参数方程讲义

坐标系与参数方程一、知识点梳理(一)平面直角坐标系中的伸缩变化伸缩变换：设点),(yxP是平面直角坐标系中的任意一点，在变换).0(,yy0),(x,x:的作用下，点),(yxP对应到点),(yxP，称为平面直角坐标系中的坐标伸缩变换，简称伸缩变换。（二）极坐标系与极坐标1定义：在平面内取一个定点O，叫做极点，引一条射线Ox，叫做极轴，再选一个长度单位和角度的正方向（通常取逆时针方向）。对于平面内的任意一点M，用ρ表示线段OM的长度，θ表示从Ox到OM的角，ρ叫做点M的极径，θ叫做点M的极角，有序数对(ρ,θ)就叫做点M的极坐标，这样建立的坐标系叫做极坐标系。2极坐标有四个要素：（1)极点；(2)极轴；(3)长度单位；(4)角度单位及它的方向。3极坐标与直角坐标的不同点是，直角坐标系中，点与坐标是一一对应的，而极坐标系中，点与坐标是一多对应的．即一个点的极坐标是不惟一的。xMO图14极坐标与直角坐标互化公式（以坐标原点为极点）（1）互化背景：把直角坐标系的原点作为极点，X轴的正半轴作为极轴，并在两种坐标系中取相同长度的单位，如图所示：（2）互化公式：设M是坐标平面内任意一点，它的直角坐标是），（yx,极坐标是），（，于是极坐标与直角坐标的互化公式如图一：（图一）（图二）5极坐标方程定义：用坐标系中的点与原点的距离以及该点与原点的连线与坐标轴的夹角来表示点的方法。点M直角坐标），（yx极坐标是），（互化公式sincosyxxyyxtan222OMxy（三）常见曲线的极坐标方程曲线图形极坐标方程圆心在极点，半径(r,0))0(r圆心为（r，0），半径为r：)22(cos2r圆心为)2,r（），半径为r(,)2r)0(sin2r过极点，倾斜角为)R（或过点），（0与极轴垂直的直线(,0)a)22(cos过点），（2与极轴平行的直线(,)2a)0(sinOOxO(r,0)OxxxxxxO（四）参数方程1参数方程的定义：在取定的坐标系中，如果曲线上任意一点的坐标x、y都是某个变数t的函数，即)()(tfytfx并且对于t每一个允许值，由方程组所确定的点M（x，y）都在这条曲线上，那么方程组就叫做这条曲线的参数方程，联系x、y之间关系的变数叫做参变数，简称参数．2常见的参数方程（1）直线的参数方程过定点),(00yx且倾角为的直线00()(tan)yykxxk的参数方程为：sincos00tyytxx（t为参数，其他都是已知量）（2）曲线的参数方程圆：中心在),(00yx，半径等于r的圆22200()()xxyyr的参数方程为sincos00ryyrxx（为参数）椭圆：中心在原点，焦点在x轴（或y轴）上的椭圆12222byax（ab0)或12222aybx的参数方程分别为：sincosbyax或sincosaybx（为参数）（五）参数方程、极坐标方程、直角坐标方程相互转化1直线：直角坐标方程—极坐标方程—参数方程直线的直角坐标方程转化为极坐标方程，只需把横纵坐标的位置转化为极坐标即令cossinxy；将参数方程转化为直角坐标方程，先移项变成点斜式，进行化简消参求出斜率，那么经过定点就可写出方程；极坐标与参数方程互化时，先将极坐标方程或参数方程转化为直角坐标方程，再相互转化。转化示意图如下：直角坐标方程极坐标方程参数方程（图三）带入法cossinxyxycossin化为普通kttxxyytancossin0000()(tan)yykxxk)cos(sin00xky00cossinxxtyyt2圆：直角坐标方程—极坐标方程—参数方程相互转化圆的直角坐标方程转化为极坐标方程，只需把横纵坐标的位置转化为极坐标即令cossinxy，将极坐标方程转化为直角坐标方程则需在等式两边同时乘以或2，由222yx化简得到；将参数方程转化为直角坐标方程，先移项然后等式两边同时平方，进行相加，根据1cossin22运算消参，那么经过化简就可写出方程；极坐标方程与参数方程互化时，先将极坐标方程或参数方程转化为直角坐标方程，再相互转化。转化示意图如下：直角坐标方程极坐标方程参数方程图四带入法cossinxy两边同乘以，xycossin化为普通移项，平方，两式子相加22202220()cos()sinxxryyr222yx22200()()xxyyr22200()()xxyyr22020)sin(cosryx）（00cossinxxtyyt3、椭圆：直角坐标方程—极坐标方程—参数方程相互转化椭圆的直角坐标方程转化为极坐标方程，只需把横纵坐标的位置转化为极坐标即令cossinxy，将极坐标方程转化为直角坐标方程则需在等式两边同时乘以或2，由222yx化简得到；将参数方程转化为直角坐标方程，先移项然后等式两边同时平方，进行相加运算，根据1cossin22运算消参，那么经过化简就可写出方程；极坐标方程与参数方程互化时，先将极坐标方程或参数方程转化为直角坐标方程，再相互转化。直角坐标方程极坐标方程参数方程图五带入法cossinxy两边同乘xycossin化为普通两边平方，两式子相加2222sin)(cos)(byax22221xyabxycossin1)sin()cos2222ba（sincosbyax(六)参数方程的几何意义根据直线参数方程的标准式中t的几何意义，有如下结论：1直线与圆锥曲线相交，交点对应参数分别为1,2tt，则弦长12ltt；2定点0M是弦12,MM的中点，则120tt；3设12,MM的中点为M，则点M对应的参数值122Mttt二、考点突破题型一：参数方程化普通方程、极坐标方程化普通方程对直线、曲线方程进行消参，通过定义及公式进行化简经典例题分析：例1.