非线性系统的李雅普诺夫稳定性分析

李雅普诺夫稳定性分析非线性系统的李雅普诺夫稳定性分析(1/4)非线性系统的李雅普诺夫稳定性分析在线性系统中,如果平衡态是渐近稳定的,则系统的平衡态是唯一的,且系统在状态空间中是大范围渐近稳定的。对非线性系统则不然。非线性系统可能存在多个局部渐近稳定的平衡态(吸引子),同时还存在不稳定的平衡态(孤立子),稳定性的情况远比线性系统来得复杂。与线性系统稳定性分析相比,由于非线性系统的多样性和复杂性,所以非线性系统稳定性分析也要复杂得多。非线性系统的李雅普诺夫稳定性分析(2/4)本节主要研究Lyapunov方法在非线性系统中的应用。由于非线性系统千差万别,没有统一的描述,目前也不存在统一的动力学分析方法,因此对其进行稳定性分析是困难的。对于非线性系统,李雅普诺夫第二法虽然可应用于非线性系统的稳定性判定,但其只是一个充分条件,并没有给出建立李雅普诺夫函数的一般方法。而只能针对具体的非线性系统进行具体分析。非线性系统的李雅普诺夫稳定性分析(3/4)对非线性系统的稳定性分析问题,目前切实可行的途径为:针对各类非线性系统的特性,分门别类地构造适宜的Lyapunov函数。如,通过特殊函数来构造李雅普诺夫函数的克拉索夫斯基法(也叫雅克比矩阵法)针对特殊函数的变量梯度构造Lyapunov函数的变量梯度法(也叫舒尔茨-吉布生法)针对特殊非线性系统进行线性近似处理的阿依捷尔曼法(也叫线性近似法)、鲁立叶法等。非线性系统的李雅普诺夫稳定性分析(4/4)由于非线性系统的Lyapunov稳定性具有局部的性质,因此在寻找Lyapunov函数时,须通过将系统的坐标轴平移,将系统的所讨论的平衡态移至原点。在讨论稳定性时,通常还要确定该局部渐近稳定的平衡态的范围。下面分别讨论如下3种非线性系统稳定性分析方法。克拉索夫斯基法变量梯度法阿依捷尔曼法克拉索夫斯基法(1/7)5.4.1克拉索夫斯基法设非线性定常连续系统的状态方程为对该系统有如下假设:1)所讨论的平衡态xe=0;2)f(x)对状态变量x是连续可微的,即存在雅可比矩阵对上述非线性系统,有如下判别渐近稳定性的克拉索夫斯基定理。)()(xfxtxxfx/)()(J克拉索夫斯基法(2/7)定理5-11非线性定常连续系统的平衡态xe=0为渐近稳定的充分条件为为负定的矩阵函数,且为该系统的一个李雅普诺夫函数。更进一步,当||x||→∞时,有||f(x)||→∞,则该平衡态是大范围渐近稳定的。ˆ()()()JJJxxx()()()Vxxxfxfx)()(xfxt证明当非线性系统的李雅普诺夫函数为则其导数为()()()Vxxxfxfx克拉索夫斯基法(3/7)由于为系统的一个李雅普诺夫函数,即正定。因此,若负定,则必为负定。所以,由定理5-4知,该非线性系统的平衡态xe=0是渐近稳定的。)()(xfxt()[()()]()()()()()()()()()()ˆ()()()VJJJxfxfxfxfxxfxfxxxxfxxfxfxxfxfxxfx()()()Vxfxfx()()fxfx)(ˆxJ)()(ˆ)(),(xfxxfxJtV()()()Vxxxfxfx克拉索夫斯基法(4/7)在应用克拉索夫斯基定理时,还应注意下面几点。克拉索夫斯基定理只是渐近稳定的一个充分条件,不是必要条件。如对于渐近稳定的线性定常连续系统由于不是负定矩阵,故由克拉索夫斯基定理判别不出该系统为渐近稳定的。可见,该定理仅是一个充分条件判别定理。11220127xxxx01ˆ()()()114JJJxxx克拉索夫斯基法(5/7)若V(x)=f(x)f(x)正定,为Lyapunov函数,则说明只有当x=0时,才有V(x)=0,即原点是唯一的平衡态。因此,只有原点是系统的唯一平衡态,才能用克拉索夫斯基定理判别渐近稳定性,并且由该定理判别出的渐近稳定的平衡态一定是大范围渐近稳定的。由克拉索夫斯基定理可知,系统的平衡态xe=0是渐近稳定的条件是J(x)+J(x)为负定矩阵函数。由负定矩阵的性质知,此时雅可比矩阵J(x)的对角线元素恒取负值,因此向量函数f(x)的第i个分量必须包含变量xi,否则,就不能应用克拉索夫斯基定理判别该系统的渐近稳定性。将克拉索夫斯基定理推广到线性定常连续系统可知:对称矩阵A+A负定,则系统的原点是大范围渐近稳定的。克拉索夫斯基法(6/7)例4-12试确定如下非线性系统的平衡态的稳定性:解由于f(x)连续可导且可取作李雅普诺夫函数,因此,有3221213)(xxxxxxfx0)()3()()(23221221xxxxxxfxf2231113)()(xJxxfx2262226)()()(ˆxJJJxxx克拉索夫斯基法(7/7)由塞尔维斯特准则有故矩阵函数负定,所以由克拉索夫斯基定理可知,平衡态xe=0是渐近稳定的。2122226260,3680226xxˆ()Jx变量梯度法(1/10)5.4.2变量梯度法舒尔茨和吉布生在1962年提出的变量梯度法,为构造李雅普诺夫函数提供了一种比较实用的方法。该方法的思想是设法构造出Lyapunov函数的梯度来分析Lyapunov函数的定号性。设非线性定常连续系统的状态方程为且所讨论的平衡态为原点,即xe=0。)()(xfxt变量梯度法(2/10)设所找到的非线性系统的判定平衡态xe=0是渐近稳定的李雅普诺夫函数为V(x),它是x的显函数,而不是时间t的显函数,则V(x)的单值梯度gradV存在。