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第12课时反比例函数考点一反比例函数的概念考点聚焦一般地,形如y=𝑘𝑥(k为常数,k≠0)的函数,叫做反比例函数,其中x是自变量,y是函数.【温馨提示】(1)反比例函数中,自变量的取值范围是①;(2)解析式的变式:y=kx-1或xy=k(k≠0).x≠0一般形式y=kx(k为常数,k≠0),其图象上点的横、纵坐标之积为定值kk的符号k②0k③0图象所在象限第一、三象限第二、四象限考点二反比例函数的图象与性质增减性同一支上,y随x的增大而④;在两支上,第一象限y值大于第三象限y值同一支上,y随x的增大而⑤;在两支上,第二象限y值大于第四象限y值对称性关于直线y=x,y=-x成轴对称关于直线y=x,y=-x成轴对称关于⑥成中心对称小结(1)反比例函数的图象是双曲线,反比例函数的增减性由系数k决定;(2)反比例函数图象的两支在两个象限内,根据自变量的值比较相应函数值的大小时,应注意象限问题(续表)增大减小原点考点三反比例函数比例系数k的几何意义1.几何意义:过反比例函数y=𝑘𝑥(k≠0)图象上任意一点向两坐标轴作垂线,两条垂线与两坐标轴所围成的矩形的面积为|k|.2.常见的与反比例函数有关的图形面积S矩形OAPB=|k|S△AOP=⑦S△ABC=⑧S△APP1=⑨2|k||k||𝒌|𝟐考点四反比例函数解析式的确定待定系数法(1)设出反比例函数的解析式y=kx(k≠0);(2)找出图象上一点的坐标P(x0,y0);(3)将P(x0,y0)的坐标代入y=kx(k≠0),求出k的值;(4)写出解析式几何法题中涉及面积时,考虑用k的几何意义求解考点五反比例函数的实际应用利用反比例函数解决实际问题,关键是建立函数模型.建立函数模型的思路主要有两种:(1)已知函数类型,直接设出函数的解析式,根据题目提供的信息求得k的值;(2)题目本身未明确表明变量间的函数关系,此时需通过分析,先确定变量间的关系,再求解析式.考点六一次函数与反比例函数的综合问题一次函数与反比例函数的综合问题常涉及以下几个方面:(1)求交点坐标(联立解析式求解即可);(2)确定函数解析式(代入点的坐标求解);(3)求不等式的解集(借助图象);(4)与面积有关的问题(一般需要转化为规则图形).题组一必会题对点演练1.反比例函数y=2𝑥的图象在()A.第一、二象限B.第一、三象限C.第二、三象限D.第二、四象限BD2.点(2,-4)在反比例函数y=𝑘𝑥的图象上,则下列各点在此函数图象上的是()A.(2,4)B.(-1,-8)C.(-2,-4)D.(4,-2)B3.若点A(a,b)在反比例函数y=2𝑥的图象上,则代数式ab-4的值为()A.0B.-2C.2D.-6D4.反比例函数y=-1𝑥的图象上有两点P1(x1,y1),P2(x2,y2),若x10x2,则下列结论正确的是()A.y1y20B.y10y2C.y1y20D.y10y25.反比例函数y=𝑘𝑥的图象经过点(1,2),则反比例函数的解析式是.[答案]y=2𝑥[解析]将点(1,2)的坐标代入y=𝑘𝑥,得k=xy=2.【失分点】利用反比例函数的几何性质求反比例函数解析式时容易忽略图象所在的象限导致k的符号出错;给定自变量的取值范围,求因变量的取值范围易出错,应注意结合图象分析.题组二易错题-46.如图12-1,反比例函数y=𝑘𝑥在第二象限的图象上有一点A,过点A作AB⊥x轴于B,且S△AOB=2,则k的值为.图12-17.对于反比例函数y=6𝑥,当x2时,y的取值范围是;当x2时,y的取值范围是.y3或y00y3考向一确定反比例函数解析式例1[2019·房山期末改编]已知点A(1,a),B(2,-6)在反比例函数y=𝑘𝑥(x≠0)的图象上,则a的值为.[答案]-12[解析]∵点B(2,-6)反比例函数y=𝑘𝑥(x≠0)的图象上,∴k=xy=-12.