非线性物理2-2(流体的不稳定性、洛伦兹方程、李雅普诺夫指数、埃侬吸引子、洛伦兹吸引子)

第二章分岔与奇怪吸引子第三节流体不稳定性与洛伦兹方程1.流体中的不稳定性2.洛伦兹方程解的分岔1900年,法国科学家贝纳德(E.Benard)做了一个著名的对流实验.1.流体中的不稳定性在一水平容器中放一薄层液体，从底部徐徐均匀地加热，开始液体没有任何宏观的运动。当上下温差达到一定的程度，液体中突然出现规则的六边形对流图案。照片中每个小六角形中心较暗处液块向上浮，边缘较暗处液块向下沉。当上下温差加大时，为什么对流不积微渐著，而是突然从无到有地产生?贝纳德对流当上下温差加大时，对流突然从无到有产生。贝纳德图案是对流与抑止因素(黏性和热扩散)竞争的结果。T2T1这是现代用硅油做实验拍摄的照片。贝纳德对流实验理想装置：两块平行平板中间充满液体，y方向无限伸展，下底加热。现象：实验时，下面板均匀缓慢地加热，上下平板之间出现温差。平板间的液体开始是静止的，当加热到一定程度时，液体开始翻动，出现对流现象。发生翻动对流时会形成一种象蛋卷一样很规则的图形，温差进一步增加时，规则的对流图形将受到破坏，进入到湍流状态。分析：随温度上升，流体经历由稳定到不稳定再到新的稳定态的分岔过程。1.流体中的不稳定性瑞利数1916年，英国学者瑞利对贝纳德实验作了解释。认为是浮力和粘滞力间的关系决定液体向上运动。由此定义了一个无量纲参数R(瑞利数)：g-为重力加速度，a-为热胀系数，d-两块板间距，h-粘滞系数，DT-扩散系数。T3DdTgRha瑞利数R与温度差成正比，温度差加大时R值增加，有一临界值RC，当R超过RC时，流体出现翻动与对流，称为贝纳德不稳定性。临界值RC为：其中k是x方向环流波数。2324c)1(kkR1.流体中的不稳定性倍周期分岔的实验检验从分岔观点看，平板间液体随着温差升高出现的从静止到对流也是一种分岔现象。带着这样观点利布沙伯(Libchaber-低温物理学家)于1980年用液氦重做了贝纳德对流实验。实验装置：一个很小的不锈钢液氦的容器，其尺寸为3mm1.5mm1.25mm。用高纯度铜做容器的底板，容器盖是用兰宝石做的，在兰宝石上嵌入两个精巧的温度计，用以监视两点的温度。容器中的液氦对温度非常敏感，上下液面千分之一的温差出现对流。对流发生时液氦在中心升起，往两侧分流沿腔壁下降形成两个对流圈。1.流体中的不稳定性利布沙伯通过对液氦对流信息的分析,发现开始时只有对流翻动频率为f的基波峰，相应两个对流圈翻动。随着瑞利数增大，在功率谱出现基波频率一半的倍周期(f/2)谐波，接着又出现f/4、f/8…等次谐波。实验结果显然是倍周期分岔现象。倍周期分岔的实验检验1.流体中的不稳定性倍周期分岔普遍性利布沙伯的实验结果证明,倍周期分岔不仅在平方映射中存在，而且在真实的物理学系统中也会出现。后来,人们相继在LCR振荡、激光振荡、化学反应等许多过程中都发现了倍周期分岔现象，这表明倍周期分岔是存在于许多动力学过程中的一种普遍现象。1.流体中的不稳定性洛伦兹的设想2.洛伦兹方程洛伦兹的设想60年代初，美国数学家洛伦兹(E.Lorenz)在气象部门工作。他把将大气对流与贝纳德液体对流联系起来，想用数值方法进行长期天气预报。2.洛伦兹方程洛伦兹方程洛伦兹从贝纳德对流出发，利用流体力学中的纳维叶-斯托克斯(Navier-Stokes)方程、热传导方程和连续性方程，推导出描述大气对流的微分方程，即著名的洛伦兹方程。-----xybzddzxzyrxddyyxddx)(x-对流的翻动速率;y-比例于上流与下流液体之间的温差;z-是垂直方向的温度梯度;-无量纲因子,称为Prandtl数;b-速度阻尼常数;r-相对瑞利数r=R/RC2.