第七章应力状态与强度理论.

§7–1应力状态的概念§7–4§7–5三向应力状态研究——应力圆法§7–6广义胡克定律§7–7复杂应力状态下的变形比能§7–8强度理论§7–2二向应力、三向应力状态的实例平面应力状态分析——图解法§7–3平面应力状态分析——解析法§7–１应力状态的概念一、引言1、铸铁与低碳钢的拉、压、扭试验现象是怎样产生的？M低碳钢铸铁PP铸铁拉伸P铸铁压缩2、组合变形杆将怎样破坏？MP四、普遍状态下的应力表示三、单元体：单元体——构件内的点的代表物，是包围被研究点的无限小的几何体，常用的是正六面体。单元体的性质——a、每个面上，应力均布；b、平行面上，应力相同。二、一点的应力状态：过一点有无数的截面，一点的各个截面上应力情况的集合，称为这点的应力状态。xyzsxszsytxyyxt五、剪应力互等定理:0:zM单元体平衡证明0d)dd(d)dd(yxzxzyyxxyttyxxyttxyzsxszsytxyyxttzx六、原始单元体（已知单元体）：例1画出下列图中的A、B、C点的已知单元体。PPAAsxsxMPxyzBCsxsxBtxzCtxytyx课堂练习用单元体表示圆轴受扭时，轴表面任一点的应力状态。用单元体表示矩形截面梁横力弯曲时，梁顶、梁底及其它各点的应力状态。七、主平面、主应力：主平面(PrincipalPlane)：剪应力为零的截面。主应力(PrincipalStress）：主平面上的正应力。主应力排列规定：按代数值大小，321ssss1s2s3xyzsxsysz三个主平面一定互相垂直。单向应力状态（UnidirectionalStateofStress）：一个主应力不为零的应力状态。二向应力状态（PlaneStateofStress）：二个主应力不为零的应力状态。（平面应力状态）三向应力状态（Three—DimensionalStateofStress）：三个主应力都不为零的应力状态。§7–2二向和三向应力状态的实例pppxss'lpODABy42DpDsps's'xD0Xs4pD1、纵向应力ypssDzODlpls2s2pD2、环向应力：0Y1s2sss21pDss42pD外表面内表面三向应力状态的实例：在滚珠轴承中，轴承外圈在与滚珠接触点处的应力状态为三向应力状态，§7–3二向应力状态分析——解析法sxtxysysxsyxxyyyxtxyt正应力以拉应力为正，压应力为负；剪应力对单元体内任意点的矩为顺时针转向时为正，反之为负；由轴逆时针转过角为正，反之为负。设：斜截面面积为dA，由分离体平衡得：Fn00cos)sindA(sin)sindA(sin)cosdA(cos)cosdA(dAtstssyxyxyx一、任意斜截面上的应力sxtxysysytxysxstx规定：nttsssss2sin2cos22xyyxyxtsst2cos2sin2xyyx考虑切应力互等和三角变换，得：同理：sytxysxstntsxtxysy0Ft030MPa20MPa40MPa10例1、求图示单元体斜截面上的应力。xyn060解：MPa40xsMPa20ysMPa10xyt060)120sin()10()120cos(2)20(402)20(4000sMPa67.13MPa21)120cos()10()120sin(2)20(4000tst030MPa20MPa40MPa10xyn解：MPa20xsMPa40ysMPa10xyt0300300]2cos2sin2[2:000tsssxyyxdd令二、主应力、主平面yxxysst22tan0！极值正应力就是主应力00t）2222xyyxyxminmaxtssssss±（sxtxysy由上式求出相差的两个角度，从而确定两个互相垂直的平面，分别作用着最大、最小正应力。o90主平面方位的确定：约定yxss则两个角度0中，锐角确定maxs作用的平面。020，tsssss2sin2cos22xyyxyx0]2cos2sin2[2:000tsssxyyxdd令二、主应力、主平面yxxysst22tan0！极值正应力就是主应力00t）2222xyyxyxminmaxtssssss±（sxtxysy由上式求出相差的两个角度，从而确定两个互相垂直的平面，分别作用着最大、最小正应力。o90主平面方位的确定：约定yxss则两个角度0中，锐角确定maxs作用的平面。020，例2、求图示单元体的主应力及主平面，在单元体上画出主平面和主应力。MPa40MPa60MPa20解：MPa20MPa,40MPa,60xyyxtssxy240602022tan000007.31,4.63207.311s2s1s2s例3分析圆轴扭转时的应力状态。解：确定危险点并画其原始单元体求极值应力0yxsstxyWTtt22minmax22xyyxyxtssssss）（tt2xytxyCtyxMCxyt铸铁圆轴扭转破坏现象分析tssts321;0;4522tg00sstyxxyxyt045eMeM1s3s0dd:1t令xyyxtss22tg1222xyyxminmaxtsstt±）（三、最大切应力tsst2cos2sin2xyyx02sin22cos11tssxyyx则)902tan(22tan0001ctg00100145,9022即最大、最小切应力作用面与主平面的夹角为450。