计算水力学第三章

计算水力学第三章有限差分的基本理论第一节基本概念一维对流方程计算平面为ｘ－ｔ的上半平面。在平面上画出两族平行于坐标轴的直线,把求解域分成矩形的计算网格。网格线的交点称为节点,ｘ方向上网格线之间的距离Δｘ称为空间步长,ｔ轴方向上网格线之间的距离Δt称为时间步长ｘ－ｔ平面、计算网格网格节点节点函数值网格剖分使得每一空间步长、时间步长均相等，则称该网格为一均匀网格，否则称之为非均匀网格数值解主要是求解节点上的末知变量的数值，利用有限的节点上的值来代替整个求解域内的连续函数值。概念：离散、插值、误差构造差分方程、分析数值误差第二节偏导数的差商近似一、差分、差商的基本概念解析函数导数定义差分差商向前差分向后差分中心差分一阶导数，对应的差分称为一阶差分。对一阶差分再作一阶差分，所得到的称之为二阶差分。二阶向前差分：任何阶差分都可以由其低一阶的差分得到：函数的差分与自变量的差分之比，即为函数对自变量的差商一阶向前差商一阶向后差商一阶中心差商二阶中心差商二、偏导数的差商近似展开法通过对差商近似点（ｉ，ｊ）的Ｔａｙｌｏｒ展开，可以分析差商对偏导近似的精度一阶向前差商一阶向后差商二阶中心差商边界处偏导数的差商近似对点（０，ｊ）进行Ｔａｙｌｏｒ展开构造一阶偏导数的二阶精度的差商近似必须有解得构造二阶偏导数的差商近似必须有解得构造二阶偏导数具有二阶精度的差商近似必须有解得：２．多项式插值法用多项式插值法把待求函数表示成含待定系数的解析函数，由节点函数值确定该系数，然后对此函数求偏导数，得到逼近偏导数的差商表达式。设函数ｕ可用抛物插值公式来近似：设原点ｘ＝０在点ｉ的位置上，则有解出待定系数用高阶多项式插值可得到高阶差商表达式。高阶多项式插值具有龙格不稳定性，使得插值对计算误差十分敏感。多项式插值法在计算流体力学中多用于处理边界处的差商近似。偏导数的差商近似还有其它多种方法，但最终均需用Ｔａｙｌｏｒ展开来计算其近似的误差，因此在实际计算中通常均用Ｔａｙｌｏｒ展开法来构造，因为此法在构造差商近似的同时还得出了其近似的误差精度。第三节差分方程偏导数用其差商近似来代替偏微分方程转变为相应的代数方程称之为差分方程。对流方程在点（ｉ，ｊ）成立在点（ｉ，ｊ）的对流方程可以近似Ｃｏｕｒａｎｔ数差分方程设Ｃ≥０，求解域（０≤ｘ≤ｌ），定解条件离散表达定解问题ＦＴＢＳ格式差分方程例定解问题采用ＦＴＢＳ格式ａ．取Δｘ＝１，Δｔ＝0.5，C=1.0则b．取Δｘ＝１，Δｔ＝2，C=1.0则对同一定解问题的同一差分格式（ＦＴＢＳ）其不同的空间与时间步长，将得到不同的结果，如果作为原始定解问题的近似解，那一个解精度高呢？。不稳定的解是不能作为原定解问题的近似解的。偏导数的差商近似并非一种，同一偏微分方程的差分方程也并非一个，可以有若干个，对原始定解问题也相应有若干种差分格式。ＦＴＣＳ格式ＦＴＦＳ格式蛙跳格式显式格式：由第ｊ时间层上的值，可直接算出第ｊ＋１时间层上的值的格式。隐式格式：不能直接从ｊ时间层上值直接解出，需联立求解ｊ＋１层上的值的格式。对同一个定解问题，可以有多种差分格式，多种步长参数来近似，从而也得到若干个差分近似解。那么这些解是否可以都作为原定解问题的近似解？那些解精度高？为什么？