5.1-平面向量的概念及线性运算练习题

§5.1平面向量的概念及线性运算一、选择题1.已知两个非零向量a，b满足|a+b|=|ab|，则下面结论正确的是（）A.a∥bB.a⊥bC.{0,1,3}D.a+b=ab答案B2．对于非零向量a，b，“a＋b＝0”是“a∥b”的()．A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件解析若a＋b＝0，则a＝－b.∴a∥b；若a∥b，则a＝λb，a＋b＝0不一定成立．答案A3．设P是△ABC所在平面内的一点，BC→＋BA→＝2BP→，则()．A.PA→＋PB→＝0B.PC→＋PA→＝0C.PB→＋PC→＝0D.PA→＋PB→＋PC→＝0解析如图，根据向量加法的几何意义，BC→＋BA→＝2BP→⇔P是AC的中点，∴PA→＋PC→＝0.答案B4．已知向量a＝(x,2)，b＝(3，－1)，若(a＋b)∥(a－2b)，则实数x的值为()A．－3B．2C．4D．－6解析因为(a＋b)∥(a－2b)，a＋b＝(x＋3,1)，a－2b＝(x－6,4)，∴4(x＋3)－(x－6)＝0，x＝－6.答案D5．在四边形ABCD中，AB→＝a＋2b，BC→＝－4a－b，CD→＝－5a－3b，则四边形ABCD的形状是()．A．矩形B．平行四边形C．梯形D．以上都不对解析由已知AD→＝AB→＋BC→＋CD→＝－8a－2b＝2(－4a－b)＝2BC→.∴AD→∥BC→，又AB→与CD→不平行，∴四边形ABCD是梯形．答案C6．已知△ABC和点M满足MA→＋MB→＋MC→＝0，若存在实数m，使得AB→＋AC→＝mAM→成立，则m＝()．A．2B．3C．4D．5解析∵MA→＋MB→＋MC→＝0，∴点M是△ABC的重心，∴AB→＋AC→＝3AM→，∴m＝3.答案B7.已知点O为△ABC外接圆的圆心，且OA＋OB＋CO＝0，则△ABC的内角A等于()A．30°B．60°C．90°D．120°解析：由OA＋OB＋CO＝0得OA＋OB＝OC，由O为△ABC外接圆的圆心，结合向量加法的几何意义知四边形OACB为菱形，且∠CAO＝60°.答案：A二、填空题8.已知平面上不共线的四点O，A，B，C，若OA－3OB＋2OC＝0，则|AB||BC|＝________.解析：由OA－3OB＋2OC＝0，得OA－OB＝2(OB－OC)，即BA＝2CB，于是|AB||BC|＝2.答案：29．给出下列命题：①向量AB→的长度与向量BA→的长度相等；②向量a与b平行，则a与b的方向相同或相反；③两个有共同起点而且相等的向量，其终点必相同；④两个有公共终点的向量，一定是共线向量；⑤向量AB→与向量CD→是共线向量，则点A、B、C、D必在同一条直线上．其中不正确的个数为________．解析①中，∵向量AB→与BA→为相反向量，∴它们的长度相等，此命题正确．②中若a或b为零向量，则满足a与b平行，但a与b的方向不一定相同或相反，∴此命题错误．③由相等向量的定义知，若两向量为相等向量，且起点相同，则其终点也必定相同，∴该命题正确．④由共线向量知，若两个向量仅有相同的终点，则不一定共线，∴该命题错误．⑤∵共线向量是方向相同或相反的向量，∴若AB→与CD→是共线向量，则A，B，C，D四点不一定在一条直线上，∴该命题错误．答案310.已知向量,ab夹角为45，且1,210aab；则_____b.解析答案3211．若M为△ABC内一点，且满足AM→＝34AB→＋14AC→，则△ABM与△ABC的面积之比为________．解析由题知B、M、C三点共线，设BM→＝λBC→，则：AM→－AB→＝λ(AC→－AB→)，∴AM→＝(1－λ)AB→＋λAC→，∴λ＝14，∴S△ABMS△ABC＝14.答案1412．若点O是△ABC所在平面内的一点，且满足|OB→－OC→|＝|OB→＋OC→－2OA→|，则△ABC的形状为________．解析(等价转化法)OB→＋OC→－2OA→＝OB→－OA→＋OC→－OA→＝AB→＋AC→，OB→－OC→＝CB→＝AB→－AC→，∴|AB→＋AC→|＝|AB→－AC→|.故A，B，C为矩形的三个顶点，△ABC为直角三角形．答案直角三角形【点评】本题采用的是等价转化法，将△ABC的三个顶点转化到相应矩形中，从而判断三角形形状.本题也可用两边平方展开得出结论.三、解答题13．如图所示，△ABC中，AD→＝23AB→，DE∥BC交AC于E，AM是BC边上的中线，交DE于N.设AB→＝a，AC→＝b，用a，b分别表示向量AE→，BC→，DE→，DN→，AM→，AN→.解析AE→＝23b，BC→＝b－a，DE→＝23(b－a)，DN→＝13(b－a)，AM→＝12(a＋b)，AN→＝13(a＋b)．14．设a，b是两个不共线的非零向量，若a与b起点相同，t∈R，t为何值时，a，tb，13(a＋b)三向量的终点在一条直线上？解析设a－tb＝λa－13a＋b(λ∈R)，化简整理得23λ－1a＋t－13λb＝0，∵a与b不共线，∴由平面向量基本定理有23λ－1＝0，t－λ3＝0，∴λ＝32，t＝12.故t＝12时，a，tb，13(a＋b)的终点在一条直线上．15．如图所示，在△ABC中，D、F分别是BC、AC的中点，AE＝23AD，AB＝a，AC＝b.(1)用a，b表示向量AD、AE、AF、BE、BF；(2)求证：B、E、F三点共线．解析：(1)延长AD到G，使AD＝12AG，连结BG、CG，得到▱ABGC，所以AG＝a＋b，AD＝12AG＝12(a＋b)，AE＝23AD＝13(a＋b)，AF＝12AC＝12b，BE＝AE－AB＝13(a＋b)－a＝13(b－2a)，BF＝AF－AB＝12b－a＝12(b－2a)．(2)证明：由(1)可知BE＝23BF，所以B、E、F三点共线．16．已知O，A，B三点不共线，且OP→＝mOA→＋nOB→，(m，n∈R)．(1)若m＋n＝1，求证：A，P，B三点共线；(2)若A，P，B三点共线，求证：m＋n＝1.证明(1)m，n∈R，且m＋n＝1，∴OP→＝mOA→＋nOB→＝mOA→＋(1－m)OB→，即OP→－OB→＝m(OA→－OB→)．∴BP→＝mBA→，而BA→≠0，且m∈R.故BP→与BA→共线，又BP→，BA→有公共点B.∴A，P，B三点共线．(2)若A，P，B三点共线，则BP→与BA→共线，故存在实数λ，使BP→＝λBA→，∴OP→－OB→＝λ(OA→－OB→)．即OP→＝λOA→＋(1－λ)OB→.由OP→＝mOA→＋nOB→.故mOA→＋nOB→＝λOA→＋(1－λ)OB→.又O，A，B不共线，∴OA→，OB→不共线．由平面向量基本定理得m＝λ，n＝1－λ.∴m＋n＝1.