在直角坐标系xy中，直线l的参数方程为13232xtyt（t为参数）．以原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，C的极坐标方程为23sin．（I）写出C的直角坐标方程；(II)写出直线的直角坐标方程【答案】（I）2233xy；（II）0333yx【解析】（I）由23sin，两边同时乘以得223sin，又因为222xy从而有22+23xyy，所以22+33xy.（II）由直线参数方程公式可得，过定点（3,0),斜率为3，由点斜式化简得到方程为0333yx考点：1、极坐标方程化为直角坐标方程；2、参数方程化为直角坐标方程【名师点晴】本题主要考查的是极坐标方程化为直角坐标方程，解决此类问题的关键是极坐标方程或参数方程转化为平面直角坐标系方程，并把几何问题代数化．题型二：普通方程化参数方程、极坐标方程例2.已知曲线221:149xyC，直线l：2,22,xtyt（t为参数），写出曲线C的参数方程，直线l的普通方程；【答案】2cos,3sin,xy260xy；【解析】根据椭圆的性质可得a=3,b=2,由椭圆参数方程公式sincosaybx可得该椭圆参数方程为2cos,3sin,xy，【考点定位】椭圆和直线的参数方程【名师点睛】本题考查普通方程与参数方程的互化,熟练掌握普通方程与参数方程的互化公式是做这类题的关键，体现了数学转化思想和方法，同时考查了学生的综合分析问题的能力和计算能力.例3：直线l过点(1,1)P，倾斜角6，（1）写出l的参数方程；（2）直线l与圆2cos2sinxy相交于A、B两点，求||||PAPB。【答案】(1)312112xtyt(2)2【解析】（1）根据直线参数方程可得,令t为参数l的参数方程312112xtyt；(2)因为点A、B都在直线l上，可设点A，B对应的参数分别为t1和t2，则点A，B的坐标分别为1131(1,1)22Att2231(1,1)22Btt将直线l的参数方程代入圆的方程x2+y2=4，整理得23120ttt1和t2是方程①的解，从而t1t2=-2，|PA|·|PB|=|t1t2|=|-2|=2例4.在直角坐标系xOy中，直线1C:x=2，圆2C：22121xy,以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系.（1）求1C，2C的极坐标方程；（2）若曲线3c的极坐标方程22)4sin(，求曲线3c的直角坐标方程【答案】（Ⅰ）cos2,22cos4sin40（II）40xy【解析】用直角坐标与极坐标互化公式即可；用和差公式张开化简，然后用公式代入。【考点定位】直角坐标方程与极坐标互化；【名师点睛】对直角坐标方程与极坐标方程的互化问题，要熟记互化公式，另外要注意互化时要将极坐标方程作适当转化，若是和角，常用两角和与差的三角公式展开，化为可以公式形式，有时为了出现公式形式，两边可以同乘以。题型三、求两个方程交点坐标及两个方程公共点先把两个方程转化为同一种表示法的方程，再联列方程组求解求解用带入消元或加减消元，涉及到二求次方程的根，要根据判别式确定方程解得个数。例5在直角坐标系xoy中，曲线1cos,:sin,xtCyt（t为参数，0t），其中0，在以O为极点，x轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线2:2sinC，曲线3:23cosC．（Ⅰ）求2C与1C交点的直角坐标；（Ⅱ）若2C与1C相交于点A，3C与1C相交于点B，求AB的最大值．【答案】（Ⅰ）(0,0)和33(,)22；（Ⅱ）4．【解析】（Ⅰ）曲线2C的直角坐标方程为2220xyy，曲线3C的直角坐标方程为22230xyx．联立222220,230,xyyxyx解得0,0,xy或3,23,2xy1C所以2C与交点的直角坐标为(0,0)和33(,)22．（Ⅱ）曲线1C的极坐标方程为(,0)R，其中0．因此A得到极坐标为(2sin,)，B的极坐标为(23cos,)．所以2sin23cosAB4in()3s，当56时，AB取得最大值，最大值为4．【考点定位】1、极坐标方程和直角坐标方程的转化；2、三角函数的最大值．【名师点睛】（Ⅰ）将曲线2C与1C的极坐标方程化为直角坐标方程，联立求交点，得其交点的直角坐标，也可以直接联立极坐标方程，求得交点的极坐标，再化为直角坐标；（Ⅱ）分别联立2C与1C和3C与1C的极坐标方程，求得,AB的极坐标，由极径的概念将AB表示，转化为三角函数的最大值问题处理，高考试卷对参数方程中参数的几何意义和极坐标方程中极径和极角的概念考查加大了力度，复习时要克服把所有问题直角坐标化的误区。例6已知直线l的参数方程为tytax42，（t为参数），圆C的参数方程为sin4cos4yx，（为常数）.（I）求直线l和圆C的普通方程；（II）若直线l与圆C有公共点，求实数a的取值范围.【答案】（I）220xya,2216xy;（II）2525a【解析】(1)由直线、圆参数方程，消去参数就可以得到普通方程，用相互转化公式得直线方程为220xya圆的方程2216xy（2）直线与圆有公共点等价于，圆心