计算水力学04

第四章河道水流计算李光炽计算水力学天然河道水流常被认为一维流动,描述河道水流的基本方程为圣维南方程组,该方程是双曲线型微分方程,有两类基本的求解方法,一是基于该方程的特征线形式的特征线法,二是基于最初导出的偏微分方程的有限差分。有限差分法随着计算技术的发展和计算机速度的提高，已广泛应用于非恒定流计算，下面着重介绍适用于河道水流计算的有限差分法。第一节蛙跳格式李光炽计算水力学jijijijijiffxffxftfftf221111李光炽计算水力学j-1jj+1xt图4—1蛙跳格式离散化i-1i+1i李光炽计算水力学xn-1nn+1图4—2蛙跳格式的两个独立网格○○○○○○○○t李光炽计算水力学蛙跳方法是最先使用的方法之一，其优点是接近二阶精度，用式(4—5)计算流量并非如此，不过质量守恒是很好的，因为B是常数时连续方程的近似解是二阶的。但所得的结果为锯齿形线，原因是因变量是在奇、偶交替的点上计算的,如图(4-2)所示,〇和·网格点互不相关。据科伦（Ｋｏｒｅｎ，Ｖ．Ｉ）和库奇米（Ｋ,对于恒定流,真解由网格的偶数点给定(从0点开始,以后是2、4、6、.....)，空间步数也应是偶数。否则,就会引进像锯齿幅度那样的同阶误差。第二节李光炽计算水力学Ｌａｘ和Wｅｎｄｒｏｆｆ提出了有限差分格式写成守恒形式的一阶微分方程系统为：0)(xUFtU该方程首先应用于气体动力方程的系统。euVUpupuVUF0)(李光炽计算水力学xtn+1n+1/2nj-1jj+1j-1/2j+1/2图4—3李光炽计算水力学应用台劳级数将解Ｕ在已知值Ｕ的邻域展开1nn)(6)(2)(3332221njnjnjnjnjtUttUttUtUU)()(22xFAxxFttUxFtUjjjUFA式中Ａ是Ｆ(Ｕ）关于Ｕ的雅可比行列式李光炽计算水力学)()([)(21)(21211212111njnjnjnjnjnjnjnjnjnjFFAFFAxtFFxtUU)2(121njnjnjUUAA李光炽计算水力学njnjnjnjnjUUFFUFA1121)(1211njnjnjnjnjUUAFF)2()(21)(21122111njnjnjnjnjnjnjUUUAxtUUAxtUU令Ａ为常数,则有:李光炽计算水力学Ｌａｘ－Ｗｅｎｄｒｏｆｆ格式的稳定性条件为：式中λ是矩阵的特征值1xtＬａｘ－Ｗｅｎｄｒｏｆｆ格式的使用,需要初始条件尽可能满足流动方程,格式具有二阶精度,而且是不耗散的,这样,它不会使初始扰动光滑化。对于这一方程Ａ和Ｑ的边界值需用特征线法计算。第三节Ａｂｂｏｔｔ隐式格式李光炽计算水力学Ａｂｂｏｔｔ格式应用的微分方程形式与常用的有所不同,在连续方程中用“存储宽度”的概念,在动量方程中用“计算宽度Ｂ”的概念,sB0xQthBs0)(22hARCQgQxhgAAQxtQ李光炽计算水力学BBs图4—5李光炽计算水力学nn+1txjj+1j+2j-1j-2△t△x图4—6Ａｂｂｏｔｔ格式的离散hhhQQ李光炽计算水力学thhthQQQQxxxQnjnjnjnjnjnjjj111111111)}(21)(21{1tfftfffffxxxfnjnjnjnjnjnjjj111111111)}(21)(21{1李光炽计算水力学Abbott格式是无条件稳定的,如果过大时,它的收敛速度较慢。)cuxt(tt00差分方程采用追赶法求解.不管怎样,这种格式可以在相当大的Ｃｏｕｒａｎｔ数下计算仍然保持稳定。在潮汐波计算中,Ｃｏｕｒａｎｔ数可取10~20,在明渠水流计算中,Ｃｏｕｒａｎｔ数可取100。李光炽计算水力学由于采用显格式对时间步长ｄt要施加限制,从而促使有限差分的隐式方法得到发展。1960年发展起来的Ｐｒｅｉｓｓｍａｎｎ隐式方法,其离散方式实际是一个四点隐格式。李光炽计算水力学△x/2△xθ△t△t图4—7Ｐｒｅｉｓｓｍａｎｎ格式离散n+1njj+1（1-θ）△ttxM李光炽计算水力学式中θ－加权系数,０≤θ≤１。这是Preissmann原始离散的方法,对圣维南方程进行离散,得到以增量表达的非线性方程组,忽略二阶微量简化成为线性代数方程组,可以直接求解。t2fffftf)xff)(1()xff(xf)ff(2)1()ff(2fnjn1j1nj1n1jMnjn1j1nj1n1jMnjn1j1nj1n1jM四点线性隐格式李光炽计算水力学t2fffftf)xff)(1()xff(xf2)ff(fnjn1j1nj1n1jMnjn1j1nj1n1jMnjn1jM连续方程李光炽计算水力学))(1()(211111111jnjnjjnjnjnjnjnjnjxQQxQQxQtZZZZtZqxQtZB李光炽计算水力学jnjjnjjnjnjjjnjnjjnjnjnjnjnjnjnjDZCZCQQqxQQxQQZZZZtB111111211111111121))(1()()(2)ZZ(C)QQ(1xqDt2xBCnjn1jjnjn1jj21jjjn21jj其中：动量方程李光炽计