第三章各向异性弹性力学基础§3-1各向异性弹性力学基本方程xyzxyzzyxxyzxyzzyxwvu,,,,,,,,,,,,应力分量:应变分量:位移分量:基本未知量:基本方程:1、平衡方程0,ijijf)3,2,1,(ji分量形式为:0Yzyxyzyyx0Xzyxxzxyx0Zzyxzzyzx)(21,,ijjiijuu2、几何关系(小变形)分量形式为:zvywyzxwzuzxzwzyuxvxyxuxyvyxzzxzxxz222220,,,,ljkikiljijklklij)3,2,1,,,(lkji变形协调方程:六个应变分量应该满足的一个关系,即6个独立等式:yxxyxyyx22222zyyzyzzy22222共有81个方程,但只有6个是不同的,其余的不是恒等式就是由于ij的对称性而都是重复的。xzyxzyyzxyzxy22)(zyxzyxxyzxyzx22)(yxzyxzzxyzxyz22)(前三个分别是xy,yz,zx平面内的3个应变量间的协调关系;而后三者则分别是正应变和3个切应变之间的协调关系。)(*STniiij在)(*uiiSuu在jijijijiSC及)6,,2,1,(jijiijCCjiijSS3、边界条件力边界条件:位移边界条件:4、各向异性本构方程(小变形)刚度矩阵柔度矩阵jiijjiijSCW2121各向异性体的弹性应变能为:拉-拉耦合(泊桑效应)剪-剪耦合拉剪耦合665544332211CCCCCC6165154143132121111SSSSSS§3-2各向异性弹性力学的本构方程一、完全各向异性(21个弹性常数)其中Sij为柔度系数,4、5和6即为剪应力23、31和12。可见各向异性体一般具有耦合现象:正应力引起剪应变,剪应力也可以引起正应变;反之亦然。二、有一弹性对称面(13个弹性常数)弹性对称面:沿这些平面的对称方向弹性性能是相同的。材料主轴(或弹性主轴):垂直于弹性对称面的轴。利用两个方向下材料的应变能密度表达式应保持不变(即利用两个坐标系计算得到的单位体积应变能的结果是相同的)可以推得:24411421112SSW014S41,设仅有,即有41而在x3变向时要变号,为保证W相同,则有005635251546342414SSSSSSSS6655454436332623221613121100000000SSSSSSSSSSSSS称对同理:独立常数减少为13个,即336126333331532322343131;0;0;SSSS03如果,其余应力分量为零,则有:此公式说明:当沿弹性主轴拉伸时,除纵向伸长、横向收缩外,还会引起与主轴垂直的面内剪应变,且弹性主轴方向不变。三、正交各向异性(9个弹性常数)正交各向异性是指有三个互相正交的弹性主轴的情况。(有三个互相正交的弹性对称面)321,,xxx取为三个正交弹性主轴,如图所示:045362616SSSS由a)、b)两坐标系中计算的应变能应该相同,而在两坐标系下:12311231,,,6565,,,(即)变号,可得:即:665544332322131211000000000000SSSSSSSSS称对123123233112321,,,,,,,,GGGEEE由此可得:1)当采用材料主轴来描述正交异性体时,没有任何拉剪耦合现象;2)在非材料主轴系里,正交异性材料仍有耦合现象。纤维在横截面内按矩形排列的单向纤维复合材料,宏观而言则是一正交异性体。共有9个弹性常数:jiij1轴沿纤维方向,并有,而是ijijijEEij即没有对称性。ijS可展开为:)1(223223EG四、横观同性(5个弹性常数)纤维在横截面内随机排列的,宏观而言,其在横向的所有方向的弹性性能相同,则称为横向同性。由于横向同性,则在2-3平面内应为各向同性,则有故只有5个独立常数:2121,,EE122312,GG23(或),(或)666644222321232221121211000000000000000000000000SSSSSSSSSSSS由工程应变形式的展开式为:即:,E)(2000000)(2000000)(2000000000000121112111211111212121112121211SSSSSSSSSSSSSSS五、各向同性(2个弹性常数))1(2EG1231231231232131323213212312123211)]([1,GEGGGEEEjiijSW210det,,0,02221121111ijSSSSSS六、弹性常数的取值范围判定依据是非零应力状态下,材料的弹性应变能位正值,应变能应是应变(或应力)的正定二次型。WiS为的正定二次型的充要条件是矩阵的所有主要主子式大于零,即:0E2112101、对于各向同性,可推得:实际上一般为:2、对于正交各向异性,有:0,,,,,123123321GGGEEE0E1EE122121对称,……等等作业:1、推导正交各向异性材料柔度矩阵为零的分量;2、推导正交各向异性材料中各个常数的取值范围。