计算水力学--第三章(3)

第三章有限差分的基本理论水文09级计算水力学教学课件Leilafor水文09版权所有回顾差分方程FTBS,FTCS,FTFS,蛙跳，马斯京根相容性：格式相容泰勒展开带入差分方程写成等价方程形式分析截断误差收敛性：解收敛Leilafor水文09版权所有0.5时：Thinkingabout：马斯京根法差分格式的截断误差22,Otx2,Otx0.5时：Leilafor水文09版权所有课程内容基本概念偏导数的差商近似差分方程截断误差和相容性收敛性稳定性Lax等价定理Leilafor水文09版权所有相容性是收敛性的必要条件稳定性与收敛性有一定的联系。Lax等价定理Lax等价定理:对一个适定的线性微分问题及一个与其相容的差分格式，如果该格式稳定则必收敛，不稳定必不收敛。换言之，若线性微分问题适定，差分格式相容，则稳定性是收敛性的必要和充分的条件。Lax等价定理Leilafor水文09版权所有根据此定理，在线性适定和格式相容的条件下，只要证明了格式是稳定的，则一定收敛；若不稳定，则不收敛。由于收敛性的证明往往比稳定性更难，故人们就可以把注意力集中在稳定性的研究上。Lax等价定理Leilafor水文09版权所有误差分类差分方程解析解数值解偏微分方程：解析解*uˆuuˆuu收敛性关心：Leilafor水文09版权所有§6.稳定性vonNeumann分析（线性偏微分问题）稳定性数值试验（需满足物理规律）{Leilafor水文09版权所有§6.稳定性0,0()uuCtxuxfx满足物理规律：定解问题:C0：特征线向下游传播C0：特征线向上游传播Leilafor水文09版权所有§6.稳定性——数值试验xt0FTBS：η=1εεεεεεε000000011jjiijj+1j+2j+3j+4j+5Leilafor水文09版权所有§6.稳定性——数值试验xt0FTBS：η=2ε2ε4ε16ε32ε8ε64ε0000000112jjjiiijj+1j+2j+3j+4j+5Leilafor水文09版权所有§6.稳定性——数值试验依赖区间AB和决定域PABFTCS格式ABPeLeilafor水文09版权所有§6.稳定性——数值试验PABABPFTFS格式FTBS格式依赖区间AB和决定域PABLeilafor水文09版权所有§6.稳定性——数值试验影响区域FTCS格式1112jjjjiiiiuuuuLeilafor水文09版权所有§6.稳定性——数值试验影响区域FTFS格式FTBS格式111jjjiiiuuu111jjjiiiuuuLeilafor水文09版权所有由此可知：同一微分问题，当采用不同差分格式时，其依赖区间、决定区域和影响区域可以是不一致的。依赖区间、决定区域和影响区域是由差分格式本身的构造所决定的并与有关tx§6.稳定性——数值试验Leilafor水文09版权所有0,00uuCtxux例定解问题FTBS格式计算00,1,2,3,0,1,2,jiuji§6.稳定性——数值试验Leilafor水文09版权所有假设在第j层上的第i点,由于计算误差，得到:设i＝0，j＝0，＝1，即，相应于FTBS格式：jiu=εε110001100jjjiiiiuuuuui，§6.稳定性——数值试验Leilafor水文09版权所有§6.稳定性——数值试验•误差逐渐衰减传播110.50.5jjjiiiuuuLeilafor水文09版权所有§6.稳定性——数值试验•误差无衰减传播11jjiiuuLeilafor水文09版权所有§6.稳定性——数值试验•误差震荡放大传播112jjjiiiuuuLeilafor水文09版权所有算例表明了当值不同时计算误差所产生的影响tx•误差逐渐衰减传播•误差无衰减传播•误差震荡放大传播t1.0xt1x=t1.0x数值误差有不同的传播方式，格式使误差逐渐衰减传播称为差分格式稳定，否则称为不稳定。§6.稳定性——数值试验Leilafor水文09版权所有§6.稳定性——数值试验单增长型的不稳定称为静力不稳定性εj+1Leilafor水文09版权所有§6.稳定性——数值试验过冲型振荡的不稳定称为动力不稳定性εj+1Leilafor水文09版权所有vonNeumann稳定性分析方法0,0()uuCtxuxfx111jjjiiiuuu0i00iiu111jjjiii定解问题FTBS格式初值误差误差传播方程§6.稳定性——vonNeumann分析Leilafor水文09版权所有误差展开成傅氏级数代入误差传播方程§6.稳定性——vonNeumann分析Leilafor水文09版权所有对任意的k有G为放大因子1iktGe§6.稳定性——vonNeumann分析Leilafor水文09版权所有22141sin2kxG1G2141sin12kx241sin02kx01FTBS格式稳定条件§6.稳定性——vonNeumann分析Leilafor水文09版权所有VonNeumann稳定性分析法主要用于线性初值问题的稳定性分析。对于非线性问题用局部线性化的方法加以推广。局部线性化方法假定非线性系数变化得很缓慢，因而可用局部网格结点上的函数值代入后作为常数处理，并认为每一网格结点上的计算稳定性与相邻结点无关，以网格结点上最小的局部稳定极限值作为整个差分问题的稳定极限值。§6.稳定性——vonNeumann分析