2minmaxss01190,四、两个互相垂直截面上应力的关系ttssxytxsysyxminmaxssssssyxtt互相垂直的两个截面上的正应力之和为一值。即切应力互等定理。§7–4平面应力状态分析——图解法tssttsssss2cos2sin22sin2cos22xyyxxyyxyx对上述方程消去参数（2），得：一、应力圆（StressCircle）xysxtxysyOtssttsssss2cos2sin22sin2cos22xyyxxyyxyx将上式改写成：222222xyyxyxtsstsss上式中皆为已知量，故此方程是以和为变量的圆周方程，这一圆称为应力圆（或莫尔圆），由德国工程师OttoMohr提出。由公式可见，在—直角坐标系中，应力圆具有以下特征：（1）圆心坐标为—圆心必在坐标轴上（2）半径为xyyxtss,,stst)0,2(yxssxyyx222tsss（3）应力圆圆周上任一点的纵、横坐标，分别代表单元体中某一相应斜截面上的和，因此应力圆圆周上所有各点的坐标就表达了一点的应力状态。st建立应力坐标系，如下图所示，（注意选好比例尺）二、应力圆的画法在坐标系内确定点A(sx，txy)和点B(sy，tyx)AB与s轴的交点C便是圆心。以C为圆心，以AC为半径画圆——应力圆；sxtxysynstOstCA(sx,txy)B(sy,tyx)2D(s,t02stCB(sy,tyx)2D(s,t02A(sx,txy)1G2Gxsys2yxss2yxss1s2ssxtxysynstOstCA(sx,txy)B(sy,tyx)2D(s,t三、单元体与应力圆的对应关系转向相同——单元体上的截面旋转的方向与应力圆圆周上点的旋转方向相同。角度二倍——单元体上的截面旋转角，则应力圆圆周上的点旋转角。点面对应——单元体上的截面与应力圆上的点一一对应。2223122xyyxyxROCtssssss）（半径四、在应力圆上标出极值应力22minmaxminmax22xyyxRtsssstt）（半径OCstA(sx,txy)B(sy,tyx)21mintmaxt20s1s3例4求图示单元体的主应力及主平面的位置。(单位：MPa)4532532595150°ABs1s2解：应力坐标系如图AB的垂直平分线与s轴的交点C便是圆心，以C为圆心，以AC为半径画圆——应力圆0s1s2BAC2s0st(MPa)(MPa)O20MPa)325,45(B)325,95(A在坐标系内画出点s1s2BAC20st(MPa)(MPa)O20MPa主应力及主平面如图0MPa20MPa120321sss3004532532595150°s10s2ABMPa325120cos120sin200600xyyxtsst4532532595150°解法2—解析法：分析——建立坐标系如图MPa325MPa45yxyts?xs222122xyyxyxtssssss）（60°MPa325MPa95006060tsxyOMPa325xyt由已知求出xs课堂练习：1、画出单向拉伸、单向压缩应力状态的应力圆。sstt1s3smaxtmaxtssss12122、画出纯剪切应力状态的应力圆。stmaxt1s3st0453s1s§7–5三向应力状态研究——应力圆法s2s1s31s2s3sst1、三向应力状态2、三向应力状态分析弹性理论证明，图a单元体内任意一点任意截面上的应力都对应着图b的应力圆上或阴影区内的一点。图a图b整个单元体内的最大切应力为：tmax231maxssts2s1xyzs31s2s3sstD§7–6广义胡克定律一、单向拉伸应力状态下，应力--应变关系（胡克定律）,Exxs,xyEsxzEs二、纯剪切应力状态下，应力--应变关系Gxyxytxyzsxxyztxy三、复杂应力状态下的应力---应变关系根据叠加原理,得:zyxzyxxEEEEssssss1xzyyEsss1yxzzEsss1GxyxytGyzyztGzxzxtzyxxEsss1xyzszsytxysx同理上式称为广义胡克定律主应力---主应变关系四、平面应力状态下的应力---应变关系:0zxyzztts13221sssE12331sssE32111sssEGxyxy/tyxxEss1xyyEss10,0,0zxyzxysxsyxyyxtxyt五、体积应变与应力分量间的关系321aaaV)1()1()1(3322111aaaV3211VVV体积应变：)(21321sssE体积应变与应力分量间的关系:321321)1(aaa（略去高阶微量）例5已知一受力构件自由表面上某一点处在表面内的主应变分别为：1=24010-6，3=–16010-6，弹性模量E=210GPa，泊松比为=0.3，试求该点处的主应力及另一主应变。,02:s自由面上解1311ssE所以，该点处为平面应力状态1133ssE1s3s;MPa3.20;0;MPa3.44321sss6132103.34ssE§7－7复杂应力状态下的应变能密度3