确定极大值与极小值.1.用导数法求解函数极值的步骤：一般地，设函数y=f(x)在x=x0及其附近有定义，如果f(x0)的值比x0附近所有各点的函数值都大，我们就说f(x0)是函数的一个极大值，如果f(x0)的值比x0附近所有各点的函数值都小，我们就说f(x0)是函数的一个极小值。极大值与极小值统称为极值.函数极值的定义——复习:如果x0是f’(x)=0的一个