计算水力学--第五章(第2讲)

第五章河网水流计算水文09级计算水力学教学课件长江：潮汐河道里下河：平原河网太湖流域：湖区，河网、堰闸江、河、湖、海联合作用Leilafor水文09版权所有环状河网§3.环状河网水流计算Leilafor水文09版权所有对于环状河网，可以利用显式差分求解，但工程上一般倾向于利用隐式求解。早期针对小型河网，以河道断面的水力要素为基本未知量，采用对所有未知量建立方程组直接求解的一级解法。在这种方法中，方程组系数矩阵过于庞大，难以应用于大型河网。为了适用于大型河网，其后发展了以河道首、末断面的水力要素为基本未知量的二级解法。§3.环状河网水流计算Leilafor水文09版权所有该法是在一级解法的基础上，对河道中间断面未知量形成的子矩阵先行求解，表达为基本未知量的函数，消去中间断面未知量，从而使得方程组的系数矩阵大大降阶，易于求解。为了进一步降低方程组的阶数，有效求解大型河网，对二级解法的基本未知量再进一步消元，形成以节点水位为基本未知量的三级解法，这就是目前最常用的方法。§3.环状河网水流计算离散圣维南方程组离散系数C,D,E,F,G,Φ追赶系数：α,β,ξ,θ,η,γ1mjiiijdZQAdtZi=f(αi,βi,ξi,θi,ηi,γi,Z1,Zn)Qi=g(αi,βi,ξi,θi,ηi,γi,Z1,Zn)Z1，ZnQ1=α1+β1Z1+ξ1ZnQn=θn+ηnZn+γnZ1计算流程Leilafor水文09版权所有环状河网计算示意图§3.环状河网水流计算Leilafor水文09版权所有§3.环状河网水流计算单一河道节点N2节点N1123n-1n2n个未知量，2(n-1)个方程Leilafor水文09版权所有§3.环状河网水流计算—单一河道αn-1βn-1ξn-1αi+1βi+1ξi+1Ci+1,Di+1,Ei+1,Fi+1,Gi+1,Φi+1αiβiξiCi,Di,Ei,Fi,Gi,Φiα1β1ξ1C1,D1,E1,F1,G1,Φ1Q1=α1+β1Z1+ξ1ZnCn-1,Dn-1,En-1,Fn-1,Gn-1,Φn-1Qi=αi+βiZi+ξiZn追赶系数Leilafor水文09版权所有§3.环状河网水流计算—单一河道θ2η2γ2θiηiγiCi-1,Di-1,Ei-1,Fi-1,Gi-1,Φi-1Ci,Di,Ei,Fi,Gi,ΦiCn-1,Dn-1,En-1,Fn-1,Gn-1,Φn-1Qn=θn+ηnZn+γnZ1C1,D1,E1,F1,G1,Φ1θi+1ηi+1γi+1θnηnγnQi=θi+ηiZi+γiZ1追赶系数Leilafor水文09版权所有§3.环状河网水流计算—单一河道节点N2节点N1123n-1n首、末断面流量表达为首、末节点水位的线性组合。环状河网的追赶方程，每个河段有6个需要保存的追赶系数。当首、末断面水位求得后，利用同一断面上的追赶关系可解得水位和流量。Leilafor水文09版权所有§3.环状河网水流计算—单一河道对同一断面上的流量联立求解得Leilafor水文09版权所有§3.环状河网水流计算节点水位方程如何求解节点水位是河网求解的关键问题。求解河网节点水位，必须建立节点水位方程。节点水位方程建立的依据：水量守衡原理，即流进某一节点的水量之和等于该节点蓄水量的变化。Leilafor水文09版权所有把首、末断面流量的节点水位关系式代入节点水量平衡方程，得到与节点i相邻的节点水位为未知变量的线性代数方程：对河网每一个节点，都可建立这样的节点水位方程，形成以河网节点水位为基本未知变量的线性代数方程组：§3.环状河网水流计算—节点水位方程,0iijfZLeilafor水文09版权所有节点水位方程系数矩阵节点水位列阵右端项列阵§3.