相容性、稳定性及收敛性分析第四节截断误差和相容性以ＦＴＢＳ格式为例等价方程截断误差ＦＴＣＳ格式的截断误差ＦＴＦＳ格式的截断误差蛙跳格式的截断误差对流方程的差分方程等价形式差分方程和相应的微分方程相容定解条件差分算子截断误差定解问题相容第五节收敛性相容性：是指当自变量的步长趋于零时,差分格式与微分问题的截误差的范数是否趋于零,从而可看出是否能用此差分格式来逼近微分问题。收敛性：是指当自变量步长趋于零时,要求差分格式的解趋于微分方程定解问题的解。要求差分格式的解(数值解)与微分方程定解问题的解(精确解)是一致的。差分格式的解微分问题的解离散误差差分格式收敛相容性是收敛性的必要条件,相容性是形式上的逼近，收敛性是解的逼近，相容性不一定能保证收敛性例微分方程定解问题解析解为将［０，ａ］等分为ｎ段则步长Δｘ＝ａ／ｎ差分解为微分问题ＦＴＢＳ格式离散误差由截断误差分析有当Ｃ≥０和η≤１,即０≤η≤１,则说明当０≤η≤１时,本问题的ＦＴＢＳ格式收敛。这种离散化误差的最大绝对值趋于零的收敛性情况称为一致性收敛。第六节稳定性定解问题依赖区间AB和决定域pAB影响区域同一微分问题,当采用不同差分格式时,其依赖区间、决定区域和影响区域可以是不一致的。依赖区间、决定区域和影响区域是由差分格式本身的构造所决定的并与步长比有关定解问题FTBS格式计算假设在第j层上的第i点,由于计算误差，得到。设i＝０,ｊ＝０，ε＝１，相应于FTBS格式算例表明了当值不同时计算误差所产生的影响。误差逐渐衰减传播误差无衰减传播误差震荡放大传播数值误差有不同的传播方式,格式使误差逐渐衰减传播称为差分格式稳定，否则称为不稳定。单增长型的不稳定称为静力不稳定性过冲型振荡的不稳定称为动力不稳定vonNeumann稳定性分析方法定解问题FTBS格式初值误差误差传播方程误差展开成傅氏级数代入误差传播方程对任意的ｋ有Ｇ为放大因子FTBS格式稳定条件FTBS格式稳定条件ＦＴＣＳ格式为一不稳定格式ＦＴＦＳ格式稳定条件蛙跳格式稳定条件VonNeumann稳定性分析法主要用于线性初值问题的稳定性分析。对于非线性问题用局部线性化的方法加以推广。局部线性化方法假定非线性系数变化得很缓慢，因而可用局部网格结点上的函数值代入后作为常数处理，并认为每一网格结点上的计算稳定性与相邻结点无关，以网格结点上最小的局部稳定极限值作为整个差分问题的稳定极限值。第七节Lax等价定理相容性是收敛性的必要条件，稳定性与收敛性有一定的联系。Lax等价定理就是阐述相容性、收敛性和稳定性三者之间的关系的。Lax等价定理:对一个适定的线性微分问题及一个与其相容的差分格式，如果该格式稳定则必收敛，不稳定必不收敛。换言之，若线性微分问题适定，差分格式相容，则稳定性是收敛性的必要和充分的条件。根据此定理,在线性适定和格式相容的条件下，只要证明了格式是稳定的，则一定收敛；若不稳定，则不收敛。由于收敛性的证明往往比稳定性更难，故人们就可以把注意力集中在稳定性的研究上。第八节差分方程数值效应微分方程是描述物理量在时间和空间上的连续变化的规律差分方程来描述离散化后物理量的变化规律离散误差使原系统的物理性质和规律遭到歪曲和破坏的作用称为数值效应或离散近似的伪物理效应。必须对这些效应有明确的概念，从物理上来考虑数值格式的合理性，减少数值效应的影响。一、“逆风”效应物质的对流输运出现了与波速相反方向传播的不合理现象，称为“逆风”效应，是一伪物理现象的数值效应。