非线性鲁棒控制robusteighth

2009年11月27日鲁棒控制理论及应用课程信息科学工程学院何勇1第八讲：非线性鲁棒控制2009年11月27日鲁棒控制理论及应用课程信息科学工程学院何勇2非线性控制系统理论传统的方法：传统的方法：相平面方法、李雅普诺夫方法、谐波线性化方法、频率方法、输入输出稳定性、多线性系统、继电系统理论、大系统方法线性化方法：线性化方法：以泰勒级数展开并舍去高次项的方法、反馈线性化理论现代的方法：现代的方法：逆系统方法、变结构控制、基于Volterra级数的方法、非线性H∞控制2009年11月27日鲁棒控制理论及应用课程信息科学工程学院何勇3L2增益的概念线性系统H∞控制非线性系统H∞控制在时域:H∞范数由零初始条件下从输入到输出的L2诱导范数来代替L2增益:非线性系统H∞控制的实质L2/{0}:满足且‖x‖2≠0的集合L∞:有界函数的集合Lc∞:满足的函数集合()01222txxtdt∞⎡⎤=⎢⎥⎣⎦∫()SupxtC≤(){}22max/02LzGSupGjSupwωωσω∞∈==⎡⎤⎣⎦右边即为L2增益2009年11月27日鲁棒控制理论及应用课程信息科学工程学院何勇4L2增益的定义考虑系统:()()xfxgxw•=+()zhx=定义：定义：假设γ为适当的正常数，对于系统Szw在初始状态()00xt=下，如果存在满足22zwγ≤2cwLL∞∀∈I的常数C。则称系统Szw具有小于或等于γ的局部L2增益当系统Szw具有小于或等于γ的局部L2增益时,记为:2czwsLγ≤{}22202cczwwLLLzSLSupw∞∈=I2009年11月27日鲁棒控制理论及应用课程信息科学工程学院何勇5耗散性与局部L2稳定性对于系统Szw,当时,如果存在满足()()00,xxxtx==()()()()()()2TT00tVxwwzzdVxγτττττ⎡⎤+−≥⎣⎦∫的半正定函数V(x),则系统Szw关于是耗散的(dissipative).2TTwwzzγ−在系统Szw,对所有的,如果满足2cwLL∞∈I22zkw≤的正常数C和k，则称系统Szw是局部L2稳定的.2009年11月27日鲁棒控制理论及应用课程信息科学工程学院何勇6线性系统有界实条件对于线性系统~zwSxAxBu•=+zCx=给定一个正常数r,则下述条件是等价的。a)系统是渐进稳定的,而且~zwS~zwSγ∞b)存在满足黎卡提方程T2TT0XAAXXBBXCCγ−+++=并且使稳定的半正定解XTABBX+c)存在满足黎卡提方程T2TT0XAAXXBBXCCIγε−++++=的正定解X和正常数ε2009年11月27日鲁棒控制理论及应用课程信息科学工程学院何勇7非线性系统有界实条件如果下述两个条件中有一个条件成立,则系统是zwS渐进稳定的，而且2czwLSγa)在x=0附近存在一个半正定函数,使哈密顿—雅可比方程()xφTTT2T104fgghhxxxφφφγ∂∂∂++=∂∂∂成立，而且系统()()()T212xfxggxgxvxφγ•∂=++∂()T212wgxvxφγ∂=+∂是渐进稳定的和局部L2稳定的b)在x=0附近存在一个半正定函数和,使哈密顿—雅可比不等式()xφ()xϕTTT2T104fgghhxxxφφφϕγ∂∂∂+++≤∂∂∂成立，而且或2T012limxgxφϕ→∂∂∞20limxhϕ→∞2009年11月27日鲁棒控制理论及应用课程信息科学工程学院何勇8线性系统与非线性系统的对立关系‹若,则非线性系统的条件a)等价于线性系统中的条件b)‹若再设,则非线性系统的条件b)等价于线性系统的条件c)()T,,,xxXxfAxgBhCxφ====()Txxxϕ=∈2009年11月27日鲁棒控制理论及应用课程信息科学工程学院何勇9与近似线性系统的关系令()T0fAx∂=∂()0Bg=()T0hCx∂=∂则对于非线性系统Szw和它的近似线性系统给定一个常数r0,下述条件是等价的。a)非线性系统Szw是指数稳定的,而且b)近似线性系统是稳定的,而且c)在x=0附近,存在光滑正定函数,使哈密顿－雅可比方程成立,而且是指数稳定的d)在x=0附近,存在光滑正定函数和正常数ε,使哈密顿-雅可比不等式成立2czwLSγ~zwS~zwS2~czwSγ∞()xφTTTT2T104fgghhxxxxxφφφεγ∂∂∂+++≤∂∂∂()xφTTT2T104fgghhxxxφφφγ∂∂∂++=∂∂∂()()T212xfxggxxφγ•∂=+∂2009年11月27日鲁棒控制理论及应用课程信息科学工程学院何勇10状态反馈非线性H∞控制问题考虑非线性系统12()()()xfxgxgxu•=++112()()zhxjxu=+[]TT112120hjjk⎡⎤=⎣⎦满足条件状态反馈控制规律控制问题:对于给定的正常数γ,寻找使闭环控制系统()2()()xfxgxkx•=+渐进稳定，而且满足的状态反馈规律k(x)2czwLSγ2009年11月27日鲁棒控制理论及应用课程信息科学工程学院何勇11状态反馈非线性H∞控制的可解性条件下述两个条件之一成立a)在x=0附近,存在光滑正定函数,使哈密顿－雅可