2015年中考数学一轮复习-第23讲-解直角三角形(世纪金榜课件)

第二十三讲解直角三角形一、特殊角的三角函数值三角函数锐角αsinαcosαtanαcotα30°45°1160°123233322223212333二、直角三角形中的边角关系在Rt△ABC中，∠C=90°，a，b，c分别是∠A，∠B，∠C的对边.1.三边之间的关系：________.2.两锐角之间的关系：_____________.3.边角之间的关系：sinA=，sinB=，cosA=，cosB=，tanA=，tanB=，cotA=，cotB=.a2+b2=c2∠A+∠B=90°acacbcbcabbabaab【思维诊断】(打“√”或“×”)1.锐角三角函数是一个比值.()2.锐角三角函数中，角度是自变量.()3.直角三角形各边长扩大3倍，其正弦值也扩大3倍.()4.由cosα=，得锐角α=60°.()5.锐角α的正弦值随角度的增大而增大.()6.坡比是坡面的水平宽度与铅直高度之比.()√√×√√×12热点考向一锐角三角函数概念【例1】(2014·巴中中考)在Rt△ABC中，∠C=90°，sinA=，则tanB的值为()A.B.C.D.51312135121312125【思路点拨】在Rt△ABC中，根据sinA=，设一条直角边BC=5x，斜边AB为13x，根据勾股定理求出AC的长度.再根据三角函数的定义即可求出tanB.513【自主解答】选D.∵sinA=，∴设BC=5x，AB=13x，则AC==12x，故tan∠B=51322ABACAC12.BC5【规律方法】根据定义求三角函数值的方法1.分清直角三角形中的斜边与直角边.2.正确地表示出直角三角形的三边长，常设某条直角边长为k(有时也可以设为1)，在求三角函数值的过程中约去k.3.正确应用勾股定理求第三条边长.4.应用锐角三角函数定义，求出三角函数值.【真题专练】1.(2014·汕尾中考)在Rt△ABC中，∠C=90°，若sinA=，则cosB的值是()A.B.C.D.3545353443【解析】选B.∵∠C=90°，∴∠A+∠B=90°，∴cosB=sinA，∵sinA=，∴cosB=.35352.(2014·广州中考)如图，在边长为1的小正方形组成的网格中，△ABC的三个顶点均在格点上，则tanA=()A.B.C.D.【解析】选D.tanA=.35453443BC4AB3【变式训练】如图，∠AOB是放置在正方形网格中的一个角，则cos∠AOB的值是.【解析】连接AC.由网格图知△AOC是等腰直角三角形，设小正方形的边长为1，则OC=，OA=，∴cos∠AOB=.答案：510OC52OA210＝＝223.(2014·重庆中考)如图，△ABC中，AD⊥BC，垂足是D，若BC=14，AD=12，tan∠BAD=，求sinC的值.34【解析】∵AD⊥BC，∴tan∠BAD=，∵tan∠BAD=，AD=12，∴BD=9，∴CD=BC-BD=14-9=5.∴在Rt△ADC中，AC==13，∴sinC=.BDAD342222ADCD125AD12AC13热点考向二特殊角三角函数值的计算【例2】(2013·重庆中考)计算6tan45°-2cos60°的结果是()A.4B.4C.5D.533【思路点拨】将cos60°，tan45°的值分别代入计算，即可得出答案.【自主解答】选D.6tan45°-2cos60°=6×1-2×=6-1=5.12【规律方法】熟记特殊角的三角函数值的两种方法1.按值的变化：30°，45°，60°角的正余弦的分母都是2，正弦的分子分别是1，，，余弦的分子分别是，，1，正切分别是，1，.2.特殊值法：(1)在直角三角形中，设30°角所对的直角边为1，那么三边长分别为1，，2.(2)在直角三角形中，设45°角所对的直角边为1，那么三边长分别为1，1，，再根据锐角三角函数的定义推导即可.233233332【真题专练】1.(2014·天津中考)cos60°的值等于()A.B.C.D.