空间向量及其线性运算练习题及答案

【巩固练习】一、选择题1．下列各命题中，不正确的命题的个数为（）①||aaa②()()(,)mmmRabab③()()abcbca④22abbaA．4B．3C．2D．12.①若A、B、C、D是空间任意四点，则有0ABBCCDDA；②|a|－|b|＝|a＋b|是a、b共线的充要条件；③若a、b共线，则a与b所在直线平行；④对空间任意一点O与不共线的三点A、B、C，若OPxOAyOBzOC(其中x、y、z∈R)，则P、A、B、C四点共面．其中不正确命题的个数是()．A．1B．2C．3D．43.（2015秋衡阳校级期中）如图，在四面体ABCD中，E、F分别是棱AD、BC的中点，则向量EF与AB、CD的关系是（）A．1122EFABCDB．1122EFABCDC．1122EFABCDD．1122EFABCD4．已知A、B、C三点不共线，对平面ABC外的任一点O，下列条件中能确定点M与点A、B、C一定共面的是（）A．OCOBOAOMB．OCOBOAOM2C．OCOBOAOM3121D．OCOBOAOM3131315.（2014秋·福建校级期末）如图所示，在平行六面体ABCD—A1B1C1D1中，点E为上底面对角线A1C1的中点，若1BEAAxAByAD，则（）A．12x，12yB．12x，12yC．12x，12yD．12x，12y6．（2015四川校级模拟）已知O是平面上一定点，A、B、C是平面上不共线的三个点，动点P满足+0,|AB|sinB||sinABACOPOAACC（），则点P的轨迹一定通过ΔABC的（）A.外心B.内心C.重心D.垂心7．已知空间向量A，B，且2ABab，56BCab，72CDab，则一定共线的三点是（）．A．A、B、DB．A、B、CC．B、C、DD．A、C、D二、填空题8.如果两个向量a，b不共线，则p与a，b共面的充要条件是____________。9.已知平行六面体''''ABCDABCD，化简下列表达式：（1）''''ABBBDADDBC；（2）''ACACADAA。10．如图，已知空间四边形OABC，其对角线为OB、AC，M是边OA的中点,G是△ABC的重心，则用基向量OA、OB、OC表示向量MG的表达式为.11．已知O是空间任意一点，A、B、C、D四点满足任意三点均不共线，但四点共面，且234OAxBOyCOzDO=++uuruuuruuuruuur，则2x+3y+4z=________．三、解答题12．在空间四边形ABCD中，连结AC、BD，△BCD的重心为G，化简1322ABBCDGAD。ABCOMNG13．如图，已知空间四边形OABC，其对角线,OBAC，,MN分别是对边,OABC的中点，点G在线段MN上，且2MGGN，用基底向量,,OAOBOC表示向量OG奎屯王新敞新疆14．如右图，在直四棱柱ABCD—A1B1C1D1中，底面ABCD为等腰梯形，AB∥CD，AB=4，CD=2，E，E1，F分别是棱AD，AA1，AB的中点．证明：直线EE1∥平面FCC1．15.如图，已知P是平面四边形ABCD所在平面外一点，连接PA、PB、PD．点E、F、G、H分别为△PAB、△PBC、△PCD、△PDA的重心．求证：（1）E、F、G、H四点共面；（2）平面EFGH∥平面ABCD．【答案与解析】1．【答案】D【解析】①②③正确，④不正确。2．【答案】C【解析】①中四点恰好围成一封闭图形，正确；②中当a、b同向时，应有|a|＋|b|＝|a＋b|；③中a、b所在直线可能重合；④中需满足x＋y＋z＝1，才有P、A、B、C四点共面．3.【答案】C【解析】：连接AF，111111()()222222EFAFAEABACADABADACABCD，故选：C。4.【答案】D【解析】由111333OMOAOBOC可得30OMOAOBOCOMOAOMOBOMOC即AMBMCM所以AMBMCM与、在一个平面上，即点M与点A、B、C一定共面。5.【答案】A【解析】根据题意，得：11()2BEBBBABC11122AABABC11122AAABAD，又∵1BEAAxAByAD，∴12x，12y故选：A。6．【答案】C【解析】||sin||sinCABBAC，设它们等于t,1()OPOAABACt而2ABACAD1()ABACt表示与AD共线的向量AP而点D是BC的中点，所以即P的轨迹一定通过三角形的重心。故选C。7．【答案】A【解析】∵242BDBCCDabAB，∴A、B、D三点共线，故选A。8.【答案】存在实数对（,xy），使pxayb．【解析】由共面定理可得。9.【答案】（1）AB；（2）AD。【解析】由加减法的几何意义可得。10．【答案】MG=-61OA+31OB+31OC【解析】如图所示，连AG延长交BC于E，MG=MA+AG=21OA+32AE=21OA+32·21(AB+AC)=21OA+31(OB-OA)+31(OC-OA)=-61OA+31OB+31OC.11．【答案】－1【解析】234234OAxBOyCOzDOxOByOCzOD，由A、B、C、D四点共面的充要条件，知(―2x)+(―3y)+(―4z)=1，即2x+3y4z=―1。12．【解析】设E为BC的中点，133222ABBCDGADABBEADDG3322AEADDGDEDG33202GEGE。13.【解析】OGOMMGABCOMNG2312()231211[()]2322111()233111633OMMNOAONOMOAOBOCOAOAOBOCOAOAOBOC∴OCOBOAOG313161奎屯王新敞新疆14．【解析】由题意知2ABDC，∵F是AB的中点，∴12AFABDC，∴四边形AFCD是平行四边形，∴ADFC。∵E，E1分别是AD，AA1的中点，∴111111112222EEAEAEAAADCCFC。又1CC与FC不共线，根据向量共面的充要条件可知1EE，1CC，FC共面。∵EE1不在平面FCC1内，∴EE1∥平面FCC1。15.【解析】（1）连接PE、PF、PG、PH，分别延长PE、PF、PG、PH交对边于M、M、Q、R．∵E、F、G、H分别是所在三角形的重心．∴M、N、P、R为所在边的中点，顺次连接MNPR所得四边形为平行四边形．且有23PEPM，23PFPN，23PGPQ，23PHPR．∵四边形MNQR为平行四边形，则222333EGPGPEPQPMMQ2()3MNMR22()()33PNPMPRPM233233322322PFPEPHPEEFEH．∴由共面向量定理得E、F、G、H四点共面．（2）由（1）知32MQEG．∴MQ∥EC，从而EG∥面AC．又333222MNPNPMPFPEEF，∴MN∥EF，∴EF∥面AC．又∵EG∩EF=E，∴平面EFGH∥平面ABCD．