算水力学1112122111111211111111)2()2(])())[(1(])()[()()())(1()(2njnjnjnjjnjnjnjnjnjnjnjnjjnjnjjnjnjnjnjnjnjQRcugQRcugARcQQgxQuQuQuQuuQxAQxxZZxZZxZtQQQQtQ0)(22ARcQQgxZgAAQxtQ李光炽计算水力学jnjjnjjnjjnjjZFZFQGQE111111)()(1])()[(1)(2)()2()(2)2()(212111211212njnjnjnjnjnjnjjjnjjjnjnjjjjnjnjjjZZgAuQuQQQtxgAFxRcugutxGxRcugutxE李光炽计算水力学jjjjjjjjjjjjjjjjZFZFQGQEDZCZCQQ1111其中均由初值计算，所以方程组为常系数线性方程组。对一条具有Ｌ２-Ｌ１个河段的河道（如图4-8所示),有2·(L2-L1＋１）个未知变量，可以列出２·(L２-L１)个方程，加上河道两端的边界条件，形成封闭的代数方程组。可唯一求解断面的水位和流量。jjjjjj,G,F,E,D,C李光炽计算水力学L1L1+1………L2图4—8．计算河段示意图Ｐｒｅｉｓｓｍａｎｎ精度是：①．０．５≤θ≤１格式无条件稳定θ≤０．５格式有条件稳定②．对于任意的θ值，精度是一阶的Ｏ(Δｘ，Δｔ），对于θ＝0.5精度是从实用的观点，θ宜选大于0.5的值。)t,x(022李光炽计算水力学对于河道的边界条件，一般有如下三种情况：①．水位已知②．流量已知③．水位流量关系)t(ZZ1L1L)t(QQ1L1L)Z(fQ1L1L１、水位边界条件的计算李光炽计算水力学对于水位已知的边界条件，可设如下的追赶方程)12,,11,1(1111111LLLjQVPZQTSQjjjjjjjj因为所以1L1L1L1L1LQVP)t(ZZ0),(111LLLVtZP李光炽计算水力学jjjjjjjjjjjjjjjjjjjjZFQGQVPFQEDZCQQVPCQ1111)()(j1j31jj1j311j4j3jjjj1j4j3j1j2j1jC1TYVCSYYPYCYFFGCTYCYFYFYCSjjj4jj3jjj2jjj1VFEYVC1YPFYPCDY李光炽计算水力学由此递推关系可得：，与下边界联立可求得回代可求出。2L2L2L2LQVPZ)Z(fQ2L2L,Q2L)1L,,12L,2Lj(Z,Qjj２、流量边界条件的计算李光炽计算水力学对于流量已知的边界条件，可假设如下追赶关系：1j1j1j1j1j1j1jjZVPQZTSZ因为所以)(11tQQLL0V),t(QP1L1L1L李光炽计算水力学j1jj1jjjjjjjjj1jj1jjjjjjZFQGZF)ZVP(EDZCQZC)ZVP(1j1j1j1j131j2j1jjj1j2j143j1jTYCVSYYPYGYFCGTYGYYYGSjjj4jj3jjj2jj1PEYPDYVEFYCVY李光炽计算水力学由上述递推关系，可依次求得最后得到：与下边界条件联解可得，依次回代可求得Zj、Qj(j=L2,L2-1,………,L1)。1j1j1j1jV,P,T,S2L2L2L2LZVPQ)Z(fQ2L2L2LZ３、水位、流量关系边界的计算李光炽计算水力学对于水位流量关系，可线性化处理成，即可同流量边界条件一样处理.)Z(fQ1L1L1L1L1L1LZVPQ)Z(fVZ)Z(f)Z(fPZ)Z(fZ)Z(f)Z(f)ZZ)(Z(f)Z(fQ)ZZ)(Z(f)Z(fQdZ)Z(fdQ01L'1L01L01L'01L1L1L01L'01L01L'01L01L1L01L'01L1L01L1L01L'01L1L1L1L'1L第五节内边界的处理李光炽计算水力学在河道水流计算中，除了外部边界条件外，还可能遇到内部边界条件。内部边界条件是指河道的几何形状的不连续或水力特性的不连续点。例如，集中入流，过水断面突然放大，堰闸过流等等。在这些内部边界处，圣维南方程组不再适用，必须根据其水力特性作特殊处理。内部边界条件通常包含两个相容条件，即流量的连续性条件和能量守恒条件(或动量守恒条件)。一、集中旁侧入流李光炽计算水力学Δxi=0QiQi+1Qf图4—9虚拟河段0xj李光炽计算水力学1ifi1iiQQQZZ连接的相容方程为当上边界为水位边界条件时：iiiiQVPZfiiiifiiiQQQQVQVPZ111李光炽计算水力学i1ifii1i1if1iVVQVPP1TQS1111111iiiiiiiiQVPZQTSQfiiiifiiiQQQQVQVPZ111李光炽计算水力学当上边界为流量条件时：f1iiifiiifi1iiiiiQZVPQZVPQQQZVPQi1ifi1i1i1iVVQPP1T0S1111111iiiiiiiiZVPQZTSZ计算虚拟河段的追赶系数，可同正常河道一样递推求解。二、河道与贮水池汇合李光炽计算水力学Qs面积Aii+1图4—10河道与贮水池汇合s