【解析】选A.cos60°=.123332312【方法技巧】锐角三角函数值的应用(1)已知特殊角，求相应角的三角函数值.(2)根据特殊角的三角函数值，求相应锐角的度数.(3)15°，75°角的三角函数值，可通过构造含30°角或45°角的直角三角形求出.2.(2014·凉山州中考)在△ABC中，若+(1-tanB)2=0，则∠C的度数是()A.45°B.60°C.75°D.105°【解析】选C.由题意得，cosA-=0，1-tanB=0，cosA=，tanB=1，∠A=60°，∠B=45°，故∠C=180°-∠A-∠B=75°.1|cosA|212123.(2014·贺州中考)计算：(-2)0+(-1)2014+-sin45°.【解析】原式=1+1+-=2.31222224.(2014·临沂中考)计算：【解析】11sin6032831－．113131sin60323282831(31)(31)－－－－3131342.2222－－－热点考向三解直角三角形【例3】(2013·常德中考)如图，在△ABC中，AD是BC边上的高，AE是BC边上的中线，∠C=45°，sinB=，AD=1.(1)求BC的长.(2)求tan∠DAE的值.13【解题探究】(1)求BC的长的两个思考：①图中有直角三角形吗？若有，请写出来.②能求出BD，DC的长吗？提示：①图中的直角三角形分别是Rt△ABD，Rt△ADC，Rt△ADE.②分别在Rt△ABD，Rt△ADC中，求BD，DC的长.(2)求tan∠DAE值的两个思考：①∠DAE在哪个直角三角形中？②如何求∠DAE的对边DE的长？提示：①在Rt△AED中.②先由AE是BC边上的中线求出CE的长，再由DE=CE-CD求得DE的长.【尝试解答】(1)∵AD是BC边上的高，∴∠ADB=∠ADC=90°.在Rt△ABD中，sinB=，AD=1，∴AB=3.∴BD=.在Rt△ADC中，∠C=45°，∴CD=AD=1.∴BC=BD+CD=2+1.AD1AB3＝2222ABAD3122－＝－＝2(2)∵AE是BC边上的中线，∴DE=BC-DC=∴在Rt△ADE中，tan∠DAE=121221(221)122－＋＝．221DE2212AD12－－＝＝．【规律方法】解直角三角形的两点注意1.尽量用已知条件中的数据，防止误差积累.2.遵循“有弦用弦、无弦用切，宁乘勿除”的原则.【真题专练】1.(2014·连云港中考)如图，若△ABC和△DEF的面积分别为S1，S2，则()A.S1=S2B.S1=S2C.S1=S2D.S1=S2127285【解析】选C.如图，若都以长度为8的边为底，则高都等于5sin40°，所以两三角形的底相等，高相等，所以S1=S2.2.(2013·陕西中考)如图，四边形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，且BD平分AC，若BD=8，AC=6，∠BOC=120°，则四边形ABCD的面积为.(结果保留根号)【解析】过点A作AE⊥BD，垂足为点E，如图，则∠AOB=60°，OA=3，则AE=3×sin60°=，∴SΔABD=BD·AE=×8×=同理SΔBCD=∴四边形ABCD的面积为答案：332121263,63,123.1233323.(2014·济宁中考)如图，在△ABC中，∠A=30°，∠B=45°，AC=2，则AB的长为.3【解析】过点C作CD⊥AB于点D，在Rt△ACD中，AC=2，∠A=30°，∴CE=，AD==3.在Rt△BCD中，CD=，∠B=45°，∴BD=，∴AB=AC+BD=3+.答案：3+3322ACCD33334.(2013·牡丹江中考)在Rt△ABC中，CA=CB，AB=9，点D在BC边上，连接AD，若tan∠CAD=，则BD的长为.132【解析】在Rt△ABC中，CA=CB，AB=9.由勾股定理，得CA2+CB2=AB2，即2CA2=2CB2=(9)2，解得CA=CB=9.