《一元二次不等式及其解法》练习题

1一元二次不等式及其解法一、选择题1．设集合A＝{x|x2－2x－30}，B＝{x|1≤x≤4}，则A∩B＝()A．{x|1≤x3}B．{x|1≤x≤3}C．{x|3x≤4}D．{x|3≤x≤4}2．不等式x－2x＋1≤0的解集是()A．(－∞，－1)∪(－1,2]B．(－1,2]C．(－∞，－1)∪[2，＋∞)D．[－1,2]3．若不等式ax2＋bx＋c0的解集是(－4,1)，则不等式b(x2－1)＋a(x＋3)＋c0的解集为()A．(－43，1)B．(－∞，1)∪(43，＋∞)C．(－1,4)D．(－∞，－2)∪(1，＋∞)4．在R上定义运算：x*y＝x(1－y)．若不等式(x－y)*(x＋y)1对一切实数x恒成立，则实数y的取值范围是()A．(－12，32)B．(－32，12)C．(－1,1)D．(0,2)5．若函数f(x)＝(a2＋4a－5)x2－4(a－1)x＋3的图象恒在x轴上方，则a的取值范围是()A．[1,19]B．(1,19)C．[1,19)D．(1,19]6．设f(x)＝x2＋bx－3，且f(－2)＝f(0)，则f(x)≤0的解集为()A．(－3,1)B．[－3,1]C．[－3，－1]D．(－3，－1]二、填空题7．已知函数y＝(m－1)x2－mx－m的图象如图，则m的取值范围是________．8．已知f(x)＝x2，x≥0－x2＋3x，x0，则不等式f(x)f(4)的解集为________．9．如果不等式2x2＋2mx＋m4x2＋6x＋3＜1对一切实数x均成立，则实数m的取值范围是________．2三、解答题10．解下列不等式：(1)－x2＋2x－23＞0；(2)8x－1≤16x2.11．已知函数f(x)＝－x2＋ax＋b2－b＋1(a∈R，b∈R)，对任意实数x都有f(1－x)＝f(1＋x)成立，若当x∈[－1,1]时，f(x)0对x∈[－1,1]恒成立，求b的取值范围．12．某商品在最近30天内的销售价格f(t)与时间t(单位：天)的函数关系是f(t)＝t＋10(0t≤30，t∈N)；销售量g(t)与时间t的函数关系是g(t)＝－t＋35(0t≤30，t∈N)，记日销售金额为Φ(t)(单位：元)，若使该种商品日销售金额不少于450元，求时间t满足的条件．3详解答案一、选择题1．解析：由x2－2x－30，得(x－3)(x＋1)0，即－1x3.∴A＝{x|－1x3}．又∵B＝{x|1≤x≤4}，∴A∩B＝{x|1≤x3}．答案：A2．解析：∵x－2x＋1≤0等价于(x－2)(x＋1)≤0，(x≠－1)∴－1x≤2.答案：B3．解析：由不等式ax2＋bx＋c0的解集为(－4,1)知a0，－4和1是方程ax2＋bx＋c＝0的两根，∴－4＋1＝－ba，－4×1＝ca，即b＝3a，c＝－4a.故所求解的不等式为3a(x2－1)＋a(x＋3)－4a0，即3x2＋x－40，解得－43x1.答案：A4．解析：由题意知，(x－y)*(x＋y)＝(x－y)[1－(x＋y)]1对一切实数x恒成立，∴－x2＋x＋y2－y－10对于x∈R恒成立，故Δ＝12－4×(－1)×(y2－y－1)0，∴4y2－4y－30，解得－12y32.答案：A5．解析：函数图象恒在x轴上方，即不等式(a2＋4a－5)x2－4(a－1)x＋30对于一切x∈R恒成立．(1)当a2＋4a－5＝0时，有a＝－5或a＝1.若a＝－5，不等式化为24x＋30，不满足题意；若a＝1，不等式化为30，满足题意．(2)当a2＋4a－5≠0时，应有a2＋4a－50a－2－a2＋4a－，解得1a19.综上可知，a的取值范围是1≤a19.答案：C46．解析：∵f(－2)＝f(0)，∴x＝－b2＝－2＋02＝－1，而b＝2.∴f(x)≤0⇒x2＋2x－3≤0⇒(x＋3)(x－1)≤0，∴－3≤x≤1.答案：B二、填空题7．解析：由图可知m－10Δ0－－mm－0，所以0m45.答案：0，458．解析：f(4)＝2，即不等式为f(x)2.当x≥0时，由x22，得0≤x4；当x0时，由－x2＋3x2，得x1或x2，因此x0.综上，有0≤x4或x0，即x4，故f(x)f(4)的解集为{x|x4}．答案：{x|x4}9．解析：由于4x2＋6x＋3＞0，所以不等式可化为2x2＋2mx＋m＜4x2＋6x＋3，即2x2＋(6－2m)x＋(3－m)＞0.依题意有(6－2m)2－8(3－m)＜0，解得1＜m＜3.答案：(1,3)三、解答题10．解：(1)两边都乘－3，得3x2－6x＋2＜0，∵3x2－6x＋2＝0的解是x1＝1－33，x2＝1＋33，∴原不等式的解集为{x|1－33＜x＜1＋33}．(2)法一：∵原不等式即为16x2－8x＋1≥0，其相应方程为16x2－8x＋1＝0，Δ＝(－8)2－4×16＝0.∴上述方程有两相等实根x＝14.结合二次函数y＝16x2－8x＋1的图象知，5原不等式的解集为R.法二：8x－1≤16x2⇔16x2－8x＋1≥0⇔(4x－1)2≥0，∴x∈R，∴原不等式的解集为R.11．解：由f(1－x)＝f(1＋x)，知f(x)的对称轴为x＝a2＝1，故a＝2.又f(x)开口向下，所以当x∈[－1,1]时，f(x)为增函数，f(x)min＝f(－1)＝－1－2＋b2－b＋1＝b2－b－2，f(x)0对x∈[－1,1]恒成立，即f(x)min＝b2－b－20恒成立，解得b－1或b2.12．解：由题意知Φ(t)＝f(t)g(t)＝(t＋10)(－t＋35)＝－t2＋25t＋350(0t≤30，t∈N)，由Φ(t)≥450得－t2＋25t＋350≥450⇔t2－25t＋100≤0⇔5≤t≤20.所以若使该种商品日销售金额不少于450元，则时间t满足t∈[5,20](t∈N)．