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相似三角形的性质黔江区冯家中学学习目标1.在理解相似三角形基本性质的基础上,掌握相似三角形对应中线、对应高线、对应角平分线的比等于相似比，周长的比等于相似比,面积的比等于相似比的平方。2.通过实践体会相似三角形的性质，会用性质解决相关的问题。1，相似三角形有何特征？（对应边成比例，对应角相等）2，识别三角形相似的主要方法有那些？两个角对应相等的两个三角形相似。两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似。三边对应成比例的两个三角形相似。如图,△ABC∽△A′B′C′,相似比为K,AD、A′D′分别为△ABC和△A′B′C的高，求证：AD:A′D′=KABCDA′B′C′D′如图,△ABC∽△A′B′C′,相似比为K,AD、A′D′分别为△ABC和△A′B′C的中线，求证：AD:A′D′=KC′ABCDA′B′D′如图,△ABC∽△A′B′C′,相似比为K,AD、A′D′分别为△ABC和△A′B′C的角平分线，求证：AD:A′D′=KABCDB′A′C′D′如图,△ABC∽△A′B′C′,相似比为K,AD、A′D′分别为△ABC和△A′B′C′的高，求证:Ｓ△ABC：Ｓ△A′B′C′的值ABCDA′B′C′D′相似三角形性质:相似三角形对应高的比、对应中线的比、对应角平分线的比、周长的比等于相似比。相似三角形面积的比等于相似比的平方。一，相似三角形的基本性质：对应边成比例，对应角相等二，相似三角形的性质：相似三角形对应高的比、对应中线的比、对应角平分线的比、周长的比等于相似比。相似三角形面积的比等于相似比的平方。例1：如图，△ABC~△A'B'C'，它们的周长分别是60厘米和72厘米，且AB=15厘米，B'C'=24厘米。求：BC、AC、A'B'、A'C'。C'B'A'CBA例2:有同一块三角形土地的甲、乙两幅地图，比例尺分别为1：200和1：500，求甲地图与乙地图的相似比和面积比。解因为甲、乙两幅地图都与这块三角形土地相似，所以这两幅地图相似。设三角形土地的某一边长为m，甲地图的对应边为a:200,乙地图的对应边为a:500，所以这两幅地图相似比为aa200500:=52所以它们的面积比为25：4１，把一个三角形变成和它相似的三角形，（1）如果边长扩大为原来的5倍，那么面积扩大为原来的倍。（2）如果面积扩大为原来的100倍，那么边长扩大为原来的倍。2510２，两个相似三角形的一对对应边分别是35厘米和14厘米，（1）它们的周长差60厘米，这两个三角形的周长分别是——————。（2）它们的面积之和是58平方厘米，这两个三角形的面积分别是————————。100厘米、40厘米50平方厘米、8平方厘米如图,在ABCD中,E是AB上一点,AC与DE相交于F,AE:EB=1:2,求∆AEF与∆CDF的相似比.若∆AEF的面积为5平方厘米,求∆CDF的面积。BFEDCA练习：如果把一个三角形按照下面的条件改成和它相似的三角形：(1)把边长扩大为原来的100倍，那么面积扩大为原来的多少倍？(2)把面积扩大为原来的100倍，那么边长扩大为原来的多少倍？求三角形的三条中位线所围成的在角形与原三角形的面积的比．如果把一个图形按1:10的比例缩小，那么缩小后的图形与原图形的面积比是多少？．•1、相似三角形对应边的比为3∶5,那么相似比为_________,对应角的角平分线的比为______,对应边的中线比为_______，周长的比为_____,面积的比为_______。3∶53∶53∶59∶253∶52、把一个三角形扩大成和它相似的三角形，(1)如果把边长扩大为原来的10倍,那么面积扩大为原来的倍。(2)如果把面积扩大为原来的10倍,则边长应扩大为原来的倍。100103、两个相似三角形对应的中线长分别是6cm和18cm，若较大三角形的周长是42cm，面积是12cm2,则较小三角形的周长是cm，面积cm2。1443如图,在△ABC中,AD:DB=1:2,DE∥BC,若△ABC的面积为9,求S四边形DBCEABCDE如图，在ABCD中，E为AB延长线上一点，AB:AE=2:5,若S△DFC=12cm2，求S△EFBDABCEF如图，在ABCD中，AE:EB=1:2,若S△AEF=6cm2，求S△CDFDABCFE在△ABC中,∠C=90°,D是AC上一点,DE⊥AB于E,若AB=10，BC=6,DE=2,求四边形DEBC的面积ABCDE∟5.如图,△ABC中,点D,E,F分别在边AB,AC,BC上，DF∥BC,EF∥AB,AF:FC=2:3，S△ABC=S，求平行四边形BEFD的面积。ADEFBC如图,△ABC是一块锐角三角形余料,边BC=120毫米,高AD=80毫米,要把它加工成正方形零件,使正方形的一边在BC上,其余两个顶点分别在AB、AC上,这个正方形零件的边长是多少？MPBNQEDCA解：设正方形PQMN是符合要求的△ABC的高AD与PN相交于点E。设正方形PQMN的边长为x毫米。因为PN∥BC，所以△APN∽△ABC所以AEAD=PNBC如图,△ABC中,BC=24㎝,高AD=12㎝,矩形EFGH的两个顶点E、F在BC上,另两个顶点G、H在AC、AB上,且EF:EH=4:3,求EF、EH的长ABCHEFGKD∟如图，D、E是△ABC的边AB、AC上的点，且∠ADE=∠C。求证：AD·AB=AE·AC。BCADE如图，D是△ABC的边BC上的点，且∠ADB=∠BAC。1、图中有相似的三角形吗？为什么？2、求证：AB2=BC·BD。BCAD1.如图在梯形ABCD中,AD∥BC,∠A＝90°,BD⊥DC,试问(1)请你猜想图中有相似三角形吗？请写出来，并说明理由。(2)如果CD＝3，BC＝5，你能求出哪些线段的长？ADBC∟2.如图已知∠1=∠2，若再增加一个条件能使结论AB·ED=AD·BC成立，则这个条件可以是_________________。21ACEBD分析：①从角的角度思考：∠D=∠B或∠AED=∠C②从边的角度思考：AD:AB=AE:AC如图:在Rt△ABC中,有正方形DEFG,且E、F在斜边BC上，D、G分别在AB、AC上.试说明：EF2=BE·FCGFEDCBA解：四边形DEFG是正方形∠DEB=∠GFC=90°,EF=DE=FG.∵∴又∵∠B+∠C=90°，∠B+∠BDE=90°∴∠BDE=∠CRt△BED∽Rt△GFC∴BEDEFCGF=∴BEEFFCEF=∴∴EF2=BE·FCFEDCBA如图:已知∠BAC=90°,BD=DC,DE⊥BC交AC于E,交BA的延长线于F.试说明：AD2=DE·DF由AD2=DE·DF，得故只要说明△ADE∽△FDA即可分析：ADDEADDF=点评：证明乘积式时，可先将乘积式改为比例式，然后找相似三角形（或平行线）1.相似三角形对应高的比等于相似比。2.相似三角形对应中线的比等于相似比。3.相似三角形对应角平分线的比等于相似比。相似三角形的性质：4.相似三角形周长的比等于相似比。5.相似三角形面积的比等于相似比的平方。