如图，在Rt△CAD中，tan∠CAD=.∴CD=3，∴DB=9-3=6.答案：622CD1AC3【知识归纳】解直角三角形的类型图形已知类型已知条件解法步骤两边斜边，一直角边(如c，a)(1)b=(2)由sinA=，求∠A(3)∠B=90°-∠A两直角边(a，b)(1)c=(2)由tanA=，求∠A(3)∠B=90°-∠A22caac22abab图形已知类型已知条件解法步骤一边一角斜边，一锐角(如c，∠A)(1)∠B=90°-∠A(2)由sinA=，求a(3)由cosA=，求b一直角边，一锐角(如a，∠A)(1)∠B=90°-∠A(2)由tanA=，求b(3)由sinA=，求cacbcabac热点考向四解直角三角形的应用【例4】(2014·丽水中考)如图，河坝横断面迎水坡AB的坡比是1∶(坡比是坡面的铅直高度BC与水平宽度AC之比)，坝高BC=3m，则坡面AB的长度是()A.9mB.6mC.6mD.3m333【思路点拨】根据坡比与BC求AC，再根据勾股定理求AB.【自主解答】选B.∵河坝横断面迎水坡AB的坡比是1∶，∴BC∶AC=1∶.∵BC=3m，∴∴AB==6m.3322BCACAC33m，【规律方法】直角三角形解决实际问题的方法及注意点1.利用直角三角形或构造直角三角形解决实际问题，一般先把实际问题转化为数学问题，若题中无直角三角形，需要添加辅助线(如作三角形的高等)构造直角三角形，再利用解直角三角形的知识求解.2.解直角三角形时结合图形分清图形中哪个三角形是直角三角形，哪条边是角的对边、邻边、斜边.此外正确理解俯角、仰角等名词术语是解答此类题目的前提.【真题专练】1.(2014·株洲中考)孔明同学在距某电视塔塔底水平距离500米处，看塔顶的仰角为20°(不考虑身高因素)，则此塔高约为米.(结果保留整数，参考数据：sin20°≈0.3420，sin70°≈0.9397，tan20°≈0.3640，tan70°≈2.7475)【解析】画出图形，如图所示：tan20°=，即：=0.3640，AC=182米.答案：182ACBCAC5002.(2014·泰州中考)图①、②分别是某种型号跑步机的实物图与示意图.已知踏板CD长为1.6m，CD与地面DE的夹角∠CDE为12°，支架AC长为0.8m，∠ACD为80°，求跑步机手柄的一端A的高度h(精确到0.1).(参考数据：sin12°=cos78°≈0.21，sin68°=cos22°≈0.93，tan68°≈2.48)【解析】如图，过点C作CM平行于AB，过点A作AF⊥CM于点F，过点C作CG⊥ED于点G，∵CM∥AB，∴CM∥ED，∵∠CDE=12°，∴∠DCM=12°，∵∠ACD=80°，∴∠ACF=68°，∵在Rt△CDG中，CD=1.6m，∠CDE=12°，∴sin∠CDE=，即sin12°=，CGCDCG1.6∴CG=sin12°×1.6≈0.21×1.6=0.336(m)，∵在Rt△ACF中，AC=0.8，∠ACF=68°，∴sin∠ACF=，即sin68°=，∴AF=sin68°×0.8≈0.93×0.8=0.744(m)，∴h=0.336+0.744=1.080≈1.1(m).答：跑步机手柄的一端A的高度h约为1.1m.AFACAF0.8命题新视角锐角三角函数的阅读理解题【例】(2013·湛江中考)阅读下面的材料：先完成阅读填空，再按要求答题：sin30°=，cos30°=，则sin230°+cos230°=；①sin45°=，cos45°=，则sin245°+cos245°=；②sin60°=，cos60°=，则sin260°+cos260°=.③…观察上述等式，猜想：对任意锐角A，都有sin2A+cos2A=.④123222223212(1)如图，在锐角三角形ABC中，利用三角函数的定义及勾股定理对∠A证明你的猜想.(2)已知：∠A为锐角(cosA0)且sinA=，求cosA.35【审题视点】创新点探索同角三角函数的关系：(1)以