第2章 误差理论与数据处理

1误差定义、来源、分类、测量精度第二章误差理论与数据处理§2.2数据处理的一般方法算术平均法、最小二乘法、一元线性回归….§2.1测量误差的基本理论2基本理论§2.1.1测量误差的定义定义：Δx–测量误差x–测量结果x0–真值测量结果与其真值的差异真值：被测量的客观真实值理论真值：0xxx理论上存在、计算推导出来如：三角形内角和180°约定真值：国际上公认的最高基准值如：基准米(氪-86的能级跃迁在真空中的辐射波长)相对真值：利用高一等级精度的仪器或装置的测量结果作为近似真值1m=1650763.73λ标准仪器的测量标准差1/3测量系统标准差→检定定性概念，定量表示3基本理论§2.1.2测量误差的来源(1)原理误差：测量原理和方法本身存在缺陷和偏差近似：如：非线性比较小时可以近似为线性假设：理论上成立、实际中不成立如：误差因素互不相关(2)装置误差：测量仪器、设备、装置导致的测量误差机械：零件材料性能变化、配合间隙变化、传动比变化、蠕变、空程电路：电源波动、元件老化、漂移、电气噪声(3)环境误差：测量环境、条件引起的测量误差空气温度、湿度，大气压力，振动，电磁场干扰，气流扰动，(4)使用误差：理论分析与实际情况差异方法：测量方法存在错误或不足如：采样频率低、测量基准错误读数误差、违规操作、4基本理论§2.1.3测量误差的性质与分类(1)随机误差(randomerror)正态分布性质：原因：装置误差、环境误差、使用误差处理：统计分析、计算处理→减小对称性有界性抵偿性单峰性绝对值相等的正负误差出现的次数相等绝对值小的误差比绝对值大的误差出现的次数多偶然误差绝对值不会超过一定程度当测量次数足够多时，偶然误差算术平均值趋于05基本理论§2.1.3测量误差的性质与分类(2)系统误差(systemerror)：性质：有规律，可再现，可以预测原因：原理误差、方法误差、环境误差、使用误差处理：理论分析、实验验证→修正(3)粗大误差(abnormalerror)：性质：偶然出现，误差很大，异常数据，与有用数据混在一起原因：装置误差、使用误差处理：判断、剔除6基本理论§2.1.4测量精度精度：测量结果与真值吻合程度定性概念测量精度举例不精密（随机误差大）准确（系统误差小）精密（随机误差小）不准确（系统误差大）不精密（随机误差大）不准确（系统误差大）精密（随机误差小）准确（系统误差小）7基本理论精密度：(precision)表述：概念：重复测量时，测量结果的分散性准确度：表述：精确度：(正确度)测量结果与真值的接近程度，系统误差的影响程度性质：随机误差的标准差(standarddeviation)性质：系统误差和随机误差综合影响程度平均值与真值的偏差(deviation)表述：不确定度(uncertainty)工程表示：引用误差，最大允许误差相对于仪表测量范围地百分数0.1,0.2,0.5,1.0,1.5,2.5,5.0七级minmaxmaxxxA8数据处理§2.2.1算术平均值法表述：x1,x2,…xn---测量数据原理：多次重复测量时，取全部测量数据的算术平均值为测量结果niinxnnxxxx1211剩余误差ivi偶然误差xxi真值ix性质：（1）剩余误差的代数和等于零，即算术平均值法可以滤除或减小偶然误差0v（2）剩余误差的平方和为最小最小二乘法基础min2v9数据处理标准误差n][21][2nv用偶然误差表示:用剩余误差表示:Bessel公式10数据处理算术平均值的标准误差：x分组重复多次测量，以每组算术平均值作为处理数据11数据处理§2.2.2异常数据剔除准则：说明：(1)测量误差为随机变量，且符合正态分布(2)真值必然处于一个有限的范围测量数据与算术平均值的偏差大于标准差的3倍原理：当测量结果超出正常范围时，给与剔除(3)此法只适合于测量数据大于10个的情况3xxi概率95.4%2xxi概率99.73%，即±3σ以外的概率为0.27%3xxi12数据处理§2.2.3最小二乘法•曲线拟合•多项式回归•••••••••直线拟合一元线性回归方程一元非线性回归方程多元线性回归13数据处理一元线性回归方程拟合直线形式：实际测量值与回归值之差:tytyˆttttbxbyyy0ˆtyˆty与偏差平方和：因min),(0bbQ0)(20)(210100tNtttNtttxbxbybQbxbybQ正规方程tbxby0ˆNtttNtttbxbyyybbQ120120)()ˆ(),(14数据处理一元线性回归方程解正规方程得：xbybllbxxxy0))((1)()()(1)(222yxNxyyyxxlxNxxxlxyxx其中：yNyxNx1115曲线拟合一元非线性回归方程步骤:(1)确定函数的类型（如双曲线、指数曲线、对数曲线等…）(2)求解相关函数中的未知参数举例:指数曲线bxaey•曲线问题直线问题（变量代换）•回归曲线回归多项式16数据处理(1)基本公式),...,,(21nxxxfynndxxfdxxfdxxfdy...2211函数误差其中：idx各直接测量值的误差ixf各个误差的传递函数§2.2.4函数误差计算17数据处理(2)计算系统误差nnxxfxxfxxfy...2211偶然误差各量间相互独立注：nxxx,...,,21212ixniiyxy