比方程()xφTTT112211TT21104fgggghhxxxφφφγ⎛⎞∂∂∂+−+=⎜⎟∂∂∂⎝⎠成立，而且系统()~TT1122121122xfxgggggzxxφϕγ•∂∂=+−+∂∂~T1212wgzxφγ∂=+∂是渐进稳定的，而且是局部L2稳定的b)在x=0附近,存在光滑正定函数和正常数ε,使哈密顿-()xφTTT112211TT21104fgggghhxxxφφφϕγ⎛⎞∂∂∂+−++≤⎜⎟∂∂∂⎝⎠21limTxgxφϕ→∞∂∂∞雅可比不等式成立,而且2009年11月27日鲁棒控制理论及应用课程信息科学工程学院何勇12状态反馈非线性H∞控制规律当可解性条件满足时:()T212kxgxφ∂=−∂可以看出，与有界实条件的情形一样，上述结果是线性系统H∞控制的自然扩展。使得到满足的控制规律，2czwLSγ其存在的充分条件由哈密顿-雅可比方程不等式给出。2009年11月27日鲁棒控制理论及应用课程信息科学工程学院何勇13近似线性系统的状态反馈控制系统令()()()()T111212T,0,1,200,0iifABgixhCDjx∂===∂∂==∂非线性系统12xAxBwBu•=++112zCxDu=+引入现行状态反馈控制规律uKx=构成闭环控制系统2009年11月27日鲁棒控制理论及应用课程信息科学工程学院何勇14近似线性系统的状态反馈控制规律假设(C1,A)是可检测的,给定正常数r,则下述条件是等价的a)对于非线性系统,状态反馈非线性H∞控制问题在指数稳定的意义下是可解的b)对于近似线性系统,状态反馈线性H∞控制问题是可解的c)在x=0附近,存在半正定函数,使哈密顿－雅可比方程()xφTTT112211TT21104fgggghhxxxφφφγ⎛⎞∂∂∂+−+=⎜⎟∂∂∂⎝⎠成立，而且系统()TT112221122xfxggggxxφϕγ•∂∂=+−∂∂是指数稳定的；d)在x=0附近,存在正定函数和正常数ε,使哈密顿-雅可比不等式成立()xφTTTT112211TT21104fgggghhxxxxxφφφεγ⎛⎞∂∂∂+−++≤⎜⎟∂∂∂⎝⎠2009年11月27日鲁棒控制理论及应用课程信息科学工程学院何勇15输出反馈非线性H∞控制问题考虑非线性系统()()()12xfxgxwgxu•=++()()112zhxjxu=+()()221yhxjxu=+满足条件[]TT112120hjjI⎡⎤=⎣⎦[]TT211210jgjI⎡⎤=⎣⎦构成闭环系统Szw控制问题:寻找非线性补偿器,使闭环系统Szw是渐进稳定的，而且2czwLSγ2009年11月27日鲁棒控制理论及应用课程信息科学工程学院何勇16输出反馈非线性H∞控制可解性条件给定正常数r,这时输出反馈非线性H∞控制问题的可解性条件是下述三个条件同时得到满足。a)在x=0附近,存在正定函数,使哈密顿－雅可比方程()xφ%~~TTT112211TT21104fgggghhxxxφφφφγ⎛⎞∂∂∂+−++=⎜⎟∂∂∂⎝⎠%%%%成立，而且21~0limTxgxφϕ→∂∂∞%b)在x=0附近,存在正定函数,使哈密顿-雅可比不等式()xφ%TT2TT111122T2Tˆˆ104fgghhhhxxxxxφφφγεγ∂∂∂++−+≤∂∂∂成立c)在x=0附近,是正定的，存在满足φϕ−%%TT1xxxxεϕε−≥%的1ε2009年11月27日鲁棒控制理论及应用课程信息科学工程学院何勇17输出反馈非线性H∞控制器()()()()()()()()()TT1122221122fggggLhyxxφφεεεεεεεεεεγ•∂∂=+−+−⎡⎤⎣⎦∂∂%%()()T2ˆ12ugxxφε∂=−∂其中L(x)在x=0附近满足()()()()2T2TTˆ12xxLxhxxxφφγ⎡⎤∂∂−=−⎢⎥∂∂⎣⎦%非线性H∞控制器为2009年11月27日鲁棒控制理论及应用课程信息科学工程学院何勇18指数稳定化的情形()0,00,1,2ifFgix∂=≠≠=∂给定正常数r,这时输出反馈非线性H∞控制问题在指数稳定意义下可解性的充分与必要条件是下述三个条件同时得到满足。a)在x=0附近,存在光滑正定函数,使哈密顿－雅可比不等式()xφ%TTTT112211TT21104fgggghhxxxxxφφφεγ⎛⎞∂∂∂+−++≤⎜⎟∂∂∂⎝⎠%%%%成立；b)在x=0附近,存在光滑正定函数和正常数,使哈密顿-雅可比不等式εˆ()xφ%TT2TT111122TTˆˆˆ1ˆ04fgghhhhxxxxxφφφγε∂∂∂++−+≤∂∂∂成立c)在x=0附近,有0φϕ−%%成立2009年11月27日鲁棒控制理论及应用课程信息科学工程学院何勇19基于反馈线性化系统的非线性鲁棒控制μ方法‹基于反馈线性化理论,将非线性系统转成线性系统‹考虑加性和乘性不确定性,使用D-K迭代法求解线性H∞控制器‹基于反馈线性化的逆问题,使线性化H∞控制器转成非线性H∞控制器‹非线性系统与线性系统之间的不确定性转化及其等价性关系‹两个系统之间性能指数的等价关系2009年11月27日鲁棒控制理论及应用课程信息科学工程学院何勇20谢谢各位！Thankyou!