环状河网水流计算—节点水位方程Leilafor水文09版权所有首先、确定基本河网。第二、对基本河网节点编码。第三、对计算河道编码。第四、计算断面编码。第五、结合边界条件，计算内河道的水位流量追赶方程。§3.环状河网水流计算求解步骤Leilafor水文09版权所有第六、建立节点水位方程。第七、求解节点水位方程组。第八、求得节点水位后，利用追赶关系求解河道各计算断面上的水位和流量。第九、将节点的水位代入外河道的追赶方程，逐步回代求得外河道各断面的水位和流量。§3.环状河网水流计算—求解步骤Leilafor水文09版权所有§3.环状河网水流计算—节点水位方程环状河网计算示意图132546Leilafor水文09版权所有§3.环状河网水流计算—节点水位方程1111(1)(1)(1)(1)(1)(3)5555(1)(1)(1)(1)(1)(5)2222(1)(1)(1)(1)(1)(2)QZZQZZQZZ512(1)(1)(1)0QQQ12515221(1)(1)(1)(1)(1)(2)(1)(3)2155(1)(1)(1)(1)(5)ZZZZ节点(1)水量平衡条件Leilafor水文09版权所有§3.环状河网水流计算—节点水位方程2222(2)(2)(2)(2)(2)(1)6666(2)(2)(2)(2)(2)(6)3333(2)(2)(2)(2)(2)(3)QZZQZZQZZ263(2)(2)(2)0QQQ32622633(2)(1)(2)(2)(2)(2)(2)(3)3266(2)(2)(2)(2)(6)ZZZZ节点(2)水量平衡条件Leilafor水文09版权所有§3.环状河网水流计算—节点水位方程3333(3)(3)(3)(3)(3)(2)4444(3)(3)(3)(3)(3)(4)1111(3)(3)(3)(3)(3)(1)QZZQZZQZZ341(3)(3)(3)0QQQ13413341(3)(1)(3)(2)(3)(3)(3)(3)1344(3)(3)(3)(3)(4)ZZZZ节点(3)水量平衡条件Leilafor水文09版权所有节点水位方程15221(1)(1)(1)(1)(1)(1)22633(2)(2)(2)(2)(2)(2)13341(3)(3)(3)(3)(3)(3)2155(1)(1)(1)(1)(5)3266(2)(2)(2)(2)(6)1344(3)(3)(3)(3)(4)ZZZZZZ§3.环状河网水流计算—节点水位方程132546Leilafor水文09版权所有§3.环状河网水流计算求解各断面的水位、流量Leilafor水文09版权所有一、最优编码解法河网水流的求解最终归结于节点水位方程的求解。节点水位方程的求解效率，决定河网计算的效率。因此，节点水位方程的求解显得相当重要。下面讨论一种常见的求解方法，最优编码解法。§4.最优编码解法Leilafor水文09版权所有河网节点水位方程组的系数矩阵A，当矩阵的阶n较小时，可用任何一种方法求解，如高斯消元法。而随着n的增加，求解方程的工作量正比于n3。可见，当河网节点数较多时，会因为求解方程组的工作量庞大而无法实现。先分析矩阵的性质。§4.最优编码解法Leilafor水文09版权所有环状河网计算示意图§4.最优编码解法Leilafor水文09版权所有最优编码解法Leilafor水文09版权所有系数矩阵特性：(1)非零元素对称分布于主对角线。(2)矩阵为一个稀疏矩阵，矩阵中的大多数元素为零，非零元素的个数相对于元素总数来说很少。(3)矩阵的非零元素集中在以主对角线为中心的斜带形区域。§4.最优编码解法Leilafor水文09版权所有直接求解方程必须解决的问题：（1）排列方程和未知元，使得对角元是一个合适的主元，而且在消元过程中必须保持系数矩阵的稀疏性结构。