对流方程FTCS格式假定在某瞬时ｊ在某一断面ｋ处引入某一物理量ｕ＝１，η＝１由表可见，物理量向上、向下游两个方向传播，出现了与波速相反方向传播的不合理现象，称之为“逆风”效应。FTCS格式所描述的物理量的运动规律与它所近似的原问题固有的规律相差甚大，不仅计算结果误差很大，而且也往往是引起差分格式不稳定的一个因素，前面已证明了该差分格式是无条件不稳定的。对流方程采用一阶精度FTBS格式或FTFS格式能近似原问题的物理现象。采用何种格式还与波速的方向有关，当Ｃ为正时采用ＦＴＢＳ格式，当Ｃ为负时采用ＦＴＦＳ格式。若Ｃ的符号在计算过程中会改变，例如潮水河道，则可以采用“逆风”格式：“逆风”格式二、物理耗散与弥散一维行波的波高在一固定时刻，空间上相差一个波长λ其波高相等所以ｋλ＝２πｋ称为波数在一固定位置，时间相差一个周期Ｔ，其波高相等ｆ为频率。Ｃ表示单位时间传播的距离，称为相速度。物理耗散是指波幅Ａ因阻尼作用而衰减的现象弥散是指波的相速度Ｃ随波数发生变化的现象。深水波相速度为弥散波或称色散波浅水波相速度为非弥散波１、无耗散和色散的模型放大因子的模｜ｒ｜＝１，说明波在传播过程中，经过Δｔ时刻后振幅没有衰减。放大因子的幅角Δφ＝－ＣｋΔｔ,表明传播Δｔ时刻后，同一位置ｘ处波的相位迟后为Δφ，它是相函数的差；而相速度Ｃ为与波数无关，没有色散现象。方程描述了无衰减、无弥散的物理现象。２、有耗散的模型分别为二阶、四阶耗散系数。方程描述了有物理耗散而无色散的波运动。耗散系数引起波幅的衰减，但相速度不发生改变。３、有弥散的模型ε３、ε５称为三阶、五阶弥散系数方程描述了有弥散的波动，波分量的振幅值不随时间变化，而相速度是波数ｋ的函数。三、数值耗散和弥散用差分方程逼近微分方程时引入了误差，有时这些误差项使计算结果的幅值衰减和相速度发生变化，其作用相当于流动中的物理耗散和弥散，这种虚假的物理效应称作数值耗散和数值弥散。例如：对流方程描述的是既无耗散又无弥散的流体运动ＦＴＢＳ格式的等价方程截断面误差所以代入等价方程忽略高阶小量得二阶数值耗散系数方程适定性的要求差分格式的适定性的必要条件为：０≤η≤１与该格式的稳定性条件相同，可见通过上述分析出差分格式稳定性的一些必要条件，这种方法称之为Ｈｉｒｔ方法，可以用于方程组的非线性问题的分析。上述是分析了截断误差的主要部分，如果将后面的高阶小量展开后可知，该格式同样存在弥散，但与耗散相比要小。一般分析主要部分的数值效应而略去高阶小量。同理有ＦＴＦＳ格式等价方程二阶数值耗散系数ＦＴＣＳ格式等价方程二阶数值耗散系数蛙跳格式等价方程三阶弥散系数四、混淆误差空间离散无法辨认小于２Δｘ的波长，这时小于２Δｘ的短波分量会补充到长波分量中，从而使长波分量发生畸变，甚至可能引起计算的不稳定。这种使短波分量补充到长波分量中，从而使长波分量发生畸变而导致的误差称为混淆误差。因此在具体问题中选取Δｘ时，应保证波的主要分量变得充分“长”，即充分大。函数导数差商差商与导数的比值为衰减比：长波有λΔｘ，衰减系数：因为ｋΔｘ１，所以长波幅值很小，差商是微商好的近似，且当Δｘ→０时ｒ→１考虑可辨认的短波。如λ＝４Δｘ，则ｋΔｘ＝２πΔｘ／λ＝π／２，衰减比为ｒ＝２／π，这时差商带来了很大的误差。对于和空间步长Δｘ接近的短波，差商无法近似导数。