∵点A(1,a)在反比例函数y=-12𝑥的图象上,∴1·a=-12,∴a=-12.故答案为:-12.【方法点析】确定反比例函数的解析式为中考常考考点之一,如果已知点在函数图象上,只需将点的坐标代入函数解析式.为降低计算难度,可直接用变形后的式子k=xy进行计算.|考向精练|1.[2019·海淀期末]已知(-1,y1),(2,y2)是反比例函数图象上两个点的坐标,且y1y2,请写出一个符合条件的反比例函数的解析式.y=-𝟏𝒙(答案不唯一)2.[2014·北京11题]如图12-2,在平面直角坐标系xOy中,正方形OABC的边长为2,写出一个函数y=𝑘𝑥(k≠0),使它的图象与正方形OABC有公共点,这个函数的表达式为.图12-2y=𝟏𝒙(答案不唯一)1≤k≤43.[2017·海淀一模]如图12-3,在平面直角坐标系xOy中,A(1,1),B(2,2),双曲线y=𝑘𝑥与线段AB有公共点,则k的取值范围是.图12-3考向二反比例函数的图象与性质例2[2019·门头沟二模]已知点A(1,m)与点B(3,n)都在反比例函数y=𝑘𝑥(k0)的图象上,那么m与n的关系是()A.mnB.mnC.m=nD.不能确定B【方法点析】反比例函数基本性质:当k0时,在每一象限内,y随x的增大而增大;当k0时,在每一象限内,y随x的增大而减小.想要解决问题,首先要快速地画出函数的大致图象,结合函数图象上点的位置,通过数形结合的方式直观地解决问题.|考向精练|1.[2019·房山期末]如图12-4,点P在反比例函数y=2𝑥的图象上,PA⊥x轴于点A,则△PAO的面积为()A.1B.2C.4D.6图12-4[答案]A[解析]依据比例系数k的几何意义可得,△PAO的面积=12|k|,即△PAO的面积=12×2=1,故选A.2.[2019·平谷期末]已知A(-2,y1),B(-1,y2)是反比例函数y=2𝑥图象上的两个点,则y1与y2的大小关系是()A.y1y2B.y1≤y2C.y1y2D.y1≥y2[答案]C[解析]∵反比例函数y=2𝑥,k=20,∴函数图象在第一、三象限,且每个象限内,y随x的增大而减小,∵A(-2,y1),B(-1,y2)是反比例函数y=2𝑥图象上的两点,-2-1,∴y1y2.故选C.3.[2019·北京]在平面直角坐标系xOy中,点A(a,b)(a0,b0)在双曲线y=𝑘1𝑥上.点A关于x轴的对称点B在双曲线y=𝑘2𝑥上,则k1+k2的值为.04.[2019·丰台期末]已知反比例函数y=𝑚-2𝑥,当x0时,y随x的增大而减小,则m的取值范围是.[答案]m2[解析]∵反比例函数y=𝑚-2𝑥,当x0时,y随x的增大而减小,∴m-20,解得m2.故答案为m2.考向三反比例函数的实际应用图12-5例3[2019·西城二模]某医药研究所开发一种新的药物,据监测,如果成年人按规定的剂量服用,服药后2小时,每毫升血液中的含药量达到最大值,之后每毫升血液中的含药量逐渐衰减.若一次服药后每毫升血液中的含药量y(单位:微克)与服药后的时间t(单位:小时)之间近似满足某种函数关系,下表是y与t的几组对应值,其部分图象如图12-5所示.t012346810…y0242.83210.50.25…(1)在所给平面直角坐标系中,继续描出上表中已列出数值所对应的点(t,y),并补全该函数的图象;(2)结合函数图象,解决下列问题:①某病人第一次服药后5小时,每毫升血液中的含药量约为微克;若每毫升血液中含药量不少于0.5微克时治疗疾病有效,则第一次服药后治疗该疾病有效的时间共持续约小时;②若某病人第一次服药后8小时进行第二次服药,第二次服药对血液中含药量的影响与第一次服药相同,则第二次服药后2小时,每毫升血液中的含药量约为微克.例3[2019·西城二模]某医药研究所开发一种新的药物,据监测,如果成年人按规定的剂量服用,服药后2小时,每毫升血液中的含药量达到最大值,之后每毫升血液中的含药量逐渐衰减.