洛伦兹方程3423c2T(1),gTdkRRDkah洛伦兹方程解的分岔0(1),1xyzxybrzr-------xybzddzxzyrxddyyxddx)(0dxdydzddd2.洛伦兹方程洛伦兹方程有三个平衡点若r1，只存在一个平衡点x=y=z=0。此平衡点是洛伦兹方程的不动点，相应于贝纳尔德实验中液体的静止状态。洛伦兹方程的平衡点随瑞利数r的增加而发生分裂，原来稳定的平衡点变为不平衡状态。原点的稳定性r1时坐标原点x=y=z=0是稳定的不动点，它是洛伦兹方程唯一吸引子，所有轨线吸引到坐标的原点。如r1，于是分支出两个新的平衡点C1与C2。说明在r=1时系统将发生一次分岔，跨越r=1意味着原点的吸引子丧失了稳定性，出现了局部的不稳定性。这时在坐标原点出现一维不稳定的流形。这是一次叉式分岔。相应于在贝纳德实验中流体从静态走向对流翻动。2.洛伦兹方程C1与C2的稳定性当r1,坐标原点为鞍点，两个新平衡点C1与C2是稳定的焦点，它们是C1与C2邻域螺旋线的吸引点，如图所示。C1、C2坐标为：现说明贝纳德实验形成了稳定的定态对流。--1)1(2,12,12,1rzrbyx2.洛伦兹方程当r继续增加直到r=13.962时，两个螺旋线外径会接触合并一起。r=rc时两个平衡点C1与C2发展成了中心点,其邻域的相轨线是椭圆.rrc时,C1与C2成了不稳定的焦点.定态对流失稳，是不稳定的.这时将出现一次新分岔－霍夫分岔,平衡点C1与C2失稳发展成为奇怪吸引子.c(3)24.7368,(10,8/3)(1)brbb-2.洛伦兹方程C1与C2的稳定性洛伦兹吸引子r=rc时两个平衡点C1与C2发展成了中心点,其邻域的相轨线是椭圆.rrc时将出现一次新分岔－霍夫分岔,平衡点C1与C2失稳发展成为奇怪吸引子.c(3)24.7368,(1)(10,8/3)brbb-其中第四节李雅普诺夫指数与奇怪吸引子1.李雅普诺夫指数2.埃侬映射与埃侬吸引子3.洛伦兹吸引子1.李雅普诺夫指数奇怪吸引子吸引子所谓吸引子是指相轨线经过长时间之后所表现的终极形态.它可能是稳定的平衡点或是周期性轨道;也可能是继续不断变化,没有明确规则或次序的有许多回转结构的曲线.前者也被称为平庸吸引子,后者被称为奇怪吸引子.1.李雅普诺夫指数奇怪吸引子平庸吸引子能量耗散系统最终收缩到的一种定常状态。这是一个动力系统在t→∞时所呈现的与时间无关的定态，并且不管选取什么样的初始值其终值的定态只有一个，也就是说终值与初始值无关。这类吸引子也称平庸吸引子。如：阻尼单摆有不动点吸引子，范德玻耳方程有极限环吸引子，等等。奇怪吸引子相对于平庸吸引子而言，它们的特点之一是终态值与初始值密切相关，或者说对初始值具有极端敏感性；初始取值的细微差别可能会导致完全不同的结果，这时的吸引子毫无周期可言，即所谓混沌。考察平方映射的两个迭代运算xxxyyyn1nnn1nn--()()11N012345678910Xn0.3700.9320.2520.7540.7410.7670.7150.8140.6050.9560.167Yn0.3800.9420.2170.6800.8700.4510.9900.0380.1470.5010.999取=4，并取有一点微小的差别的两个初始值x0=0.370与y0=0.380。运算结果如表所列，经过前第四次迭代,两个运算结果还没有显出太大差别，但是从第五次开始迭代结果的差别就非常显著了。奇怪吸引子1.李雅普诺夫指数奇怪吸引子取=2.1，并取有较大差别的三个初始值x01=0.08，x02=0.12,x03=0.16。运算结果如左图，经过五次迭代,三个运算结果趋于一致，~045.取=3.7，取差别很小两个初始值x01=0.04，x02=0.05。运算结果如右图，第二迭代差别就已显示出来,以后虽在第七次迭代时很接近，但随后又快速分离开来。1.