梯度gradV是如下定义的n维向量:舒尔茨和吉布生建议,先假设gradV具有某种形式,并由此求出符合要求的V(x)和V'(x)。11dgrad()dnnVxVVVVVxxx变量梯度法(3/10)由可知,V(x)可由gradV的线积分求取,即式中,积分上限x是状态空间的一点(x1,x2,…,xn)。由场论知识可知,若梯度gradV的n维旋度等于零,即rot(gradV)=0,则V可视为保守场,且上式所示的线积分与路径无关。11()(grad)nnVVVxxVxxxxxxxx010dd)grad()(niiixVVV变量梯度法(4/10)而rot(gradV)=0的充分必要条件是:gradV的雅可比矩阵是对称矩阵,即当上述条件满足时,式(5-29)的积分路径可以任意选择,故可以选择一条简单的路径,即依各个坐标轴xi的方向积分grad()ijnnVVxxx,1,2,,jijiVVijnxx001()(grad)dd(529)niiiVVVxxxxx12112121122(,0,,0)(,,0,,0)(,,,)000()dddnnxxxnnxxxxxxVVxVxVxx变量梯度法(5/10)按变量梯度法构造李雅普诺夫函数方法的步骤如下。1)将李雅普诺夫函数V(x)的梯度假设为式中,aij(i,j=1,2,…,n)为待定系数,它们可以是常数,也可以是t的函数或x1,x2,…,xn的函数。通常将aij选择为常数或t的函数。111122121122221122gradnnnnnnnnnaxaxaxaxaxaxVaxaxax变量梯度法(6/10)2)由定义。由平衡态渐近稳定时为负定的条件,可以决定部分待定参数aij。3)由限制条件式中决定其余待定参数aij。4)按式(5-31)求线积分,获得V(x)。验证V(x)的正定性,若不正定则需要重新选择待定参数aij,直至V(x)正定为止。5)确定平衡态xe=0渐近稳定的范围。()Vx,1,2,,jijiVVijnxx()(grad)VVxx()Vx12112121122(,0,,0)(,,0,,0)(,,,)000()ddd(531)nnxxxnnxxxxxxVVxVxVxx变量梯度法(7/10)—例5-14由上述构造过程可知,变量梯度法只是建立非线性系统的李雅普诺夫函数的充分性方法。用这种方法没有找到适宜的李雅普诺夫函数,并不意味着平衡态就不是渐近稳定的。例5-14试确定如下非线性系统的平衡态的稳定性。解显然xe=0是系统的平衡态。可设李雅普诺夫函数V(x)的梯度为123221xxxxx22212121211121gradxaxaxaxaVVV变量梯度法(8/10)由gradV可得如下V(x)的导数当时,V'(x)为负定。即上述aij所满足的条件是V'(x)负定的一个充分条件。211112221122232122412112122121222211()(grad)[]()()VVxaxaxaxaxxxxxaaaxxaaaxxx21121221122221000aaaxaaa变量梯度法(9/10)由限制条件(5-30),并设a12和a21为常数,有综上所述,有,1,2,,(530)jijiVVijnxx12122121VVaaxx1221222112122100aaaaaax变量梯度法(10/10)计算线积分式(5-31),得由于0a12a22,故V(x)是正定的。因此,该系统原点是渐近稳定的。当||x||→∞时,有V(x)→∞,所以该系统原点是系统大范围渐近稳定的。1211212121122(,0)(,)001111211222200221221112112222004221212212()dddddd11142xxxxxxxxxVVxVxaxxaxaxxaaxxxaxaxxaaxaaxxx12112121122(,0,,0)(,,0,,0)(,,,)000()ddd(531)nnxxxnnxxxxxxVVxVxVxx阿依捷尔曼法(1/10)5.4.3阿依捷尔曼法假设系统中出现的非线性关系为如图5-8所示的静态非线性关系,即它是一个单值的非线性函数,且满足,1,2(0)0()0iiiiiiiffxkkxxfi(xi)xiki,2xiki,1xifi(xi)图5-8一类静态非线性特性上述非线性函数fi(xi)为通过坐标原点,且介于直线ki,1xi和ki,2xi之间的任意形状的曲线函数,因此具有一定的代表性,可用来描述一大类非线性系统。阿依捷尔曼法(2/10)考虑具有上述非线性函数关系的如下非线性系统的状态方程:()(533)ABxxfx式中,x为n维状态变量向量;A和B为适宜维数的常数矩阵;f(x)=[f1(x1)f2(x2)…fn(xn)]T为n维关于状态向量x的向量函数。由式(5-32)和式(5-33)可知,原点x=0是状态空间的平衡态。,1,2(0)0(532)()0iiiiiiiffxkkxx阿依捷尔曼法(3/10)对于上述系统的李雅普诺夫稳定性分析,阿依捷尔曼法的思想是先用线性关系ixi取代非线性关系fi(xi),即令ixi=fi(xi)。因而对于该非线性系统,其线性化后的系统同样可以建立正定的李雅普诺夫函数,并判定渐近稳定性;若线性化后的系统是渐近稳定的,则由使李雅普诺夫函数的导数为负定的渐近稳定的充