高考文科数学解答题专项训练(含解析)

20XX届高考文科数学---解答题专项训练中档题满分练(一)1．(2015·山东高考)在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c.已知cosB＝33，sin(A＋B)＝69，ac＝23，求sinA和c的值．2．一个盒子里装有三张卡片，分别标记有数字1，2，3，这三张卡片除标记的数字外完全相同．随机有放回地抽取3次，每次抽取1张，将抽取的卡片上的数字依次记为a，b，c.(1)求“抽取的卡片上的数字满足a＋b＝c”的概率；(2)求“抽取的卡片上的数字a，b，c不完全相同”的概率．3.在如图所示的多面体中，四边形ABB1A1和ACC1A1都为矩形．(1)若AC⊥BC，证明：直线BC⊥平面ACC1A1；(2)设D，E分别是线段BC，CC1的中点，在线段AB上是否存在一点M，使直线DE∥平面A1MC？请证明你的结论．4．(2015·湖北高考)设等差数列{an}的公差为d，前n项和为Sn，等比数列{bn}的公比为q，已知b1＝a1，b2＝2，q＝d，S10＝100.(1)求数列{an}，{bn}的通项公式；(2)当d1时，记cn＝anbn，求数列{cn}的前n项和Tn.中档题满分练(二)1．已知函数f(x)＝2asinωxcosωx＋23cos2ωx－3(a＞0，ω＞0)的最大值为2，且最小正周期为π.(1)求函数f(x)的解析式及其对称轴方程；(2)若f(α)＝43，求sin4α＋π6的值．2．(2015·西安调研)对于给定数列{an}，如果存在实常数p，q，使得an＋1＝pan＋q对于任意n∈N*都成立，我们称数列{an}是“M类数列”．(1)已知数列{bn}是“M类数列”且bn＝3n，求它对应的实常数p，q的值；(2)若数列{cn}满足c1＝－1，cn－cn＋1＝2n(n∈N*)，求数列{cn}的通项公式，判断{cn}是否为“M类数列”并说明理由．3.如图，四棱锥PABCD的底面是边长为8的正方形，四条侧棱长均为217.点G，E，F，H分别是棱PB，AB，CD，PC上共面的四点，平面GEFH⊥平面ABCD，BC∥平面GEFH.(1)证明：GH∥EF；(2)若EB＝2，求四边形GEFH的面积．4．某企业有甲、乙两个研发小组．为了比较他们的研发水平，现随机抽取这两个小组往年研发新产品的结果如下：(a，b)，(a，b－)，(a，b)，(a－，b)，(a－，b－)，(a，b)，(a，b)，(a，b－)，(a－，b)，(a，b－)，(a－，b－)，(a，b)，(a，b－)，(a－，b)，(a，b)其中a，a－分别表示甲组研发成功和失败；b，b－分别表示乙组研发成功和失败．(1)若某组成功研发一种新产品，则给该组记1分，否则记0分．试计算甲、乙两组研发新产品的成绩的平均数和方差，并比较甲、乙两组的研发水平；(2)若该企业安排甲、乙两组各自研发一种新产品，试估计恰有一组研发成功的概率．中档题满分练(三)1．已知向量a＝(2sinx，－cosx)，b＝(3cosx，2cosx)，f(x)＝a·b＋1.(1)求函数f(x)的最小正周期，并求当x∈－π12，2π3时f(x)的取值范围；(2)将函数f(x)的图象向左平移π3个单位，得到函数g(x)的图象，在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若gA2＝1，a＝2，b＋c＝4，求△ABC的面积．2．(2015·安徽高考)某企业为了解下属某部门对本企业职工的服务情况，随机访问50名职工，根据这50名职工对该部门的评分，绘制频率分布直方图(如图所示)，其中样本数据分组区间为[40，50)，[50，60)，…，[80，90)，[90，100]．(1)求频率分布直方图中a的值；(2)估计该企业的职工对该部门评分不低于80的概率；(3)从评分在[40，60)的受访职工中，随机抽取2人，求此2人的评分都在[40，50)的概率．