李雅普诺夫指数xy00-xyfxfyfxfyxyxydfdxxy1100000000000------()()()()x0000yxx)()(lim000yxyfxfdxdf--两个系统：设其初始值存在微小误差，经过一次迭代以后有：式中：李雅普诺夫指数公式)(),(11nnnnyfyxfx1.李雅普诺夫指数由第二次迭代得：经过第n次迭代得：李雅普诺夫指数公式xydfdxxydfdxdfdxxy22xxx---110110000x1-n0=n,nnn)(yxdxxdfyxn--1.李雅普诺夫指数可见，两个系统对初始扰动的敏感度由导数决定，它与初始值x0有关。映射整体对初值敏感性需对全部初始条件平均，要进行n次迭代：00x1-n0=n,nnn)(yxdxxdfyxn--dfdxn=0n-1xnn1/李雅普诺夫指数公式dfdx/x01.李雅普诺夫指数每次迭代平均分离值为：两个系统如初始存在微小误差，随时间(或迭代)产生分离，分离程度常用李雅普诺夫(Lyapunov)指数来度量,它为几何平均值的对数：李雅普诺夫指数公式nx1-n0=n,)(ln1dxxdfnn-10,)(ln1limnnnndxxdfn1.李雅普诺夫指数式中xn为第n次迭代值。取n，得李雅普诺夫指数计算公式：利用李雅普诺夫指数，相空间内初始时刻的两点距离将随时间(迭代次数)作指数分离：在一维映射中只有一个值，而在多维相空间情况下一般就有多个i，而且沿相空间的不同方向，其i(i=1,2,…)值一般也不同。)exp(00nn--nyxyx李雅普诺夫指数应用1.李雅普诺夫指数nyxyxnnexp00--00yx-经过n次迭代0i0tiet0)(0i设为多维相空间中两点的初始距离，经n次迭代后两点的距离为：式中指数i值可正可负。表示沿该方向扩展，表示沿该方向收缩。在经过一段时间(数次迭代)以后，两个不同李雅普诺夫指数值将使相空间中原来的圆演变为椭圆。1.李雅普诺夫指数李雅普诺夫指数应用李雅普诺夫指数应用1.李雅普诺夫指数稳定体系的相轨线趋向于某个平衡点，如果出现越来越远离平衡点的情况，则体系是不稳定的。正的李雅普诺夫指数预示着系统的不稳定性。研究表明，系统只要有一个正值的李雅普诺夫指数就可出现混沌运动。因此在判别一个非线性系统是否存在混沌运动时，只需要检查它的最大李雅普诺夫指数是否为正值即可。吸引子与李雅普诺夫指数1.李雅普诺夫指数我们可按的符号对吸引子的性质进行分类，对于三维空间，有以下几种吸引子类型：i1、三个指数、和均为负值，相点收缩到一点，即系统存在不动点；2、三个指数中有一个为零，另外两个为负值，相点收缩在一个环上，即极限环；3、三个指数中有两个为零，一个为负值，相点收缩在一个二维的环面上，这是二维环面吸引子；4、三个指数中有一个为正值，此时系统将出现奇怪吸引子。123吸引子与李雅普诺夫指数1.李雅普诺夫指数吸引子与李雅普诺夫指数吸引子可存在于高维相空间内。在这相空间中大于零的李雅普诺夫指数可能不止一个，这样体系的运动将为更复杂。人们称高维相空间中有多个正值指数的混沌为超混沌。推广到高维空间后，由指数的值决定的各种类型的吸引子归纳如下：),,,,(432,1),,,,(432,1),,,,0(---),,,,(----),,,0,0(--),,0,0,0(-),,,0,(--),,0,,(-吸引子类型维数不动点D=0极限环D=1二维环面D=2三维环面D=2奇怪吸引子（混沌）D=2~3（非整数）超混沌D=高于3非整数1.李雅普诺夫指数平方映射的指数利用计算程序可以方便地求得一维映射的λ。分析：由图可见平方映射的指数λ随参数μ值变化起伏很大，有一个临界值,当时指数变化但始终处于负值。当指数开始转为正值，就是说平方映射从这里开始由规则运动转为混沌，进入到混沌状态。1.003.00周期1轨道(不动点)3.003.4495周期2轨道3.44953.5541周期4轨