（2）尽量避免零元素的存贮和运算。（3）存贮矩阵元素时应使矩阵的一行和一列元素能够有效的存取。§4.最优编码解法Leilafor水文09版权所有高斯消元法求解的步骤(1)用第1行的元素，消去第2行到第n行第1列的元素；(2)用第2行的元素，消去第3行到第n行第2列的元素；以此类推，用第i行的元素，消去第i+1行到第n行第i列的元素，直到第n行，使矩阵成为上三角矩阵，解出第n个变量。§4.最优编码解法Leilafor水文09版权所有最后从n-1到1逐个回代求出所有未知变量。这是一般的解法，其求解运算的工作量正比于n3。考虑到矩阵A的性质，其非零元素集中在以主对角线为中心的斜带形区域内，带宽为W。求解运算只需在代形域内进行，域外为零元素，不必参加运算。§4.最优编码解法Leilafor水文09版权所有所以，可以用n×W的矩阵来存贮对应各行的非零元素。求解的带宽为W：§4.最优编码解法Leilafor水文09版权所有用带形存贮的高斯消元法求解方程组的计算工作量正比于n×W2。所以，减小带宽不仅可以节省计算机内存，而且能有效提高计算的速度。对于特定的河网，带宽主要取决于节点编码，随着节点编码的好或坏而减小或增大。因此在求解河网水流时，存在着一个最优节点编码问题，即得到带宽最小的编码方法。§4.最优编码解法Leilafor水文09版权所有编码A（W＝7）§4.最优编码解法3Leilafor水文09版权所有编码B（W＝7）§4.最优编码解法3Leilafor水文09版权所有编码C（W＝11）§4.最优编码解法5Leilafor水文09版权所有编码D（W＝11）§4.最优编码解法5Leilafor水文09版权所有(1)带宽由编码决定，取决于同一层的最多节点数。(2)最优编码不是唯一的。(3)最优编码应遵循的原则是：沿着节点数目少的方向顺序编码，即同一层的节点数尽可能的少。最优编码原则§4.最优编码解法Leilafor水文09版权所有天然河网节点分布是非常不规则的，可以采用分层的办法进行优化编码。对结构复杂的河网常常不会导致最优编码，因为每一层中包含的节点数目相差太大。应当进行必要的调整，使每一层包含的节点数尽可能均匀，调整包含的节点数目最多的层次，减少该层所包含的节点数，反复试验，直到带宽无法减小为止。§4.最优编码解法—天然河网编码方法Leilafor水文09版权所有1.数据准备(1)节点编码：根据系数矩阵带宽最小原则，对内节点进行统一编码。(2)河道编码：统一编码，编码顺序可以任意。(3)断面编码：对于内河道，以首节点对应于首断面，末节点对应于末断面，首断面向末断面方向递增，代表河道的计算流向。对于外河道，以外节点向内节点递增为原则。二、编程技巧§4.最优编码解法—编程技巧Leilafor水文09版权所有(4)外河道边界信息：按实际的边界条件类型确定。(5)河道的计算信息：根据(1)的节点编码和(3)的断面编码，确定内河道的首节点和末节点号，确定外河道的末节点号，确定河道的首断面号和末断面号。(6)计算河道的基本地形资料和边界条件资料。§4.最优编码解法—编程技巧Leilafor水文09版权所有2.计算编程(1)计算外河道的边界条件，系数矩阵初始化。(2)对可调蓄节点，将蓄水量的变化表达成流量与水位的线性关系，迭加到相应的节点水位方程。(3)按外河道的顺序计算追赶系数。(4)按内河道的顺序计算追赶系数。(5)用高斯消去法求解节点水位方程。(6)用节点水位回代求出各断面的水位和流量。§4.最优编码解法—编程技巧Leilafor水文09版权所有(3)按外河道的顺序，依次计算外河道的追赶系数。(a)首断面的追赶系数由边界条件确定。(b)按单一河道计算