3．(2015·浙江高考)如图，在三棱柱ABCA1B1C1中，∠BAC＝90°，AB＝AC＝2，A1A＝4，A1在底面ABC的射影为BC的中点，D为B1C1的中点．(1)证明：A1D⊥平面A1BC；(2)求直线A1B和平面BB1C1C所成的角的正弦值．4．(2015·无锡质检)各项均为正数的数列{an}的前n项和为Sn，已知点(an－1，an)(n∈N*，n≥2)在函数y＝3x的图象上，且S4＝80.(1)求数列{an}的通项公式；(2)在an与an＋1之间插入n个数，使这n＋2个数组成公差为dn的等差数列，设数列1dn的前n项和为Pn.①求Pn；②若16Pn＋6n3n≤40027成立，求n的最大正整数值．压轴题突破练1．(2015·四川高考)已知函数f(x)＝－2xlnx＋x2－2ax＋a2，其中a0.(1)设g(x)是f(x)的导函数，讨论g(x)的单调性；(2)证明：存在a∈(0，1)，使得f(x)≥0恒成立，且f(x)＝0在区间(1，＋∞)内有唯一解．2．(2015·北京高考)已知椭圆C：x2＋3y2＝3，过点D(1，0)且不过点E(2，1)的直线与椭圆C交于A，B两点，直线AE与直线x＝3交于点M.(1)求椭圆C的离心率；(2)若AB垂直于x轴，求直线BM的斜率；(3)试判断直线BM与直线DE的位置关系，并说明理由．3．(2015·浙江高考)设函数f(x)＝x2＋ax＋b(a，b∈R)．(1)当b＝a24＋1时，求函数f(x)在[－1，1]上的最小值g(a)的表达式；(2)已知函数f(x)在[－1，1]上存在零点，0≤b－2a≤1，求b的取值范围．4．已知椭圆x2a2＋y2b2＝1(a＞b＞0)的离心率为e，半焦距为c，B(0，1)为其上顶点，且a2，c2，b2依次成等差数列．(1)求椭圆的标准方程和离心率e；(2)P，Q为椭圆上的两个不同的动点，且kBP·kBQ＝e2.(ⅰ)试证直线PQ过定点M，并求出M点坐标；(ⅱ)△PBQ是否可以为直角三角形？若是，请求出直线PQ的斜率；否则请说明理由．参考答案中档题满分练(一)1．解在△ABC中，由cosB＝33，得sinB＝63，因为A＋B＋C＝π，所以sinC＝sin(A＋B)＝69.因为sinC＜sinB，所以C＜B，可知C为锐角．所以cosC＝539.因此sinA＝sin(B＋C)＝sinBcosC＋cosBsinC＝63×539＋33×69＝223.由asinA＝csinC，可得a＝csinAsinC＝223c69＝23c，又ac＝23，所以c＝1.2．解(1)由题意，(a，b，c)所有的可能为(1，1，1)，(1，1，2)，(1，1，3)，(1，2，1)，(1，2，2)，(1，2，3)，(1，3，1)，(1，3，2)，(1，3，3)，(2，1，1)，(2，1，2)，(2，1，3)，(2，2，1)，(2，2，2)，(2，2，3)，(2，3，1)，(2，3，2)，(2，3，3)，(3，1，1)，(3，1，2)，(3，1，3)，(3，2，1)，(3，2，2)，(3，2，3)，(3，3，1)，(3，3，2)，(3，3，3)，共27种．设“抽取的卡片上的数字满足a＋b＝c”为事件A，则事件A包括(1，1，2)，(1，2，3)，(2，1，3)，共3种．所以P(A)＝327＝19.因此，“抽取的卡片上的数字满足a＋b＝c”的概率为19.(2)设“抽取的卡片上的数字a，b，c不完全相同”为事件B，则事件B－包括(1，1，1)，(2，2，2)，(3，3，3)，共3种．所以P(B)＝1－P(B－)＝1－327＝89.因此，“抽取的卡片上的数字a，b，c不完全相同”的概率为89.3．(1)证明因为四边形ABB1A1和ACC1A1都是矩形，所以AA1⊥AB，AA1⊥AC.因为AB，AC为平面ABC内两条相交直线，所以AA1⊥平面ABC.