若一次服药后每毫升血液中的含药量y(单位:微克)与服药后的时间t(单位:小时)之间近似满足某种函数关系,下表是y与t的几组对应值,其部分图象如图12-5所示.(1)在所给平面直角坐标系中,继续描出上表中已列出数值所对应的点(t,y),并补全该函数的图象;图12-5t012346810…y0242.83210.50.25…解:本题答案不唯一,如:(1)图象如图所示.例3[2019·西城二模]某医药研究所开发一种新的药物,据监测,如果成年人按规定的剂量服用,服药后2小时,每毫升血液中的含药量达到最大值,之后每毫升血液中的含药量逐渐衰减.若一次服药后每毫升血液中的含药量y(单位:微克)与服药后的时间t(单位:小时)之间近似满足某种函数关系,下表是y与t的几组对应值,其部分图象如图12-5所示.t012346810…y0242.83210.50.25…图12-5(2)结合函数图象,解决下列问题:①某病人第一次服药后5小时,每毫升血液中的含药量约为微克;若每毫升血液中含药量不少于0.5微克时治疗疾病有效,则第一次服药后治疗该疾病有效的时间共持续约小时;②若某病人第一次服药后8小时进行第二次服药,第二次服药对血液中含药量的影响与第一次服药相同,则第二次服药后2小时,每毫升血液中的含药量约为微克.1.417.754.25|考向精练|[2019·海淀期末]近视镜镜片的焦距y(单位:米)是镜片的度数x(单位:度)的函数,下表记录了一组数据:x(单位:度)…100250400500…y(单位:米)…1.000.400.250.20…(1)在下列函数中,符合上述表格中所给数据的是;A.y=1100xB.y=100𝑥C.y=-1200x+32D.y=𝑥240000-13800x+198(2)利用(1)中的结论计算:当镜片的度数为200度时,镜片的焦距约为米.B0.50考向四反比例函数与一次函数综合角度1根据交点情况确定字母取值范围例4[2019·朝阳一模]如图12-6,在平面直角坐标系xOy中,点A在x轴上,点B在第一象限内,∠OAB=90°,OA=AB,△OAB的面积为2,反比例函数y=𝑘𝑥的图象经过点B.(1)求k的值;(2)已知点P坐标为(a,0),过点P作直线OB的垂线l,点O,A关于直线l的对称点分别为O',A',若线段O'A'与反比例函数y=𝑘𝑥的图象有公共点,直接写出a的取值范围.图12-6解:(1)∵△OAB的面积为2,∠OAB=90°,∴𝑘2=2.∴k=4.(2)-2≤a≤1-5或2≤a≤1+5.【方法点析】反比例函数与一次函数图象的交点问题的关键点:(1)正确画出反比例函数和一次函数的图象;(2)利用图象上点的坐标满足图象的解析式解决问题;(3)求字母取值范围时,要先确定临界点,再确定范围,最后要注意验证是否符合题意以及是否可以取等号.例5[2017·北京23题]如图12-7,在平面直角坐标系xOy中,函数y=𝑘𝑥(x0)的图象与直线y=x-2交于点A(3,m).(1)求k,m的值.(2)已知点P(n,n)(n0),过点P作平行于x轴的直线,交直线y=x-2于点M,过点P作平行于y轴的直线,交函数y=𝑘𝑥(x0)的图象于点N.①当n=1时,判断线段PM与PN的数量关系,并说明理由;②若PN≥PM,结合函数的图象,直接写出n的取值范围.角度2根据线段的数量关系确定字母的取值或取值范围图12-7解:(1)∵函数y=𝑘𝑥(x0)的图象与直线y=x-2交于点A(3,m),∴m=3-2=1,把A(3,1)的坐标代入y=𝑘𝑥得,k=3×1=3,即k的值为3,m的值为1.例5[2017·北京23题]如图12-7,在平面直角坐标系xOy中,函数y=𝑘𝑥(x0)的图象与直线y=x-2交于点A(3,m).(2)已知点P(n,n)(n0),过点P作平行于x轴的直线,交直线y=x-2于点M,过点P作平行于y轴的直线,交函数y=𝑘𝑥(x0)的