因为直线BC⊂平面ABC，所以AA1⊥BC.又由已知，AC⊥BC，AA1，AC为平面ACC1A1内两条相交直线，所以BC⊥平面ACC1A1.(2)解取线段AB的中点M，连接A1M，MC，A1C，AC1，设O为A1C，AC1的交点．由已知可知，O为AC1的中点．连接MD，OE，则MD，OE分别为△ABC，△ACC1的中位线，所以，MD綉12AC，OE綉12AC，因此MD綉OE.连接OM，从而四边形MDEO为平行四边形，则DE∥MO.因为直线DE⊄平面A1MC，MO⊂平面A1MC，所以直线DE∥平面A1MC.即线段AB上存在一点M(线段AB的中点)，使直线DE∥平面A1MC.4．解(1)由题意有10a1＋45d＝100，a1d＝2，即2a1＋9d＝20，a1d＝2，解得a1＝1，d＝2或a1＝9，d＝29.故an＝2n－1，bn＝2n－1或an＝19（2n＋79），bn＝9·29n－1.(2)由d1，知an＝2n－1，bn＝2n－1，故cn＝2n－12n－1，于是Tn＝1＋32＋522＋723＋924＋…＋2n－12n－1，①12Tn＝12＋322＋523＋724＋925＋…＋2n－32n－1＋2n－12n.②①－②可得12Tn＝2＋12＋122＋…＋12n－2－2n－12n＝3－2n＋32n，故Tn＝6－2n＋32n－1.中档题满分练(二)1．解(1)f(x)＝asin2ωx＋3cos2ωx＝a2＋3sin(2ωx＋φ)(其中cosφ＝aa2＋3，sinφ＝3a2＋3)，由题意知：f(x)的最小正周期为π，由2π2ω＝π，知ω＝1，由f(x)最大值为2，故a2＋3＝2，又a＞0，∴a＝1，则有cosφ＝12，sinφ＝32，取φ＝π3.∴f(x)＝2sin2x＋π3，令2x＋π3＝kπ＋π2，得x＝π12＋kπ2(k∈Z)．故f(x)的对称轴方程为x＝π12＋kπ2(k∈Z)．(2)由f(α)＝43知2sin2α＋π3＝43，即sin2α＋π3＝23，∴sin4α＋π6＝sin22α＋π3－π2＝－cos22α＋π3＝－1＋2sin22α＋π3＝－1＋2×232＝－19.2．解(1)∵bn＝3n，则bn＋1＝3n＋3＝bn＋3，由“M类数列”定义，得p＝1，q＝3.(2)∵cn－cn＋1＝2n(n∈N*)，∴cn＋1－cn＝－2n(n∈N*)，则c2－c1＝－2，c3－c2＝－4，c4－c3＝－8，…∴cn－cn－1＝－2n－1(n≥2)，以上式子累加得cn＝－(1＋2＋4＋…＋2n－1)＝1－2n(n≥2)，其中c1＝－1也满足上式．因此cn＝1－2n(n∈N*)，则cn＋1＝1－2n＋1＝2(1－2n)－1＝2cn－1，{cn}是“M类数列”．3．(1)证明因为BC∥平面GEFH，BC⊂平面PBC，且平面PBC∩平面GEFH＝GH，所以GH∥BC.同理可证EF∥BC，因此GH∥EF.(2)解连接AC，BD交于点O，BD交EF于点K，连接OP，GK.因为PA＝PC，O是AC的中点，所以PO⊥AC，同理可得PO⊥BD.又BD∩AC＝O，且AC，BD都在底面内，所以PO⊥底面ABCD.又因为平面GEFH⊥平面ABCD，且PO⊄平面GEFH，所以PO∥平面GEFH.因为平面PBD∩平面GEFH＝GK，所以PO∥GK，且GK⊥底面ABCD，从而GK⊥EF.所以GK是梯形GEFH的高．由AB＝8，EB＝2得EB∶AB＝KB∶DB＝1∶4，从而KB＝14DB＝12OB，即K为OB的中点．再由PO∥GK得GK＝12PO，即G是PB的中点，且GH＝12BC＝4.由已知可得OB＝42，PO＝PB2－OB2＝68－32＝6，所以GK＝3.故四边形GEFH的面积S＝GH＋EF2·GK＝4＋82×3＝18.4．解(1)甲组研发新产品的成绩为1，1，1，0，0，1，1，1，0，1，0，1，1，0，1，其平均数为x－甲＝1015＝23；方差为s2甲＝115[(1－23)2×10＋(0－23)2